八年級數(shù)學(xué)上冊12.2一次函數(shù)教案新版滬科版1031262

1、 1 12122 2 一次函數(shù)一次函數(shù) 第第 1 1 課時課時 正比例函數(shù)正比例函數(shù) 1初步理解正比例函數(shù)的概念及其圖象的特征 2能夠畫出正比例函數(shù)的圖象 3能夠判斷兩個變量是否能夠構(gòu)成正比例函數(shù)關(guān)系 4能夠利用正比例函數(shù)解決簡單的數(shù)學(xué)問題 重點(diǎn) 正比例函數(shù)的概念 難點(diǎn) 正比例函數(shù)的特征 一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 活動 1 問題 1996 年， 鳥類研究者在芬蘭給一只燕鷗(候鳥)套上標(biāo)志環(huán)； 4 個月零 1 周后， 人們在 2.56萬千米外的澳大利亞發(fā)現(xiàn)了它 (一個月按 30 天計算) (1)這只百余克重的燕鷗大約平均每天飛行多少千米？ (2)這只燕鷗的行程y(單位：千米)與飛行時間x(單位：天

2、)之間有什么關(guān)系？ (3)這只燕鷗飛行 1 個半月的行程大約是多少千米？ (4)對這個問題你還能提出什么問題？ 教師用課件或小黑板出示問題，用投影儀展示這只燕鷗飛行的距離 讓學(xué)生在地圖上找出芬蘭和澳大利亞的位置，并將兩處用直線連接 學(xué)生稍作思考，自主解決三個問題： 燕鷗每天飛行的路程； 燕鷗總行程y(千米)與飛行時間x(天)的關(guān)系式：y200 x. 燕鷗飛行一個半月的行程 老師提示：這里用函數(shù)y200 x對燕鷗的飛行路程問題進(jìn)行刻畫，盡管只是近似的，但它反映了燕鷗的行程與時間之間的對應(yīng)規(guī)律 教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生對飛行總路程與飛行時間的函數(shù)關(guān)系的理解； 學(xué)生能否正確指出自變量、自變量的函數(shù)、自變

3、量的取值范圍 二、合作交流，探究新知 2 活動 2 問題 首先我們來思考這樣一些問題， 看看變量之間的對應(yīng)規(guī)律可用怎樣的函數(shù)來表示？這些函數(shù)有什么共同特點(diǎn)？ 1圓的周長c隨半徑r的大小變化而變化 2鐵的密度為 7.8 g/cm3.鐵塊的質(zhì)量m(g)隨它的體積v(cm3)的大小變化而變化 3每個練習(xí)本的厚度為 0.5 cm.一些練習(xí)本摞在一起的總厚度h(cm)隨這些練習(xí)本的本數(shù)n的變化而變化 4冷凍一個 0 的物體，使它每分鐘下降 2 .物體的溫度t()隨冷凍時間t(分)的變化而變化 教師出示四個實例問題(用投影儀)，要求學(xué)生：(1)能找出變量對應(yīng)表達(dá)式；(2)能說出表達(dá)式中的自變量，自變量的函

4、數(shù) 學(xué)生自主探究，分組討論，然后分小組代表回答問題，教師對回答的問題進(jìn)行評價 教師提問：c2r中，字母是變量嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析上面 4 個函數(shù)的表達(dá)式的共性：都是常數(shù)與自變量乘積的形式 教師口述并板書正比例函數(shù)的概念 (1)你能舉出一些正比例函數(shù)的例子嗎？ (2)表示梯形的面積和圓的面積的函數(shù)式是否是正比例函數(shù)關(guān)系？什么情況下不是？ s12(ab)h. sr2. 教師讓學(xué)生看書，并提問：這里為什么強(qiáng)調(diào)ykx中k是常數(shù)，且k0? 學(xué)生討論，回答并補(bǔ)充 教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： (1)不要認(rèn)為表達(dá)式中的字母都是表示變量 (2)對自變量的取值范圍是否能分析清楚 (3)是否概括出了這幾個函數(shù)的共同特點(diǎn)

5、學(xué)生舉例時教師要提醒：(1)舉出實際問題；(2)能對其中的自變量、比例系數(shù)、函數(shù)關(guān)系進(jìn)行解釋 對舉例不是正比例函數(shù)的要認(rèn)真分析 活動 3 問題 畫出下列正比例函數(shù)的圖象： (1)y2x；(2)y2x. (1)我們知道了怎樣用解析式表示正比例函數(shù)，那么怎樣在直角坐標(biāo)系中畫出正比例函數(shù)的圖象呢？ 教師在黑板上演示用描點(diǎn)法畫出y2x的圖象 應(yīng)注意：(1)操作規(guī)范，有示范性 (2)要師生同畫 要學(xué)生獨(dú)立畫出y2x圖象 應(yīng)注意：(1)評價學(xué)生所畫的圖象；(2)與學(xué)生一起總結(jié)畫圖象的主要步驟：列表、描點(diǎn)、連線 (2)觀察分析兩個圖象的異同 兩圖象都經(jīng)過_，兩圖象都是_，函數(shù)y2x的圖象從左向右呈_， 3

6、經(jīng)過第_象限；函數(shù)y2x的圖象從左向右呈_，經(jīng)過第_象限 練習(xí)： 在同一坐標(biāo)系中畫出y12x和y12x的圖象 活動 4 問題 1從以上作圖過程可以發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)的圖象有什么特征？ 2經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)(1，k)的直線是哪個函數(shù)的圖象？ 教師在畫圖過程中進(jìn)行指導(dǎo)，學(xué)生畫完圖后，讓學(xué)生討論回答這兩個圖象的特點(diǎn)，與活動3 中的兩個圖象的特點(diǎn)相比較 讓學(xué)生根據(jù)討論的結(jié)果概括、歸納出正比例函數(shù)圖象特征，教師板書寫出正比例函數(shù)圖象的特征 此處，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： (1)學(xué)生是否通過對正比例函數(shù)解析式觀察分析， 發(fā)現(xiàn)當(dāng)k0 時的函數(shù)y與自變量x同號，當(dāng)k0 時，圖象過第一、三象限；當(dāng)kx3x2，則y1，y2，y3的

7、大小關(guān)系為( ) ay1y3y2 by1y2y3 cy1y3y2y1 分析：由ykx的圖象經(jīng)過第一、三象限，可知k0，即k0，k2x3x2得y1y30時，y隨x的增大而增大；k0 時，直線ykx經(jīng)過第一、三象限且從左向右上升，即y隨著x的增大而增大；當(dāng)k0 時直線從左向右上升，即y隨x的增大而增大；當(dāng)k0 時直線從左向右下降，即y隨x的增大而減小 應(yīng)重點(diǎn)指導(dǎo)：(1)觀察、類比新知的方法；(2)一次函數(shù)的性質(zhì)與k有關(guān)；(3)從“數(shù)”和“形”兩個方面去理解和掌握一次函數(shù)的性質(zhì) 做一做 1練習(xí)：教材 p39 練習(xí) 2課外思考：根據(jù)已做的題目，歸納ykxb(k0)中b對函數(shù)的影響 學(xué)生獨(dú)立板演，老師巡

8、視，了解學(xué)生對知識掌握的情況 對學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的情況，有針對性地講解，了解學(xué)生是否通過數(shù)形結(jié)合解決問題 三、運(yùn)用新知，深化理解 例 1 已知一次函數(shù)y(63m)x(n4) 6 (1)m為何值時，y隨x的增大而減小？ (2)m、n為何值時，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方？ (3)m、n為何值時，函數(shù)圖象過原點(diǎn)？ 分析：(1)因為k0 時，y隨x的增大而減小，故 63m0；(2)要使此函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，必有 63m0，同時n40；(3)函數(shù)圖象過原點(diǎn)是正比例函數(shù)的特征，即 63m0 且n40. 解：(1)依題意，得 63m0，即m2.故當(dāng)m2 時，y隨x的增大而減?。?(2)依題

9、意，得63m0，n40.解得n4 且m2.故當(dāng)m2 且n0，b0，b0，則y2的圖象應(yīng)過第一、二、三象限，故 b 錯；d 選項中，由y1的圖象知a0，則y2的圖象應(yīng)過第一、三、四象限，故 d 錯 【歸納總結(jié)】對于兩種不同函數(shù)的圖象共存同一坐標(biāo)系問題，一般常假設(shè)某一圖象正確，然后根據(jù)相同字母系數(shù)的符號的不變性，來判定另一圖象是否正確，進(jìn)而解決問題 四、課堂練習(xí)，鞏固提高 1教材 p38 練習(xí) 2請同學(xué)們完成探究在線高效課堂“隨堂演練”內(nèi)容 五、反思小結(jié)，梳理新知 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象：一條直線，我們稱它為直線ykxb，它可以看作由直線ykx平移|b|個單位長度得到（當(dāng)b0時，向上平移；當(dāng)b3

10、x10. 思考：不等式 5x63x10 可以轉(zhuǎn)化為axb0 的形式嗎？所有的不等式是否都能轉(zhuǎn)化為這種形式呢？ 2當(dāng)自變量x為何值時，函數(shù)y2x4 的值大于 0? 思考：以上兩個問題是同一個問題嗎？ 3問題 2 能用一次函數(shù)圖象說明嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生解不等式后再思考問題 師生共同歸納：(1)在問題 1 中，不等式 5x63x10 可以轉(zhuǎn)化為 2x40，解這個不等式得x2. (2)思考問題的答案是肯定的 (3)解問題 2 就是要解不等式 2x40，得出x2 時，函數(shù)y2x4 的值大于 0.因此這兩個問題實際上是同一個問題 教師導(dǎo)入新課： 是不是所有的一元一次不等式都可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的相關(guān)問題呢？它在函

11、數(shù)圖象上的表現(xiàn)是什么？如何通過函數(shù)圖象來解一元一次不等式？ 解不等式，討論歸納 畫圖嘗試 二、合作交流，探究新知 探究一 方程axb0(a，b為常數(shù))與“求自變量x為何值時，一次函數(shù)yaxb的值為 0”有什么關(guān)系？ 教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊事例中尋求一般規(guī)律， 進(jìn)而總結(jié)出一次函數(shù)與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系，從思想上真正理解函數(shù)與方程的關(guān)系 學(xué)生在教師引導(dǎo)下，通過自主合作，分析思考，找出這兩個具體問題中的一般規(guī)律，從而經(jīng)過討論，歸納概括出較完整的關(guān)系，還要從思想上正確理解函數(shù)與方程關(guān)系的目的 學(xué)生認(rèn)真思考、積極討論，并展示自己的結(jié)論 師生共同歸納： 由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為axb0(a，b為常數(shù)

12、，a0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)值為 0 時，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線ykxb確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值 在此活動中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： (1)學(xué)生是否能從“數(shù)”和“形”兩個角度去認(rèn)識一次函數(shù)與解一元一次方程； (2)學(xué)生是否會考慮用函數(shù)的圖象法去解一元一次方程 探究二 14 一個物體現(xiàn)在的速度是 5 m/s，其速度每秒增加 2 m，再過幾秒它的速度為 17 m/s? 思考：(1)本題的相等關(guān)系是什么？ (2)設(shè)再過x秒物體速度為 17 m/s，能否列出方程？ (3)如果速度用y表示，那么能否列出函數(shù)表達(dá)式？ (4)上面不同的解法，各有什么特點(diǎn)

13、？ 學(xué)生審題后，教師引導(dǎo)，讓學(xué)生用方程或函數(shù)解決此題 解答如下： 解法一：設(shè)再過x秒物體速度為 17 m/s. 由題意可知：2x517， 解之得：x6. 解法二：速度y(m/s)是時間x(s)的函數(shù)，關(guān)系式為：y2x5. 當(dāng)函數(shù)值為 17 時，對應(yīng)的自變量x值可通過解方程 2x517 得到，x6. 解法三：由 2x517 可變形得到： 2x120. 從圖象上看，直線y2x12 與x軸的交點(diǎn)為(6，0)，得x6. 此問題教師應(yīng)關(guān)注： (1)讓學(xué)生知道，解法一、二是從“數(shù)”的方面考慮；解法三就是從“形”的方面考慮 (2)對于解法三，學(xué)生能否畫圖解決 (3)學(xué)生對比兩種解法的優(yōu)缺點(diǎn)：直接解方程比解法

14、三更簡潔但解法三顯示了一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系 探究三 利用圖象求方程 6x3x2 的解 思考： (1)如何將方程變形為一般形式？哪條直線與x軸的交點(diǎn)就是原方程的解？ 教師引導(dǎo)學(xué)生通過解決問題掌握方法，提高認(rèn)識，從思想上真正理解數(shù)形結(jié)合的重要性 學(xué)生在教師引導(dǎo)下用不同的思維方法來解決這一問題，從思想上理清數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合 活動過程與結(jié)論： 方法一： 我們首先將方程 6x3x2 整理變形為 5x50. 然后畫出函數(shù)y5x5 的圖象，看直線y5x5 與x軸的交點(diǎn)為(1，0)，故可得x1. (2)我們可以把方程6x3x2看作函數(shù)y6x3與yx2在何時兩函數(shù)值相等？如果這樣，原方程的解應(yīng)是什么

15、？ 方法二： 15 我們可以把方程 6x3x2 看作函數(shù)y6x3 與yx2 在何時兩函數(shù)值相等，即可從兩個函數(shù)圖象上看出，直線y6x3 與yx2 的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是方程的解 由圖象可以看出直線y6x3 與yx2 交于點(diǎn)(1，3)，所以x1. 教師應(yīng)關(guān)注： (1)學(xué)生是否理解原方程 6x3x2 整理變形為 5x50， 然后再用畫出函數(shù)y5x5的圖象求解的意圖 (2)對兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)的含義是否理解 探究四 1我們先觀察函數(shù)y2x4 的圖象能否解決活動 2下的問題 2? 如圖： 教師引導(dǎo)學(xué)生看圖：在x軸上方的函數(shù)值及所對應(yīng)的自變量x的對應(yīng)關(guān)系 師生共同歸納：由此可知，通過函數(shù)圖象也可求得不

16、等式 2x40 的解集為x2. 由上面兩個問題的關(guān)系， 我們能得到“解不等式axb0”與“求自變量x在什么范圍內(nèi)，一次函數(shù)yaxb的值大于 0”之間的關(guān)系，實質(zhì)上是同一個問題 師生共同歸納： 由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為axb0 或axb2 時，直線y2x4 上的點(diǎn)全在x軸上方，即這時y2x40. 2由上面的兩個問題，你能否說出一次函數(shù)與一次不等式之間有何關(guān)系？ 探究五 用畫函數(shù)圖象的方法解不等式 5x42x10. 解法一：原不等式可以化為 3x60，畫出直線y3x6 的圖象，可以看出，當(dāng)x2 時，這條直線上的點(diǎn)在x軸的下方即這時y3x60，所以不等式的解集為：x2. 解法二：將原不等式

17、的兩邊分別看作兩個一次函數(shù)，畫出直線y5x4 與直線y2x10，可以看出，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2.當(dāng)x2 時，對于同一個x，直線y5x4 上的點(diǎn)在直線y2x10 上的相應(yīng)點(diǎn)的下方，這時 5x42x10，所以不等式的解集為：x2. 16 從上面兩種解法可以看出，雖然像上面那樣用一次函數(shù)圖象來解不等式未必簡單， 但是從函數(shù)角度看問題，能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)、一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地看出怎樣用圖形來表示不等式的解 此活動教師應(yīng)關(guān)注：(1)學(xué)生是否積極參與探討問題；(2)從函數(shù)值的角度(數(shù))看，就是尋求一次函數(shù)yaxb的值大于(或小于)0 的自變量的取值范圍；(3)從函數(shù)圖象上(形)看，就是確定直線

18、ykxb在x軸上(或下)方部分的所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合 引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察、尋求答案，并能通過兩種不同解法，得到同一答案，探索思考總結(jié)歸納出其中的共同點(diǎn) 三、運(yùn)用新知，深化理解 例 已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)a(1，4)、b(1，0)，求該函數(shù)的解析式并畫出它的圖象，利用圖象求： (1)當(dāng)x為何值時，y0，y0； (2)當(dāng)3x0 時，y的取值范圍； (3)當(dāng)2y2 時，x的取值范圍 分析：首先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，然后在直角坐標(biāo)系中描出a(1，4)、b(1，0)兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)畫直線，再結(jié)合圖象解答各問題 解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為ykxb，代入(1，4)、(1，0)得kb4，kb0，解得k2，b2.所以y2x2.一次函數(shù)y2x2 的圖象如圖所示由圖可得： (1)當(dāng)x1 時，y0；當(dāng)x1 時，y0； (2)當(dāng)3x0 時，4y2； (3)當(dāng)2y2 時，2x0. 【歸納總結(jié)】從圖象上看，kxb0 的解集是直線ykxb(k0)位于x軸上方的部分所對應(yīng)的自變量x的取值范圍；kxb0 的解集是直線ykxb(k0)位于x軸下方的部分所對應(yīng)的自變量x的取值