解析幾何第四版呂林根課后習(xí)題答案第一章

1、第一章矢量與坐標(biāo)§ 1.1矢量的概念1下列情形中的矢量終點各構(gòu)成什么圖形？（1）把空間中一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點；（2）把平行于某一平面的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點;（3）把平行于某一直線的一切矢量歸結(jié)到共同的始點；（4）把平行于某一直線的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點解:（1）單位球面；（2）單位圓（3）直線；（4）相距為2的兩點2.設(shè)點0是正六邊形 ABCDEF的中心，在矢量 0A、0B、 0C、0D、0E、OF、AB、BC、CD、 DE、EF和fA中，哪些矢量是相等的？解:如圖1-1，在正六邊形 ABCDEF中，相等的矢量對是：0A和 EF;OB和 FA;OC和 AB;OE

2、和CD;OF 和 DE.3.設(shè)在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊 AE、EC、CD、DA的中點，求證： KL = NM .當(dāng)ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立?證明:如圖1-2，連結(jié)AC,則在BAC中，1 -中，NM AC. NM與AC方向相同，從而 2KL = NM且KL與NM方向相同，所以 KL =NM .AC. KL與AC方向相同；在DAC4.如圖1-3，設(shè) ABCD-EFGH是一個平行六面 體，在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互 為相反矢量的矢量：（1） AB、CD ； （2） AE、CG； （3） AC、 EG;（4） AD、GF ;（5） BE、CH

3、.解:相等的矢量對是（2）、（3）和（5）; 互為反矢量的矢量對是（1）和（4）。圖1 3§ 1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量a,b應(yīng)滿足什么條件?17 171 3 a -aJ;b b a a(5) ab ap|.解:(1) a,b所在的直線垂直時有(2) a,b同向時有aba(3)(4)(5)a b，且a, b反向時有a,b反向時有aa,b同向，且aa b ab| :|b|；a耳耳H；i a§ 1.3 數(shù)量乘矢量1試解下列各題.化簡(x y) (a b) (x y) (a b).已知aei2 ©2e3 , b3ei 2e2 2e3，求 a b , a

4、b 和 3a 2 b .從矢量方程組3x 4y解出矢量2x 3y11解 EF CD -AB22-(5a26b 8c)12(a2c)3a3b 5c .3 設(shè) AB a 5b , BC2a 8b, CD 3(ab)，證明:A、B、D三點共線.證明 BD BC CD2a 8b 3(a b) a 5b AB- AB與BD共線，又 B為公共點，從而A、B、D三點共線.4在四邊形ABCD中，ABa 2b , BC4a b , CD 5a 3b,證明 ABCD(xy) (a b) (x y) (a b) xa xb yaybxa xb yayb2x b 2y;a be-i2 e? e3 3 e12e22e3

5、4e1 e3 ,ab ei 2e2 e3(3e12e22e3)2e14e23e3 ,3a2b 3(© 2e2es)2(3e12e22e3)3 ©10e27e3 .2已知四邊形ABCD中，AB a2c ,CD5 a 6 b 8 c，對角線AC、BD的中解點分別為E、F，求EF .a為梯形.證明 AD AB BC CD (a 2b)( 4a b) (5a 3b)2( 4a b) 2 BC二 AD / BC，二 ABCD 為梯形.6. 設(shè)L、M、N分別是 ABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量 AL BM證明:AL-(AB2AC)BM1 (BA2BC)CN1 -(C

6、A 2CB)AL BMCN -(AB AC BA BC CA CB)CN可以構(gòu)成一個三角形0從而三中線矢量AL,BM ,CN構(gòu)成一個三角形。7. 設(shè)L、M、N是厶ABC的三邊的中點，0是任意一點，證明OA OB + OC = OL + OM + ON .證明OAOLLAOBOMMBOC ON NCOA OB OCOLOMON(LAMBNC)=OLOMON(ALBMCN)由上題結(jié)論知：ALBMCN0OA OB OCOLOMON&如圖1-5，設(shè)M是平行四邊形 ABCD的中心，O是任意一點，證明OA + OB + OC + OD = 4OM .證明:因為OM =圖1-51 一(OA + OC

7、), OM =21 -(OB + OD ),2所以2OM =1丄(OA + OB+OC + OD )2所以O(shè)A + OB+OC + OD = 4OM .9在平行六面體 ABCDEFGH （參看第一節(jié)第4題圖）中，證明AC AF AH 2 AG .證明 AC AF AH AC AF AD DH AC AF FG CG 2 AG .10.用矢量法證明梯形兩腰中點連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半. 證明 已知梯形ABCD，兩腰中點分別為 M、N，連接AN、BN MN MA AN MA AD DN ,MN MB BN MB BC CN , MN AD BC，即MN-(AD BC)，故MN平

8、行且等于-(AD BC).2 211.用矢量法證明，平行四邊行的對角線互相平分PA PO pa2 popa PO 0證明:如圖1-4，在平行四邊形ABCD中，0是對角線 AC , BD的交點AD OD OABC OC OB但 AD BCODOC OBOA OC OD OB由于（OAOC) / AC, (OB OD) / BD,而 AC 不平行于 BD ,OA OC OD OB 0 ,從而 OA=OC , OB=OD。12.設(shè)點O是平面上正多邊形A1A-An的中心，證明證明:所以所以顯然因為OA1 + OA3 = OA2 ,OA2 + OA4 = OA3,OAn 1 + OA1 = OAn ,O

9、An + OA2 = OA1 ,2( OA1 + OA2 + + OAn)=(OA1 + OA2 + OAn ),(2XOA1+OA2+OAn )= 0 .工2,即 一2工0.所以O(shè)A1 +OA2 + +OAn = 0.13.在12題的條件下，設(shè) P是任意點，證明：PA, PA2PAnnPO證明:OAn 0OA1OA2即 PAPA,PA n PO§ 1.4矢量的線性關(guān)系與矢量的分解1.在平行四邊形 ABCD中，(1 )設(shè)對角線 AZ a,BD b,求 AB,BC,CD,DA.1 b a 設(shè)邊BC和CD的2 111解：AB b a, BC b a,CD b a ,DA2 2 2(2)中

10、點 M 和 N，且 AM P, AN q 求 BC,CD。解:ACP BCJ2MC 23PCD2CN2 ANAC 2 1 q -q2.在平行六面體ABCD-EFGH 中,AB0,AD62, AE 6,三個面上對角線矢量設(shè)為AC p, AHq,AFr,試把矢量a p qr寫成e,e2,e3的線性組合。證明：ACe2ei, AH qe3e2AFeaei ,ACAHAFei62ea1),O是空間任意一點，求證:3.設(shè)一直線上三點 A, B, P滿足AP = PB ( 齊=OA OB1證明:如圖1-7,因為AP = OP OA,PB = OB OP,所以 OP OA = (OB OP),(1+ )OP

11、 = OA+ OB ,OA OB從而 OP =.14.在 ABC 中，設(shè) AB ei, AC e2.（1）設(shè)D、E是邊BC三等分點，將矢量AD,AE分解為ee?的線性組合（2）設(shè)AT是角A的平分線（它與BC交于T點）,將AT分解為,e2的線性組合解: (1) BCACABe2e1, BD1 1 - BCe2 e331 _-12 1 一2 1 AD ABBD-e2ei-e1-eie2,同理AE_e2-ei333333(2)因為 LB口 =邑,|TC| |el且 BT與TC方向相同，所以 BT =回TC .leal由上題結(jié)論有 |e11 e =62_ _AT =1竺1 = 66 261 1 ei

12、11 ei 1 1 e2 1|6Ti5在四面體OABC中，設(shè)點G是ABC的重心（三中線之交點），求矢量OG對于矢量OA,OB,OC的分解式。解： G是ABC的重心。連接AG并延長與BC交于P1 -AP AB21 - 一AB AC3一 2 -AC , AGAP32 1 - ? AB AC3 2V d P d 甲同理BG 丄BA BC CG 丄CA CB 3'3OGOAAGOA1 AB3BC(1)OGOBBGOB1BABC(2)31»OGOCCGOCCACB(3)3由（1）(2)(3)得r11 3OGOAOBOC1ABACBA1 BC33OAOBOCCA CB(圖1)即 OG 1

13、 OA OB OC36 用矢量法證明以下各題OR OBBROB2BM OB3OB-OA3OBOC OB同理OP2Ioa3OBOCOP31 OA3OBOCBM于CN交于P3，取空間任一點 0,則A（圖2）7已知矢量a,b不共線，問c2a b 與 d3a 2b是否線性相關(guān)?證明：設(shè)存在不全為 o的，使得 c d 0（1）三角形三中線共點證明：設(shè)BC, CA , AB中，點分別為L , M , N。 AL與BM交于R , AL于CN交于P2R,P2,卩3三點重合三角形三中線共點（第 3 頁）即 2a b b 20 a 23 b 20故由已知a,b不共線得2 2 00與假設(shè)矛盾，故不存在不全為 0的，

14、使得c d 0成立。所以c,d線性無關(guān)。I-II3BI*>1-8. 證明三個矢量 a =- e+3e2+2e3, b = 4巴6 e2 +2 e3 , c =- 3點+12僉 + 11 e3 共面,其中a能否用b ,c線性表示？如能表示，寫出線性表示關(guān)系式證明:由于矢量e , e2 , e3不共面，即它們線性無關(guān).考慮表達式 a + b +vc = 0，即卩(-e +3e2 +2e3)+ (4© - 6 e2 +2 e3 )+v (- 3e +12 e2 + 11 e3) = 0,b*i;fe-或(+4 -3v)乞 +(3 - 6 + 12v) e2 +(2 +2 + 11v)

15、 e3 = 0.由于e , e2 , e3線性無關(guān)，故有4 3v 0,3 -6 +12v 0,2 211v0.解得 =-10,=- 1, v= 2.由于 =-10 0,所以a能用b , c線性表示a 一 -1b + 1059.證明三個矢量ab, b c, c a 共面。證明:be c a 0三個矢量線性相關(guān)，從而三個矢量共面。OC OB =k(0A 0B),所以 BC = BA,從而 BC / BA .故 A, B, C三點共線.§ 1.5標(biāo)架與坐標(biāo)3.在空間直角坐標(biāo)系O;i,j,k下，求P(2, 3, 1)，M(a, b, c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點的各個

16、對稱點的坐標(biāo).解:M (a, b, c)關(guān)于xOy平面的對稱點坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于yOz平面的對稱點坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于xOz平面的對稱點坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于x軸平面的對稱點坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為(一a, b, c). 類似考慮P (2, 3, 1)即可.8.已知矢量a, b, c的分量如下：(1) a = 0, 1,2, b = 0, 2, 4, c = 1,2, 1;(2) a =

17、 1,2, 3 , b = 2, 1,0, c = 0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將 c表成a, b的線性組合？若能表示，寫出表示式0 1 2解:(1)因為024 = 0,所以a, b, c三矢量共面，1 2 1又因為a, b的對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即a/b，但c a ,故不能將c表成a, b的線性組合.123(2)因為210 = 0,所以a, b, c三矢量共面.056又因為a, b的對應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即a b ,故可以將c表成a, b的線性組合.設(shè) c = a+ b , 亦即0, 5, 6 = 1,2, 3+ 2, 1,0 從而2 0,2 0,3 6.解得=2, = 1,所以c = 2

18、a - b.7.已知 A,B,C三點坐標(biāo)如下：(1) 在標(biāo)架 O;',e 下，A 0,1 , B 2, 2 ,C 2,4 .(2) 在標(biāo)架下，A 0,1,0 ,B 1,0, 2 ,C 2,3,4判別它們是否共線？若共線，寫出AB和AC的線形關(guān)系式解:( 1)因為 AB 2, 3,AC2,3所以AB AC共線(2) AB 1, 1, 2 , AC 2,2,4設(shè)AB AC，但不存在所以代B, C不共線.2所以19. 已知線段AB被點C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分，試求這個線段兩端點A與B的坐標(biāo).答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10. 證明：四面體每一個頂點與對面重心

19、所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面 重心距離的三倍.用四面體的頂點坐標(biāo)把交點坐標(biāo)表示出來 證明:設(shè)四面體 A1A2A3A4A對面重心為 Gi,欲證AiGi交于一點(i= 1,2, 3, 4).一 OA 3OG；在 AiGi 上取一點 Pi，使 AP = 3RGi,從而 OPi =-,1 3設(shè) Ai (xi, y, zi)(i = 1,2, 3, 4)，則所以P1(G1X2X3X4y2y3y4Z2Z3Z43J335GoX1X3X4y1y3y4Z1Z3Z4G23J331G3X x2X4y1y2y4Z1Z2乙33J335X1X2X3y1y2y3Z1Z2Z3G43J335X2X3X4yyyZ

20、2Z3乙Xt 3Y13乙33331 31 31 3p (xiX2X3X4yiy y3 屮 zZ2Z3Z4)444同理得P2 P3 P4 Pi,所以AiG i交于一點P,且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的 三倍§ 1.6矢量在軸上的射影1.已知矢量AB與單位矢量e的夾角為150，且AB10，求射影矢量eAB與射影eAB ,又如果e e,求射影矢量e AB與射影e AB .解射影 eAB = AB cos (e, AB) 10.COS1505.3,射影矢量eAB=5.3ee e, (e,AB) 180(e, AB) 30射影 e AB = AB cos (e, AB) 10.COS

21、3053,射影矢量e AB =5. 3e2試證明：射影i( a1a2 + n an )= 1射影i q + n射影l(fā) an .證明:用數(shù)學(xué)歸納法來證.當(dāng)n = 2時，有射影i(假設(shè)當(dāng)射影i(欲證當(dāng)射影i(=射影2射影£21 a12玄2 )=射影 i( 1 a1)+射影 i( 2玄2 )=n = k時等式成立，即有kak ) = 1射影3 + k射影iak .時亦然.事實上1射影i a1 + 2射影© .a11 a1n = k+11 a1k akk 1 ak 1 )i (1 a1l ( 1 a1=1射影l(fā) Q +故等式對自然數(shù)n成立.ak )+ k 1 ak 1 kak )+

22、 射影 i( k射影i akk 1 ak 1 )+ k+ 1射影I ak 1§ 1.7兩矢量的數(shù)性積r r r(ac)b ；1 證明：rrr rrrr r(1) 矢量a垂直于矢量(ab)cmi (i= 1,2)，則有 a = b . rr r r rr r r rr r(2) 在平面上如 果m1m2，且a mi = br uu證明：(1)/ a . (a b)c (ac)b a(ab)c a(ac)br r r r r r rr(ab)ac (ac)ab = 0rr r r r r r矢量a垂直于矢量(ab)c (ac)b .(2)因為 m 叫,所以，對該平面上任意矢量 c = m,

23、 + m2,(a b)c = (a b)(m1 +m2)mi (a b)+ m2 (a b)=(am! b m!)+ (a m2 b 故(a b ) c.由c的任意性知a b = 0.從而 a = b .m2) = 0,2.已知矢量a,b互相垂直,矢量c與a,b的夾角都是60，且a(1)(a解:b)2；(2)(ab)(ab);(3)(3a 2b).(b 3c);(4)(a 2b訓(xùn)2,|c2c)3計算:(ab)2- -22a.b b2 -.20 225;(2)(ab)(ab)(3a2b).(b3c)3a.b1 22-22b3；9a.c6b.c9 3.cos603cos60(4)(a2b c)24

24、ab 2ac 4bc1 2 3cos603.計算下列各題.2 3cos60 472；-24b22>r2c32 11uuuABC的邊長為1,且BCuur,CAr uuub , ABC,求 abrrbcca ;r r r(2)已知a,b,c兩兩垂直，且：a 1,b 2,cr3,求rr a角.rrr rrr(3)已知a3b與7a 5b垂直，求a,b的夾角.r r2u-r rr已知a 2,1)5,(a,b)-,p33a b,qu rp與q垂直？rr rr r r rr rr r解 (1)ab (1,ab bccaa b(1)已知等邊厶ab c的長和它與a 17b.問系數(shù)ca30a cos120c

25、os120°a,b,c的夾取何值時b c cos1200(2) / a bc,且1,2,i 2j3k r122232設(shè)r與a,b,c的夾角分別為1皿2屈cos, cos, cosJ1414V1473.14145已知平行四邊形以 a 1, 2, -1 , 1 , -2, 1 為兩邊arccos 主14TT4arccos,73腫arccos14r r r r“ rr "(3) (a 3b) (7a 5b)0,即 7a 16ab 15a0(1)r r r rr 2 r r r 2(a 4b) (7a 2b)0,即 7a 30ab 8b 0uur r2(1)(2)得：2a b bu

26、ur r2(1) 8 (2) 5 得：2a b auur/胃 abcos (a,b) r ra b|1b1 2r2bcos (a,b)(4) a buu rp qa b cos (a,b)2r r r r(3a b) ( a 17b)15()52r 2 r r3 a 51abr r r 2 a b 17 b680 1740(8)頁后4.用矢量法證明以下各題：(1) 三角形的余弦定理a2= b2+ c2 2bccosA;(2) 三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距證明：(1)如圖 1-21, ABC 中，設(shè) AC = b , AB = c, BC = a 且1 a |= a, |b |=

27、 b,| c |= c.貝 V a = b c, a 2= (b c)2= b2+ c2 2b c = b 2+ c 2 2|b |c |cosA. 此即a2= b2+c2 2bccosA.(2)如圖1-22，設(shè)AB, BC邊的垂直平分線 PD, PE相交于P,D, E, F 為 AB, BC, CA 的中點b , PC = c,CA = a c,則 AB = b 1 'i2、PD =(a+ b),D 圖 1-12,設(shè) PA = a , PB = a , BC = c b ,因為PE =PD1-(c + b).2AB, PEBC,所以(1)求它的邊長和內(nèi)角(2)求它的兩對角線的長和夾角

28、解：(1) acosuu ra b _ 1Lr =- b 6arccos1 或61arccos-6uuC2a b 714 .cos=0LT uu c1 c2 f |iu c1 c23)6已知 ABC的三頂點A(0,0,3), B(4,0,0), C(0,8,試求：(1) 三邊長 (2) 三內(nèi)角(3)三中線長(4)角A的角平分線矢量uuuADuuur仲點在BC邊上)，并求AD的方向余弦和單位矢量uuu解:(1) AB (4,0,uuur3), AC (0,8,uuur6)，BC (4,8,3)uuuuuuruurAB5,AC10,BC、89cosuuuBC 9uuu-uuur-ABBC25uuu

29、uuu AB9arccos -25cosuur uuiuAC BC _41.89 utur uturAC BC44541. 89arccos445cos Buuur一BC 7 89-UJJtutrBCBC445uuu BA7. 89arccos445uujiu(3) AD1uuuABmunBD1 =(2,4,-92)uuuuAD1 1612ULUUbd2uur BAuuuad2=(-4,4,0)uuuubd24應(yīng)uuuuurUUUIU9uuuu353CD3CAAD3(2, 8,?) CD32cos-uutFutur-ACADuur umrAC ADuuur二 AD =uuu uuurAB AD

30、uuu. uuurAB AD,cos2-.17，cos3J7設(shè)它的單位矢量為a,b,c且b22V MB a,b,c2.17 ' .17 ' .17§ 1.8兩矢量的失性rra1,b5, a b 3.試求：(1) a1已知(2) (ab)112(a b)(a11122b) (b 2a)解：(1) sin (a, b)cos (a, b)(3)2a bab sin(a,b)4.rrr rr r 2r r 2rr(2)原式=(ab)a (ab) b(2a b)4abrr rr rr rr 2rr o(3)原式=a)2bb a2a 4ba( 3ab) =9425264.144

31、(1) (a b)2w a2 b2,并說明在什么情形下等號成立(2) 如果 a + b + c = 0 ,那么 a b = b c = c a2.證明:r rru r rr urr ur r如果a bcd, a cb d .那么a d與b c共線.rururr rurr r rr r r(4)如果ap n,b q n,c r n, 那么 ，a,b,c 共面證明：(1)(ab )2= |ab|2=|a|2|b|2si n2(a，b)w|a|2|b |2=a2 b2.，并說明它的幾何意義要使等號成立，必須sin2 ( a ,b ) = 1,從而sin (a , b ) = 1,故(a,b)= ，即

32、當(dāng)a b時，等號成立.2(2) 由 a + b + c = 0,有(a + b+ c) c = 0 c = 0,但 c c = 0 ,rr-fr于是 a c + b c = 0 ,所以 b c = c a .bbh-Mrb-同理 由(a + b+c)a = 0,有 c a = a b ,-»k-I-從而 a b = b c = c a .其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等r urr riurr r(3)-(a d)(bc )= ad ac briur uru r u=cdb dbd c d=0rr riurrr rr(4)(ab)c(Pn) (qn) (rn

33、)ur rrr rr(P n)qn (rn)03.如果非零矢量n (i = 1,2,3)滿足n r2 r , 垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明:由矢性積的定義易知r；,r2,r3彼此垂直, 下證它們均為單位矢量uurddcr ur r r a d與b c共線.urrrrurrrrrrp(nn)q(pn)qn(rn) =or r rr r r (a b)c 0 a, b, c共面:=31,3=12，那么 n,2,3是彼此且構(gòu)成右手系因為r1 = r2r3 , r21 r1 1=l2IIr3|,I2|= |3|1|,h I=I3 I2I1 |.-L所以所以1 ,由于 I1 I 0,從而

34、 I3 I2= 1，I3I= 1. 同理可證i2 = 1,山i= 1.從而1 ,2 ,3都是單位矢量.4.已知：a 2, 3,1 , b 1, 2,3 與a ,b都垂直，且滿足下列條件的矢量 r(1)解,求c：單位矢量r u(2) c d10 其'7J/、ud 2,1, 7(1)設(shè) c x, y, z2x3y z =0a,c2 yz2=12y3z =0(1)由(1),(2) ,(3)得:15315(2)設(shè) c x,y,z . c35 25 5JJ6 6 6urd10 2x y7z=10由(1),(2) , (4)得:5.在直角坐標(biāo)系占八、A(5,1, 1),B(0, 4,3),C(1,

35、3,7)，試求：(1)ABC的面積ABCcosuuuAB(1)uuu AB xxuur AB ACunr AC uuuruiurAB ( 5,5,4)uuurAC4, 4,8)uuuBC(1,1,4)116sin ASVABCuuur1 uuu2 AB | ACsin A12.2 .uur AC 、96 ,uiurBC h1h38 .，66 ,11邊形的面積.(2)這平行四邊形的兩條高的長rrr rr r 幾、a b16辰/ r、V297解:(1)Sab sin (a,b)-cos (a,b) | r | r sin (a, b)|a|b|7777S3、一 6:a辰b帀,< g-|s 3

36、妬5h2 4s462aa71:)776已知：a 2,3,1b 5,6,4試求:(1)以a, b為邊的平行四7.用矢量方法證明：(1) 三角形的正弦定理a _ b _ csin A sinB sinC(2) 三角形面積的海倫(Hero n)公式，即三斜求積公式：2= P(P a)(p b)(p c).1式中p=(a+b+c)是三角形的半周長，為三角形的面積.2證明:(1)如圖 1-13，在 ABC 中，設(shè) BC = a , CA = b , AB = c ,且lal= a， |b |= b, |c |= c,貝V a + b+c = 0,ff flr從而有 b c = c a = a b ,-I

37、-I-i-所以 |b c |= |c a |= |a b |,bcsinA = cas inB= abs inC,a _ b _ c . sin A sinB sinC(2)同上題圖， ABC的面積為1 -.=-la b|,21所以2=丄(a b)2.4因為 (a b )2+( a b )2= a 2b2,所以2=丄a2b2(a b)2.4由于 a + b+c = 0,f-fc-«T從而 a + b = c , (a + b )2= c2, 所以 a b = Sc2 a2 b2)=丄(c2 a2 b2),2 2故有2= a2b2 1 (c2 a2 b2)24 4=2ab (c2 a2

38、 b2)2 ab+(c2=(a+b)2-c2c2-(a- b)2161=(a+b+c)(a+b c)(c+a b)(c- a+ b) 161= 2p (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2a). 16所以2=p(p a)(p b)(p c),或 =.p(p a)(p b)(p c).§ 1.9三矢量的混合積1.設(shè)a, b, c為三個非零矢量，證明w-«r -fe-ffrff(3) ( a , b , c+ a+ b) =( a , b , c);(4)(aa ) b +(c a) b>bI- F3 ) + (31 )3）（131）+ b, b + c, c

39、 + a) =2( a , b, c).證明:(1)左端=(a b) (c + a + b)=(a b) c+(a b) ( a )+( a b) ( b)=(a b) c+ (a b) a + (a b) b=(a b c)+ (a b a)+ (abb)ir b- -fc-=(a b c)=右端.tr -fc-# frfc- >-fc-(2)左端=(b+ c) (c+a) (a + b)-lr-IrIrfc-=bc+ba +ca (a + b)b-+kfe-»fc-+b-fe-Irfc-k=(bc)a+(ba) a+(ca) a +(bc)b+(b=(b c a)+( c

40、a b )=2( a b c)=右端.2.設(shè)徑矢 OA n , OB J , OC Q ,證明 R = (n D )+ (D 垂直于ABC平面.證明:由于 ABR=(2rj(12)(23)(3rj » V »r r rw nw= (212)(223)(231)(112)(1=(123) (123)0 ,所以 AB R.同理可證 AC R.所以 R平面ABC.3. u = a1 e + b1 e? + Ci e3 ,va?ei + b?e? + c?e3, w = a3ei + b3e? + C3 e3 ,試證明ai(u,v,w)= a?b1 c1*hb? c? (e , e? ,e3).a3b3C3證明:aiu v =a?bib?(eC|G(e? e3)+aia?(e3ei)(u,v,w)=( u v) waibia? b?* Ge3 ) ei + C?