圓錐曲線解題方法技巧歸納

1、圓錐曲線解題方法技巧歸納一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五種：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 k tan , 0, ）點(diǎn)到直線的距離Ax0 By0 CA2 B2夾角公式： tank2 k11 k2k1兩直線距離公式3）弦長(zhǎng)公式直線 y kx b 與圓錐曲線兩交點(diǎn) A（x1,y1）,B（x2,y2 ）間的距離：AB 1 k2 x1 x2(1 k 2 )(x1 x2) 4x1x2 或 AB（ 若 A 點(diǎn)為交點(diǎn)，另一點(diǎn)不在圓錐曲線上，上式仍然成立。）（4）兩條直線的位置關(guān)系l1 l2k1k2 =-1 l1 /l2 k1 k2且b

2、1 b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)（1） 、橢圓的方程的形式（三種形式）22標(biāo)準(zhǔn)方程：xy1(m 0,n 0且 m n) mn距離式方程： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a參數(shù)方程： x acos ,y bsin（2） 、雙曲線的方程的形式有兩種22標(biāo)準(zhǔn)方程： x y 1(m n 0)mn參數(shù)方程：距離式方程： | (x c)2 y2(x c)2 y2 | 2a(3) 、三種圓錐曲線的通徑22橢圓：2b ；雙曲線：2b ；拋物線：2p aa(4) 、圓錐曲線的定義(5) 、焦點(diǎn)三角形面積公式： P在橢圓上時(shí)， SFPF b2 tan1 2 2P在雙曲線上時(shí)， S F1PF2 b2 co

3、t2其中 F1PF2,cos| PF1 |2 |PF2 |2 4c2 , uPuFur ?uPuFuur|PF1 | |PF2 | , PF1 ?PF2uuur uuuur|PF1 | PF2 |cos(6) 、記住焦半徑公式： (1)橢圓焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)為 a ex0 ;焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為 a ey0 ，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減” 。2) 雙曲線焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)為 e| x0 | a3)拋物線焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)為 |x1 | 2p ,焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為 |y1|(6) 、橢圓和雙曲線的基本量三角形 二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問(wèn)題)設(shè) A x1,y1 、B x2,y2 ，的弦 AB 中點(diǎn)則

4、有兩式相減得x1 x2 x1x2y1 y2 y1 y23kAB =2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程， 并且與曲線的方程聯(lián)立， 消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式 0 ，以及根與系數(shù)的關(guān)系， 代入弦長(zhǎng)公式， 設(shè)曲線上的兩點(diǎn) A( x1 , y1), B ( x2 , y2 ) ，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到 1 2兩個(gè)式子，然后1 - 2 ，整體消元· ·····，若有兩個(gè)字A、B、母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)F

5、共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處 理。一旦設(shè)直線為 y kx b ，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓 4x2 5y2 80 上，且點(diǎn) A是橢圓短軸的一個(gè)端 點(diǎn)（點(diǎn) A在y 軸正半軸上） .（1）若三角形 ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程 ;2）若角 A為900，AD垂直 BC于 D，試求點(diǎn) D的軌跡方程分析：第一問(wèn)抓住“重心” ，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC的斜率，從而寫出直 線 BC 的 方 程 。 第 二 問(wèn) 抓 住 角 A 為 900 可 得 出 AB AC， 從 而 得 x1x2 y1

6、y2 14（y1 y2） 16 0 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：（1）設(shè)B ( x1 ,y1 ),C(x2 , y2),BC中點(diǎn)為( x0,y0 ),F(2,0) 則有2222x1y1x2y22 11, 220162016兩式作差有(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0x0y0k 0 (1)201654F(2,0) 為三角形重心，所以由 x1 x2 2，得x0 3，由 y1 y2 4 0得y02，代33入( 1)得 k 65直線 BC的方程為 6x 5y 28 02)由 ABAC得 x1x2 y1y2 14(y1 y2 ) 16 0 (2)2 2 2 2 2

7、設(shè)直線 BC方程為y kx b,代入 4x25y280 ，得 (4 5k2 )x210bkx 5b280 0x1 x210kb ，4 5k 2 ，x1x225b2 804 5k2y1y28k4 5k 2,y1y24b2 80k 24 5k 2代入（ 2）式得29b2 32b 164 5k 20，解得 b 4（舍）或 b44 y 9直線過(guò)定點(diǎn)( 0， )，設(shè) D(x,y )，則99xy 41，即 9y 2 9x2 32y 16 0x圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy ，如圖，若設(shè)C c2,h，

8、代22入ax2 by2 1，求得 h L，進(jìn)而求得xE L ,yE L ,再代入22xy22ab1，建立目標(biāo)函數(shù) f (a,b,c, ) 0 ，整理f (e, ) 0 ，此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難. 我們對(duì)h可采取設(shè)而不求的解題策略 ,建立目標(biāo)函數(shù) f(a,b,c, )0，整理 f(e, ) 0 ,化繁為簡(jiǎn) .解法一：如圖，以 AB為垂直平分線為 y軸，直線 AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系 xOy ，則 CD y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C、D，且以 A、B為焦點(diǎn)， 由雙曲線的對(duì)稱性知 C、D關(guān)于 y軸對(duì)稱依題意，記 Acc,0 ，C 2,h ，E x0, y01，其中 c 12|AB|為雙曲線的半焦距，

9、h 是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0cc212c， y02設(shè)雙曲線的方程為 x2a22 y b21，則離心率由點(diǎn) C、 E 在雙曲線上，將點(diǎn)C、E 的坐標(biāo)和 eac 代入雙曲線方程得h2b21，h21 b2由式得h2b2e21，將式代入式，整理得故2 由題設(shè) 233243得， 233e2 11 e2 2 4解得 7 e 10所以雙曲線的離心率的取值范圍為 7, 10AE, AC 用E,C的橫坐標(biāo)表示， 回避 h分析：考慮 AE , AC 為焦半徑 , 可用焦半徑公式的計(jì)算 , 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一，AEa exE, ACa exC ，xEcc212cAE又AC，代入整

10、理11 23 ，由 題設(shè) e134得，2133e2 210解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為 7, 105、判別式法22例 3已知雙曲線 C: y2 x2 1，直線 l 過(guò)點(diǎn) A 2,0 ，斜率為 k，當(dāng) 0 k 1時(shí)，雙曲 22線的上支上有且僅有一點(diǎn) B到直線 l的距離為 2 ，試求 k的值及此時(shí)點(diǎn) B的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研 究解析幾何問(wèn)題的重要手段 . 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B 作與 l平行的直線，必與雙曲線 C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思

11、路：l : y k(x 2) 0 k 1直線 l'在l的上方且到直線 l 的距離為 2l': y kx 2k2 2 2k把直線 l'的方程代入雙曲線方程，消去 y，令判別式0解得 k的值解題過(guò)程略分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B到直線 l的距離為 2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}kx 2 x22k關(guān)于 x 的方程k 2 12 0 k 1 有唯一轉(zhuǎn)化求解為一元二次方程根的問(wèn)題簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn) M(x, 2 x2 )為雙曲線 C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M到直線 l 的距離為：kx 2 x22kk

12、2 1 20k1于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 x的方程 .由于 0 k 1，所以 2 x2kx 2 x2x kx ，從而有2k kx 2 x22k.于是關(guān)于 x 的方程kx 2 x22k2(k 2 1)2 2 2 22 x2( 2(k 2 1) 2k kx)2,2(k 2 1) 2k kx 02k2 1x2 2k 2(k2 1) 2k x 2(k2 1) 2k 2 0,2(k 2 1) 2k kx 0.由 0 k 1 可知：2 方程 k2 1x2 2k 2(k2 1) 2k x2(k2 1) 2k 2 0的二根同正，故2(k2 1) 2k kx 0 恒成立，于是 等價(jià)于k2 1x2 2k 2(

13、k2 1) 2k x222(k 2 1) 2k 2 0.由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式0 ，就可解得點(diǎn)評(píng) ：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換， 充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .22例 4 已知橢圓 C: x 2 2y28 和點(diǎn) P( 4，1)，過(guò) P 作直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，在線段 AB 上取點(diǎn) Q，使APPBAQQB ，求動(dòng)點(diǎn) Q的軌跡所在曲線的方程分析： 這是一個(gè)軌跡問(wèn)題， 解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾， 學(xué)生往往不知從何入手。 其實(shí)， 應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解 . 因此，首先是選定參數(shù)， 然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q 的橫、 縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可

14、達(dá)到解題的目的 .由于點(diǎn) Q( x, y)的變化是由直線 AB的變化引起的，自然可選擇直線 AB的斜率 k作為參數(shù)，如何將 x,y與k 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn) Q在直線 AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：AP AQ來(lái)轉(zhuǎn)化 .由 A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到x4(xAxB)2xAxB ，要建立x與kPB QBx 8(xAxB )的關(guān)系，只需將直線 AB的方程代入橢圓 C 的方程，利用韋達(dá)定理即可 .已經(jīng)做通過(guò)這樣的分析， 可以看出， 雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題， 到心中有數(shù)AP AQPB QBx 4(xA xB) 2xAxB8 (xA xB )將直線方程代入橢圓方程，消去 y

15、 ，利用韋達(dá)定理xfk利用點(diǎn) Q滿足直線 AB的方程： y = k (x 4)+1，消去參數(shù) k點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到 x f k 之后，如果能夠從整體上把握， 認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于 x,y的方程(不含 k)，則可由 yk(x 4) 1解得 ky1，直接代入 xf k 即可得到軌x4跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè) A x1,y1 ,B(x2，y2),Q(x, y) ，則由APAQ 4 可得：x1 x x1 ，PBQBx24 x2 x解之得： x 4(x1 x2 ) 2x1x2(1)8 (x1 x2)設(shè)直線 AB 的方程為： yk(x 4) 1，代入橢圓 C的方程，消去

16、 y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程：222k 2 1 x2 4k(1 4k)x2(1 4k)2 8 0x1 x24k(4k 1)2k2 1x1x222(1 4k) 82k2 1代入( 1)，化簡(jiǎn)得： x4k 3k2與 y k(x 4) 1聯(lián)立，消去 k得： 2x y 4 (x 4) 0.在（2）中，由64k2 64k 24 0 ，解得 2 10 42 10 ，結(jié)合（ 3）可求得416 2 10 x916 2 109故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： 2x y 4 0 （ 16 2 10 916 2 10 ) .點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元 ， 產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的元二次方程，其判別式、. ，而韋達(dá)定理模

17、塊思維易于想到 . 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道6、求根公式法2 例 5 設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) P（ 0， 3），和橢圓 x9y1順次交于 A、B兩點(diǎn)，試求 AP 的取值4 PB范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP= xA ，但從此后卻一籌莫展 , 問(wèn)題的根 PBxB源在于對(duì)題目的整體把握不夠 . 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系分析 1: 從第一條想法入手，APPBxAA

18、 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量xBxA ,xB ，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3 個(gè)變量直線 AB 的斜率 k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將 xA,xB轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線 l垂直于 x 軸時(shí)，可求得APPB當(dāng)l與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)A x1, y1 ,B（x2，y2），直線 l 的方程為：y kx 3 ，代入橢圓方程，消去 y得 9k2 4 x2 54kx 45 0解之得27k 6 9k 2 529k2 4因?yàn)闄E圓關(guān)于y 軸對(duì)稱，點(diǎn) P 在 y 軸上，所以只需考

19、慮 k 0 的情形 .當(dāng)k0時(shí)，x127k 6 9k2 5x2所以APPBx1x29k2 49k 2 9k 2 5=19k 2 9k 2 5227k 6 9k2 5 ，9k2 418k =2 =19k 2 9k2 5185k2所以54k)2180 9k24 0, 解得 k2 59，182 9 5k21，5綜上APPB分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k 的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 k 聯(lián)系起來(lái) . 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原APx1因在于 1 不是關(guān)于

20、x1,x2的對(duì)稱關(guān)系式 . 原因找到后， 解決問(wèn)題的方法自然也就有PBx2了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 x1,x2的對(duì)稱關(guān)系式簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線 l 的方程為： y kx 3，代入橢圓方程，消去 y 得x1x2229k2 4 x2 54kx 45 0*）54k9k 2 4459k 2 4令 x1，則，1 324k 2x22 2 .45k 2 20在（ *）中，由判別式0, 可得 k25，9從而有42324k 236 ，所以4 1 236，解得2，45k 2 20 555.結(jié)合 011得 11.5綜上， 1AP1.PB5點(diǎn)評(píng) ：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界x1

21、x2性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 . 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解 法.解題猶如打仗， 不能只是忙于沖鋒陷陣， 一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題， 有時(shí)甚至?xí)?被局部所糾纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn) 籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕?題方法，達(dá)到解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中， 必須注意所使用的命 題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

22、通過(guò)編寫思 維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例 6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 A, B ， O為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點(diǎn)，且 AF FB 1，OF 1 （）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為 M ，直線 l 交橢圓于 P,Q 兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線 l ，使點(diǎn) F恰為 PQM 的垂心？若存在，求出直線 l的方程 ;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：由 F 為 PQM 的重心PQ MF,MP FQk PQ2y2消元223x2 4mx 2m2 2 0兩根之和，兩根之積uuur uuur MP ? FQ 0得出關(guān)于 m 的方程解出 muuur uuur 由 AF ?FB 1 ，OuuFur1

23、(a c)(a c) 1， c 1a 2,b 1 寫出橢圓方程解題過(guò)程：)如圖建系，設(shè)橢圓方程為ax22 by221(a0),則 c 1又 AF FB 1即 ( ac)(a c) 1 a2 2故橢圓方程為 x y22)假設(shè)存在直線 l 交橢圓于P,Q 兩點(diǎn)，且 F 恰為PQM 的垂心，則設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)， M (0,1), F (1,0)，故 kPQ 1，y x m 2 2 于是設(shè)直線 l 為 y x m ，由 2 2得， 3x2 4mx 2m2 2 0x2 2 y2 2 uuur uuurMP FQ 0 x1(x2 1) y2(y1 1) 又 yi xi m(i 1,2)

24、得 x1( x2 1) ( x2 m)(x1 m 1) 0 即2x1x2( x1 x2)(m1)2m m 0由韋達(dá)定理得2m22 4m1)22(mm2 m 033解得 m44或 m 1(舍)經(jīng)檢驗(yàn) m符合條件33點(diǎn)石成金： 垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例 7、已知橢圓 E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A( 2,0) 、 B(2,0) 、C 1, 3 三點(diǎn)2)求橢圓 E 的方程：)若點(diǎn) D為橢圓 E上不同于 A、 B的任意一點(diǎn)， F( 1,0), H (1,0) ，當(dāng) DFH 內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH 內(nèi)心的坐標(biāo)； 思維流程：)由橢圓經(jīng)過(guò) A、

25、B、C 三點(diǎn)設(shè)方程為 mx 2 ny2 1得 到 m,n 的 方 程解出 m,n由 DFH 內(nèi)切圓面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH 面積最大得出 D 點(diǎn)坐標(biāo)為0,轉(zhuǎn)化為點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D 為橢圓短軸端點(diǎn)1r3DFH 面積最大值為 3S DFH 周長(zhǎng)r內(nèi)切圓r內(nèi)切圓32解題過(guò)程： () 設(shè)橢圓方程為2 mx2ny21 m 0,n0，將 A( 2,0) 、 B(2,0) 、3C(1,2) 代入橢圓 E的方程，得4m 1,229 解得1 m ,n1橢圓xE 的方程y1m n 143.4341) |FH | 2 ，設(shè) DFH 邊上的高為 S DFH 2 h hDFH 2當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，

26、 h最大為 3，所以 SDFH 的最大值為 31設(shè) DFH 的內(nèi)切圓的半徑為 R ，因?yàn)?DFH 的周長(zhǎng)為定值 6所以， S DFH R 6DFH 2所以 R的最大值為 3 所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 (0, 3)3 3 .點(diǎn)石成金： S 的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)r 的內(nèi)切圓例 8、已知定點(diǎn) C( 1，0) 及橢圓 x23y2 5，過(guò)點(diǎn) C 的動(dòng)直線與橢圓相交于A， B 兩點(diǎn).1)若線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線 AB 的方程；)在 x 軸上是否存在點(diǎn) M ，使 MA MB 為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思維流程：)解：依題意，直線AB 的斜率存在，設(shè)直線AB 的方程為 y k

27、(x 1) ，將 y k(x 1)代入 x2 3y25， 消去 y 整理得 (3k 當(dāng)直線 AB 與 x 軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A， B 的坐標(biāo)分別為 1)x2 6k2x 3k2 5 0.設(shè) A(x1， y1)，B(x2，y2)，則x14 2 2 36k4 4(3k2 1)(3k2 6k2 x22 .23k2 15)0，(1)(2)由線段AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1 x223k23k2 111 ，解得23 ，符合題3意。所以直線 AB 的方程為 x3y0，或x3y 10.)解：假設(shè)在 x軸上存在點(diǎn) M (m,0) ，使 MA MB為常數(shù) .6k2 ，3k25x1x2x1x22，2. (3)3k2 13k

28、21uuuruuur所以MAMB (x1m)(x2m)y1y2 (x1 m)(x2m)k2(x11)(x2 1)(k21)x1x2(k2m)(x1 x2)k22 m.將(3)代入，整理得uuurMAuuurMB(6m 1)k252 m12(2m 13)(3k21)2m1432 m3k213k21當(dāng) 直 線 AB與x軸不垂直時(shí)由)知2 1 6m 14m 2m 2 .3 3(3k2 1)7 uuur uuur 4 注意到 MA MB 是與 k 無(wú)關(guān)的常數(shù)， 從而有 6m 14 0，m， 此時(shí) MA MB .397 uuur uuur m 37時(shí)， 亦有MA MB綜上，在 x 軸上存在定點(diǎn) M7，0

29、 ，使 MA MB為常數(shù) .3點(diǎn)石成金： uMuuAr uMuuBr (6m21)k2 5 3k2 11214(2m )(3k2 1) 2m332323m23k2 1m22m 136m 143(3k2 1)例 9、 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2 倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M（ 2，1），平行于 OM的直線 l 在 y 軸上的截距為m（ m0）， l 交橢圓于 A、B 兩個(gè)不同點(diǎn)。）求橢圓的方程；）求 m的取值范圍；）求證直線 MA、MB與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 思維流程：2by2 1(a b 0)2解：（1）設(shè)橢圓方程為 x 2a2a則42a2b1b21解得2 a b2橢

30、圓方程為x2）直線l 平行于OM，且在 y 軸上的截距為又 KOM=2l的方程為： y1xm2y由2x81x22y2m2x122mx 2m2 4 0直線 l與橢圓交于 A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，解得(2m)22m4(2m22,且m4) 0,0） 設(shè)直線 MA、 MB的斜率分別為 k1， k2，只需證明k 1+k2=0 即可設(shè) A(x1,y1),B(x2, y2),且x1x22m,x1x2 2m 2 4則 k1 y1 1,k2y2 1x1 2x2 2由 x2 2mx 2m2 4 0可得2x1 x22m,x1x2 2m 4而 k1 k 2y11y21(y11) (x2 2) (y2 1)(x12)x12x

31、22 (x1 2)(x2 2)11(2 x1 m 1)(x2 2) (2 x2 m 1)(x1 2) (x1 2)(x2 2)x1x2 (m 2)(x1 x2 ) 4(m 1)2m2(x1 2)(x2 2)4 (m 2)( 2m) 4(m 1)(x1 2)(x2 2)2m224 2m 4m 4m 40(x1 2)(x2 2)k1 k2 0故直線 MA、MB與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形點(diǎn)石成金：直線 MA、MB與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形k1 k2 02例 10、已知雙曲線 x 2a22 y b21的離心率 e 2 33，過(guò) A(a,0),B(0, b) 的直線到原點(diǎn)的距離是 3 .21

32、)求雙曲線的方程；( 2)已知直線 ykx 5(k0) 交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D 且 C，D都在以B 為圓心的圓上，求 k 的值 .思維流程：解：(1)c23 , 原 點(diǎn) 到 直線AB ：xy1的距離a3abd abab3.d a 2b 2 c2 .b 1, a3.故所求雙曲線方程為x3y 2 1.2）把 y kx 5 代入x2 3y2 3 中消去 y，整理得 (1 3k2)x2 30kx 78 0.x0k BEx1 x 22y 0 1x015 k12 3k 2 1. k.y0kx 0 51523k 2x0ky00,15 k即 1 153kk 25k1 3k 20, 又 k0, k 2 7故所

33、求 k=±7.點(diǎn)石成金 : C，D 都在以 B為圓心的圓上BC=BDBECD;例 11、 已知橢圓 C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點(diǎn)是 E(x0,y0) ，則為 3，最小值為 1 （）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；II ）若直線 l :y=kx+m與橢圓 C 相交于 A、B兩點(diǎn)（ A、B不是左右頂點(diǎn)） ，且以 AB為直徑的圓過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn)求證：直線l 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維流程：解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2a2 y b21(ab 0) ，由已知得：c 3， a c 1，a 2，b21，2c橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2 13II )設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立y kx m，22x2 y2 1.2 2 2得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ，則2264m k 16(38mk3 4k2 4(m2 3)224k )(m 3)0，即 3 4k2 m2 0，x1 x2x1x22 .3 4k又 y1y2 (kx1 m)(kx2 m)k2x1x2mk(x1x2)3(m2 4k2)3 4k 2因?yàn)?/p>