云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

1、云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教師周教學(xué)方案課程名稱：高等幾何任課教師：朱維宗教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第一周第一章：仿射幾何學(xué)的基本概念第1.1節(jié)第1.1節(jié)教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）緒言（2課時(shí)）（2）1.1平行射影與仿射對(duì)應(yīng)（3）仿射不變性與仿射不變量（定理1-定理4）2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：（1）高等幾何學(xué)研究的主要內(nèi)容、方法及射影幾何的意義。（2）平行射影的概念、幾何特征；仿射對(duì)應(yīng)的概念、不變?cè)嘏c性質(zhì)。（3）仿射不變性與仿射不變量的概念及主要結(jié)論。教學(xué)邏輯關(guān)系分析：根據(jù)高等幾何的結(jié)構(gòu)以及高等幾何的抽象性、形式化較高的特點(diǎn)，教學(xué)基本方式采用格式塔教學(xué)理論較好。所謂

2、格式塔教學(xué)理論是對(duì)每章、每節(jié)先介紹教材設(shè)計(jì)的整體特點(diǎn)、主要內(nèi)容，以及各部分的邏輯聯(lián)系；再將內(nèi)容細(xì)化，詳細(xì)講解難重點(diǎn)及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；最后進(jìn)行總結(jié)。讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)情況整體及各部分內(nèi)容有了較好了解后，“頓悟”教學(xué)內(nèi)容。教材第一章將歐氏幾何利用仿射變換（對(duì)應(yīng)）擴(kuò)張到仿射幾何，重點(diǎn)是仿射對(duì)應(yīng)的概念、性質(zhì)、不變性與不變量，其教學(xué)對(duì)同學(xué)學(xué)習(xí)射影幾何至關(guān)重要，在教學(xué)過(guò)程中將向同學(xué)介紹“類比學(xué)習(xí)”，以期取得較好的效果。3.日期： 2005年 2 月 24日2 月 24日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年2月24日章節(jié)名稱緒言教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）高等幾何研究的主要內(nèi)容、基本方法及學(xué)習(xí)高等幾何的意義（2）幾何變換教

3、學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)與幾何學(xué)歐氏幾何的研究特點(diǎn)：變換 ：平移、旋轉(zhuǎn)、反射不變量 ：距離、角度基本元素 ：點(diǎn)研究對(duì)象 ：點(diǎn)直線（線段、射線） 三角形（凸）四邊形多邊形圓圓錐曲線仿射幾何的研究特點(diǎn)：變換 ：仿射（平行射影鏈）不變量 ：共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比、平行線段的比、圖形面積的比基本元素 ：點(diǎn)、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)研究對(duì)象 ：與同素性、綜合性、簡(jiǎn)比有關(guān)的命題射影幾何的研究特點(diǎn)：變換 ：射影（中心射影鏈）不變量 ：共線四點(diǎn)（共點(diǎn)四線）的交比基本元素 ：點(diǎn)、直線研究對(duì)象 ：與結(jié)合性、交比有關(guān)的命題教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第二周第一章：仿射幾何學(xué)的

4、基本概念第1.2節(jié)第1.4節(jié)教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）仿射不變性與仿射不變量（定理5） （2）平面到自身的透視仿射 （3）平面內(nèi)的一般仿射2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：（1）圖形面積的比是仿射量。（2）平面內(nèi)的透視仿射由對(duì)應(yīng)軸與其外一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全決定。（3）平面仿射幾何基本定理。教學(xué)邏輯關(guān)系分析：本周教學(xué)的關(guān)鍵是介紹射影幾何處理幾何問(wèn)題的方法。在1.2節(jié)定理5的證明中，關(guān)鍵是介紹教材處理的技巧：“程序教學(xué)法”。即將教材分成具有邏輯聯(lián)系的小塊，對(duì)每塊進(jìn)行強(qiáng)化處理。1.3節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵是：教材為何先證明平面到自身的透視仿射？這是邏輯上的需求，需先證明透視仿射的存在，再討論透視仿射的確定

5、才有意義。1.4節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵仍舊是“存在性”與“惟一性”的問(wèn)題。同時(shí)，平面仿射幾何基本定理的處理，仍舊采用程序教學(xué)法，以體現(xiàn)知識(shí)的產(chǎn)生是由局部累積到整體的過(guò)程。本周教學(xué)的要求應(yīng)該是讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟射影幾何中“綜合法”處理問(wèn)題的思路、方法和步驟。3.日期： 2005年 3 月 3日3 月 4日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2004年3月3日章節(jié)名稱1.2：仿射不變性與不變量教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)定理與證明的思路分析教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）定理1.5.在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)三角形面積之比是仿射不變量。證明分析：1設(shè)T是一透視仿射。先證一個(gè)引理：在透視仿射下，任

6、何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸距離之比是一個(gè)常數(shù)。即方法：設(shè)f、g是兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的獨(dú)立變量x、y，有故證2設(shè)T是仿射教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第三周第一章：仿射幾何學(xué)的基本概念 第二章：歐氏平面的拓廣第1.5節(jié)第2.1節(jié)教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容： （1）平面仿射變換式 （2）仿射變換式的應(yīng)用 （3）中心投影（透視）與理想元素2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)： （1）平面仿射變換式的推導(dǎo)； （2）平面仿射變換式的應(yīng)用； （3）中心投影的概念與理想元素的引出，以及引出理想元素后幾何直觀性及觀念的改變。教學(xué)邏輯關(guān)系分析： 本周教學(xué)將結(jié)束第一章并引入第二章.在1.5節(jié)教學(xué)中重點(diǎn)解決兩個(gè)問(wèn)題

7、：幾何變換在幾何方法上由作圖體現(xiàn)，而在代數(shù)方法上則需先建立坐標(biāo)系，再由向量的概念導(dǎo)出代數(shù)表達(dá)式.仿射變換式的應(yīng)用，并由此看出射影幾何中“綜合法”與“代數(shù)式”的結(jié)合是解決問(wèn)題的鑰匙。2.1節(jié)是一節(jié)觀念課，為了保留映射的完備性，需約定兩平行線交于“理想點(diǎn)”，兩平行平面交于“理想線”。正是由于理想元素的導(dǎo)入，改變了歐氏幾何的結(jié)構(gòu)。若2.1節(jié)講授得好，同學(xué)們能較好的領(lǐng)會(huì)“公理化”的思想及“公理化”對(duì)數(shù)學(xué)的意義。3.日期： 2005年 3 月 10日 11日教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（四）周第二章：歐式平面的拓廣第2.2節(jié)第2.4節(jié)：齊次坐標(biāo)；對(duì)偶原理；復(fù)元素教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容： （1）

8、齊次坐標(biāo)；（2）對(duì)偶原理；（3）復(fù)元素2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)： （1）齊次坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)與線坐標(biāo)；（2）對(duì)偶原理（含對(duì)偶元素，對(duì)偶圖形，射影命題及對(duì)偶命題）； （3）復(fù)元素及其性質(zhì)。教學(xué)邏輯關(guān)系分析： 本周教學(xué)內(nèi)容仍屬于“射影觀念”的建立。教學(xué)各內(nèi)容的邏輯關(guān)系為：缺一部分其中，學(xué)生較難接受的概念是“線坐標(biāo)”，“射影命題”，“虛圓點(diǎn)”。學(xué)生不適應(yīng)的問(wèn)題是：（1）作對(duì)偶圖形；（2）敘述已知的射影命題的對(duì)偶命題。教學(xué)上的對(duì)應(yīng)措施是：(1) 扣緊概念（尤其是點(diǎn)線的結(jié)合性）；(2) 較多的范例講解，概括性的方法介紹。3.日期： 2005年 3 月 17日 18日教師教學(xué)周日記課程名稱高等

9、幾何日期2005年3月18日章節(jié)名稱第二章：歐式平面的拓廣 第2.2節(jié)第2.4節(jié)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1） 齊次坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)與線坐標(biāo)，點(diǎn)幾何學(xué)與線幾何學(xué)；（2） 對(duì)偶原理：作已知圖形的對(duì)偶圖形；敘述已知射影命題的對(duì)偶命題。 （3）虛圓點(diǎn)。教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）（1）介紹教材P.26 EX2.17，引出虛圓點(diǎn)和（2）提出問(wèn)題，兩個(gè)橢圓相交最多有四個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)圓相交，最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，為什么？缺圖（3）圓是橢圓的特例，兩個(gè)圓相交仍為四個(gè)交點(diǎn)，兩實(shí)，兩虛（虛圓點(diǎn)）（4）由此概括： “實(shí)”與“虛”在幾何直觀上的差別；（聯(lián)系實(shí)曲線與虛曲線）由于射影平面（射影與觀念）中

10、沒(méi)有度量的概念，無(wú)窮遠(yuǎn)元素，事實(shí)上脫離了距離，伸手可及。數(shù)學(xué)概念是逐級(jí)抽象的。在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)者更應(yīng)重視從已知數(shù)學(xué)問(wèn)題中進(jìn)一步抽象、概括出新的概念；數(shù)學(xué)概念（觀念）的嚴(yán)謹(jǐn)性更多的是建立在邏輯的基礎(chǔ)上，建立在公理體系上，而不依賴于直觀性。引發(fā)“認(rèn)知沖突”是建構(gòu)概念（觀念）的常見(jiàn)途徑。教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（五）周第（三）章：一維射影幾何學(xué)第（3.1）節(jié)第（3.2）節(jié)：平面內(nèi)的一維基本圖形：點(diǎn)列和線束， 點(diǎn)列的交比教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容： （1）平面內(nèi)的一維基本圖形：點(diǎn)列和線束（2）點(diǎn)列的交比 概念； 性質(zhì)； 計(jì)算。2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)： （1）一維幾何流形及

11、其表示；（2）點(diǎn)列的交比（概念、性質(zhì)、計(jì)算）； （3）調(diào)和點(diǎn)列。教學(xué)邏輯關(guān)系分析： 經(jīng)過(guò)第一章和第二章的準(zhǔn)備，從本周起講授射影幾何，前兩周的準(zhǔn)備和鋪墊主要有方法上的準(zhǔn)備，觀念上的準(zhǔn)備、本周教學(xué)內(nèi)容的邏輯關(guān)系是：缺圖教學(xué)中的重點(diǎn)是點(diǎn)列的交比，它是射影幾何中最重要的不變了，射影幾何主要研究與結(jié)合性及交比有關(guān)的概念。為接受上的方便起見(jiàn)，先從“度量”上介紹“交比”，以后再脫離度量。3.日期： 2005年 3 月24日 25日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年3月25日章節(jié)名稱第三章：一維射影幾何學(xué)，3.2點(diǎn)列的交比教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1） 交比的概念（借助“度量”建立）；（2） 交比的計(jì)算（化歸思想

12、的體現(xiàn)）；（3） 交比的性質(zhì)；（4） 調(diào)和比。教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）交比的計(jì)算主要結(jié)論是教材P.29定理1和P.30定理2這兩個(gè)定理的證明過(guò)程較好的體現(xiàn)了“化歸”的思想。定理1.設(shè)取A和B為基底，將這四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)順次表達(dá)為： 則其證明的過(guò)程是（化歸思想的具體化體現(xiàn)）： 將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)非齊次化（目的是為了使用解析幾何中的定比分割公式）； 利用一維幾何流形中動(dòng)點(diǎn)的表示方法寫出C、D的坐標(biāo)。 分別設(shè)點(diǎn)C、D分割線段AB的分割比為，利用解析幾何中的定比分割公式計(jì)算出 利用交比計(jì)算=簡(jiǎn)比的比=分割比的相反數(shù)，得出結(jié)論。定理2.設(shè)點(diǎn)列上四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為，

13、則其證明過(guò)程是：換底：通過(guò)坐標(biāo)變換將A,B換為基底。 利用定理1得到結(jié)論。 這兩個(gè)定理的證明過(guò)程較好的體現(xiàn)了“化歸”的思想。 對(duì)證明思路的重點(diǎn)分析，有助于同學(xué)們領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)證明的一個(gè)一般性方法：“轉(zhuǎn)化”及“換元法”教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（六）周第（二）章：一維射影幾何學(xué)第（3.3）節(jié)第（3.4）節(jié)：3.3線束的交比；3.4一維射影對(duì)應(yīng)教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容： （1）線束的交比；定義，計(jì)算，幾何意義，調(diào)和線束（2）一維射影對(duì)應(yīng)；定義，性質(zhì)，一維射影幾何基本定理2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)： （1）線束交比的定義與計(jì)算；（2）調(diào)和線束及幾何特征； （3）一維射影定義； （4

14、）一維射影對(duì)應(yīng)的確定；（5）如何建立射影對(duì)應(yīng)表達(dá)式。教學(xué)邏輯關(guān)系分析：（1）3.3節(jié)的教學(xué)，應(yīng)向同學(xué)們介紹線束交比定義的兩種方法：其一是教材上的方法，即用“化歸思想”將線束的交比化歸為點(diǎn)列的交比，類別點(diǎn)列的交比的計(jì)算得到線束交比的計(jì)算，最后介紹線束交比的幾何意義，另一種方法以梅向明先生所編教材為代表，兩相比較，教材上的方法更簡(jiǎn)明一些。（2）3.4節(jié)的教學(xué)，其關(guān)鍵是讓同學(xué)理解一維基本圖形成射影對(duì)應(yīng)的概念及其等價(jià)的條件，由此推導(dǎo)一維射影幾何基本定理，在介紹射影對(duì)應(yīng)式的求法。（缺小字部分） 3.日期： 2005年 3 月 31日 4月1日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月1日章節(jié)名稱3

15、.4一維射影對(duì)應(yīng)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1） 兩個(gè)一維幾何基本圖形成射影對(duì)應(yīng)的定義；（2） 的兩個(gè)等價(jià)的充要條件；（3） 一維射影幾何基本定理；（4） 一維射影對(duì)應(yīng)的求法。教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）為了讓同學(xué)們加深對(duì)一維射影幾何基本定理的理解以及為3.6節(jié)作鋪墊，設(shè)計(jì)如下4個(gè)例題形成一個(gè)“鏈”。例1. 試證：一維幾何圖形的任意三個(gè)互異元素的參數(shù)值總可給以數(shù)值1，0，。例2. 可以選擇特殊參數(shù)（由例1，即1，0，）以簡(jiǎn)化一維射影對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。例3. （Hesse定理）一直線上有三個(gè)給定的點(diǎn)A,B,C，考慮這直線上這樣一個(gè)射影對(duì)應(yīng)：它將求射影對(duì)應(yīng)表達(dá)式并證明，這個(gè)射影

16、對(duì)應(yīng)兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)互異?！咀ⅰ縃esse定理中的射影表達(dá)式即教材中的習(xí)題3.15，此定理表述上更深刻一些。例4. 是一直線上射影變換的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)P是這直線上的任一點(diǎn)，且和又是兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求證：也是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。以上例題均選自朱德祥先生在20世紀(jì)80年代所做的專題講座，這給我以啟示：備課是一件既艱苦又充滿藝術(shù)性的工作。一個(gè)好教師既要有過(guò)硬的學(xué)術(shù)水平，又要對(duì)教學(xué)技藝深入鉆研，以達(dá)到兩者和諧統(tǒng)一。要做一個(gè)好教師，他必須是一個(gè)有心人，必須作認(rèn)真，艱苦的累積，以及必要的反思。學(xué)院要求每位老師認(rèn)真做好教學(xué)周記，是教師自我培訓(xùn)中重要的一環(huán)。教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（七）周第（二）章：一維射影

17、幾何學(xué)第（3.5）節(jié)第（3.6）節(jié)：§3.5透視對(duì)應(yīng) §3.6對(duì)合對(duì)應(yīng)教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容： （1）透視對(duì)應(yīng)的定義； （2）透視的幾何特征與判定（3）射影對(duì)應(yīng)的分解與射影對(duì)應(yīng)的作圖 （4）交比的作圖（5）射影對(duì)應(yīng)的分類（6）對(duì)合的定義2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)： （1）透視的幾何特征與判定 （2）射影對(duì)應(yīng)的作圖（3）射影對(duì)應(yīng)的分類 （4）對(duì)合的定義教學(xué)邏輯關(guān)系分析：（1）§3.5是第三章中的一個(gè)重點(diǎn)環(huán)節(jié)。從一維射影幾何研究的方法看，主要有“代數(shù)法”，其工具是“交比”和“一維射影對(duì)應(yīng)式”。另一個(gè)方法為“綜合法”，即將射影分解為有限回透視之積，再利用透視

18、的幾何特征解決問(wèn)題。§3.5節(jié)為“綜合法”奠定基礎(chǔ)，其應(yīng)用將在第四章、第六章有重點(diǎn)體現(xiàn)。（2）射影對(duì)應(yīng)的作圖，一方面是“幾何”變換的具體體現(xiàn)，另一方面體現(xiàn)“幾何作圖”的內(nèi)涵存在性（3）對(duì)合也是一種特殊的射影對(duì)應(yīng)，其實(shí)質(zhì)是幾何變換中的反演。對(duì)合的研究，使射影幾何的內(nèi)容豐富而富有數(shù)學(xué)情趣。（4）利用一維射影對(duì)應(yīng)的自對(duì)應(yīng)點(diǎn)是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)，是兩個(gè)相異實(shí)點(diǎn)還是兩個(gè)重合的實(shí)點(diǎn)，將射影對(duì)應(yīng)分為雙曲型、拋物型、橢圓型，反映了數(shù)學(xué)上的一種分類方法，下接“解析幾何”，上聯(lián)數(shù)學(xué)其他分支，如偏微分方程，其涵義很深刻。3.日期： 2005年 3 月 10日 11日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年4

19、月8日章節(jié)名稱第三章§3.6對(duì)合對(duì)應(yīng)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1） 一維射影對(duì)應(yīng)的分類；（2） 對(duì)合； 定義，性質(zhì)，方程教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）在介紹對(duì)合概念之前，先介紹一維射影對(duì)應(yīng)的分類。為此，需對(duì)一元二次方程及解作一個(gè)必要的拓廣。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，一元二次方程要加深一個(gè)重要的限制條件：。中學(xué)教材上的解釋限于觀念是不夠深刻的。在射影幾何中，由于是數(shù)，可得到如下結(jié)論：由于方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)，因此： 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一個(gè)無(wú)窮根 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一個(gè)無(wú)窮根 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一個(gè)無(wú)窮根 （此種方程在中學(xué)中稱為矛盾方程，無(wú)根） 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)

20、根和一個(gè)無(wú)窮根結(jié)論：當(dāng)不全為0時(shí)，一元二次方程有且只有兩個(gè)根。啟示：數(shù)的拓展，導(dǎo)致數(shù)學(xué)研究更為深刻化，更能揭示事物間的內(nèi)在聯(lián)系；無(wú)窮根的出現(xiàn)，可將二次曲線的漸近線定義為與二次曲線相切于無(wú)窮遠(yuǎn)處的直線。它比“解析幾何”、“數(shù)學(xué)分析”中的定義更為深刻，且可由此對(duì)二階曲線進(jìn)行分類。教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（八）周第（三）章：一維射影幾何學(xué) 第四章 代沙格定理、四點(diǎn)形與四線形第（3.6）節(jié)第（4.1）節(jié)：§3.6對(duì)合對(duì)應(yīng)；§4.1代沙格三角形定理教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）有關(guān)對(duì)合的一些例題（2）第三章總結(jié)（3）Desargues三角形定理Desargues三角形定

21、理及對(duì)偶定理對(duì)偶定理的證明應(yīng)用2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)合定義：s為對(duì)合（恒同變換），的應(yīng)用（2）射影對(duì)應(yīng)間的關(guān)系（3）一維射影幾何的研究方法（4）Desargues三角形定理的證明及應(yīng)用教學(xué)邏輯關(guān)系分析：（1）本周教學(xué)將結(jié)束第三章，開(kāi)始第四章。 結(jié)束第三章的教學(xué)，進(jìn)行一次總結(jié)，關(guān)鍵是讓學(xué)生明白兩點(diǎn)：一維射影對(duì)應(yīng)的關(guān)系是：（要補(bǔ)充）透視 射影 對(duì)合交比（射影量）一維射影對(duì)應(yīng)式一位射影一維射影幾何研究的方法：代數(shù)工具幾何工具：將射影分解為有限個(gè)透視之積，再利用透視的幾何特征。（2）第四章 從結(jié)構(gòu)上講，屬于一維射影幾何的應(yīng)用，它包含三個(gè)內(nèi)容： Desargues三角形定理透

22、視及其應(yīng)用；完全四點(diǎn)形與完全四線形調(diào)和比脫離度量的定義；巴卜斯定理及應(yīng)用 一維射影幾何中綜合法的體現(xiàn)3日期： 2005年4月14日15日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月15日章節(jié)名稱第四章 Desargues三角形定理教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）Desargues三角形定理及對(duì)偶定理，幾何特征。（2）Desargues三角形對(duì)偶定理的證明（3）Desargues三角形定理及對(duì)偶定理應(yīng)用 射影幾何中的應(yīng)用 ；初等幾何中的應(yīng)用教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）Desargues對(duì)偶定理的證法2.一般，證明逆命題的證法有三種（見(jiàn)初等幾何研究§1.4，P

23、.10）1 直接證明逆命題，即將原命題的證明過(guò)程反其道而行之。2證明否命題（因?yàn)榉衩}與逆命題等價(jià)）3 利用原命題本身證逆命題。下面采用方法3證Desargues對(duì)偶定理：設(shè)在兩個(gè)三角形和中，由于對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)于R，則依Desargues定理，其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)，共線，即直線過(guò)點(diǎn)，亦即三點(diǎn)共線。本證法一是比較簡(jiǎn)單，二是能于初等幾何有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系，體現(xiàn)綜合法的優(yōu)點(diǎn)。如圖：教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十）周第（四）章：代沙格定理、四點(diǎn)形與四線形第（4.2）節(jié)第（4.3）節(jié)：§4.2完全四點(diǎn)形與完全四線形 §4.3巴卜斯定理教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：(1)平面形與平面構(gòu)形

24、(2) 完全四點(diǎn)形與完全四線形調(diào)和性質(zhì) 調(diào)和比的作圖 代沙格對(duì)合定理與對(duì)合的作圖(3)巴卜斯定理及其證明和應(yīng)用2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：(1) 完全四點(diǎn)形與完全四線形調(diào)和性質(zhì)及調(diào)和比的作圖代沙格對(duì)合定理與對(duì)合的作圖(2)巴卜斯定理及其證明教學(xué)邏輯關(guān)系分析：本周教學(xué)將結(jié)束第四章,教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單邏輯關(guān)系是：構(gòu)形簡(jiǎn)單形完全形（1）平面形 完全四點(diǎn)形四線形 調(diào)和性質(zhì)調(diào)和比的作圖（2）完全四點(diǎn)形代沙格對(duì)合定理對(duì)合的作圖(3) 巴卜斯定理證明應(yīng)用（4）完全四點(diǎn)形與完全四線形調(diào)和性質(zhì)的證明，代沙格對(duì)合定理的證明，巴卜斯定理證明典型地應(yīng)用了§3.5中的方法將射影分解為透視。此外，第四調(diào)

25、和元素的作圖，使“交比”脫離了“度量”。因此，第四章教學(xué)內(nèi)容實(shí)質(zhì)上是一維射影幾何學(xué)的應(yīng)用。3.日期： 2005年 4月 21日 4月22日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月21日章節(jié)名稱第（四）章：§4.2完全四點(diǎn)形與完全四線形教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）完全四點(diǎn)形與完全四線形（2）調(diào)和性質(zhì)與第四調(diào)和元素的作圖（3）代沙格對(duì)合定理及對(duì)合的作圖教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）完全四線形的調(diào)和性質(zhì)是很深刻的，完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)由其引出，下面舉個(gè)例，以加深同學(xué)們對(duì)完全四線形的調(diào)和性質(zhì)的理解。例:設(shè)ABCD是梯形，E是兩腰所在直線的交點(diǎn)，過(guò)兩對(duì)角線的交

26、點(diǎn)G引底邊的平行線與AD 相交與，求證：（AD，EF）=-1分析：（1）解決本例，要求同學(xué)有較好的觀察能力，要能看出EDGC是一個(gè)完全四線形。（2）連接EG,分別與梯形兩底交于點(diǎn)H和I，則EI是完全四線形的一條對(duì)角線，由完全四線形的調(diào)和性質(zhì)，有（IH，EG）=-1（3）由BAGF,以作透視心，則（）IHEG = ADEF（補(bǔ)充符號(hào)）這樣（AD，EF）=(IH,EG)=-1如圖：教師教學(xué)周日記課程名稱AIBEDFCHG教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十一）周第（五）章：射影坐標(biāo)系和射影變換第（5.1）節(jié)第（5.3）節(jié)：§5.1一維射影坐標(biāo)系 §5.2平面內(nèi)的射影坐標(biāo)

27、系 §5.3射影坐標(biāo)的特例教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）射影幾何學(xué)的結(jié)構(gòu)（2）一維射影坐標(biāo)系（3）平面內(nèi)的射影坐標(biāo)系（4）射影坐標(biāo)的特例2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：（1）一維射影坐標(biāo)系（2）平面內(nèi)的射影坐標(biāo)系教學(xué)邏輯關(guān)系分析：本周開(kāi)始講授第五章。教學(xué)內(nèi)容是射影坐標(biāo)系。射影幾何研究的方法有綜合法和代數(shù)法，射影坐標(biāo)系是代數(shù)法的基礎(chǔ)。一維射影坐標(biāo)系本屬一維射影幾何的內(nèi)容，將其放在第五章是為了給講二維射影坐標(biāo)系做一個(gè)鋪墊。在第三章中，定義一維射影變換是這樣進(jìn)行的：A：這個(gè)定義是借用了函數(shù)的概念。而幾何中更普遍的方法是，在 A,B中分別建立射影坐標(biāo)系，推導(dǎo)射影變換公式給予新的解釋，

28、得到射影變換式。§5.1正是這樣處理的。以形成對(duì)二維射影變換式建立的遷移。由于射影平面上增加了一條無(wú)窮遠(yuǎn)線，使得二維射影坐標(biāo)系成為一個(gè)三角形，其中點(diǎn)的射影坐標(biāo)既有度量定義，也利用了交比、點(diǎn)的符號(hào)及象限與平面上的坐標(biāo)系大不一樣，但平面坐標(biāo)系(歐氏平面)卻又是射影坐標(biāo)系的特例。從這個(gè)意義上講，歐氏幾何確定是射影幾何的子幾何。 3.日期： 2005年 4月 28日 29日，5月8日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月28日章節(jié)名稱第五章 §5.1一維射影坐標(biāo)系教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）射影幾何學(xué)的結(jié)構(gòu)（2）一維射影坐標(biāo)系教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課

29、堂表現(xiàn)等） 通過(guò)前四章的教學(xué)，同學(xué)們已經(jīng)對(duì)射影幾何有了一定的了解。為了便于同學(xué)更好的理解教材，在第五章開(kāi)始時(shí)，介紹射影幾何的結(jié)構(gòu)。（圖表ppt上有）教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十二）周第（五）章：射影坐標(biāo)系和射影變換第（5.4 ）節(jié)第（5.5 ）節(jié)：§ 5.4坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 §5.5射影變換教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）二維射影坐標(biāo)變換（2）射影變換點(diǎn)到點(diǎn)的；線到線的。 2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：（1）二維射影坐標(biāo)變換的推導(dǎo)，（在方法上與5.1形成類比）（2）線到線的射影變換的推導(dǎo)。教學(xué)邏輯關(guān)系分析：本周教學(xué)內(nèi)容有如下的邏輯關(guān)系：推導(dǎo)射影坐標(biāo)變換公式：

30、賦予上式新的幾何解釋，即點(diǎn)到點(diǎn)的射影變換。從點(diǎn)到點(diǎn)的逆變換公式誘導(dǎo)出線到線的射影變換：在二維射影變換的基礎(chǔ)上展開(kāi)二維射影幾何的研究。3、日期：2005年5月12日5月13日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年5月12日章節(jié)名稱第 五 章 §5.4坐標(biāo)轉(zhuǎn)換教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）一點(diǎn)P 的笛氏坐標(biāo)（x,y,t）與射影坐標(biāo)間的坐標(biāo)變換式。（2）一點(diǎn)P的兩種射影坐標(biāo)，間的坐標(biāo)變換式。教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）§5.4的主要作用是為§5.5推導(dǎo)射影變換作準(zhǔn)備。為了讓同學(xué)對(duì)點(diǎn)到點(diǎn)的射影變換誘導(dǎo)線到線的射影變換有更好的了解，在

31、7;5.4中補(bǔ)充如下一個(gè)例題。例 已知射影坐標(biāo)變換為： 略解：對(duì)前者，解線性方程組即得新坐標(biāo)（8，5，-4）。對(duì)后者，將射影變換式代入直線方程得教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十三）周第（五）章：射影坐標(biāo)系和射影變換第（5.6）節(jié)第（ 5.7）節(jié)：§5.6二維射影幾何基本定理 §5.7射影變換的二重元素教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1） 二維射影幾何基本定理；(2) 四點(diǎn)的交比在二維射影變換下不變；（3）二重元素；（4）二重元素的求法。2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：（）教材79引理的證明（）二維射影幾何基本定理及證明（）教材82引理的證明（）二重元素及其求法

32、。教學(xué)邏輯關(guān)系分析：（）§5.6節(jié)教學(xué)內(nèi)容間的關(guān)系是：（猜測(cè)）引理：（補(bǔ)充點(diǎn)）存在性唯一性系定理二維射影幾何基本定理：（）§5.7節(jié)與高等代數(shù)第七章§（北大版）關(guān)系密切。教學(xué)時(shí)可先復(fù)習(xí)“方陣的特征值與特征向量”。在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)求二重元素的方法和步驟，最后舉例。求固定元素是第五章中一個(gè)重要內(nèi)容。3、日期：2005年5月19日5月20教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年5月19日章節(jié)名稱第五章 §5.6二維射影幾何基本定理 教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)）教材79引理的證明（）二維射影幾何基本定理及證明（）教材82引理的證明教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)

33、得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）教材79引理的證明是一個(gè)難點(diǎn)，歸納其思路和方法如下：1 射影變換為：T：為求出此射影變換，只需求出9個(gè)系數(shù)2 變形P80（1）式，得3 將上式回代（1）式（P80）并置，可得教材P80（2）式（2）式得證了T的存在性，至于唯一性由克萊姆法則得證。4驗(yàn)證 教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十四）周第（五）章：射影坐標(biāo)系和射影變換第（5.8 ）節(jié)第（5.11）節(jié)： 5.8射影變換的特例 5.9 變換群 5.11 變換群的例證 5.11 變換群與幾何學(xué)教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）射影變換的特例 （2）變換群 （3）變換群與幾何學(xué)2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：

34、（1）射影變換的特例：仿射變換、相似變換、正交變換、（2）變換群 （3）變換群與幾何學(xué)F克萊因觀點(diǎn)教學(xué)邏輯關(guān)系分析：（補(bǔ)充(1)）(1)(2)給出變換群的概念，驗(yàn)證上述射影變換分別構(gòu)成群，記作K，A，S，M。其關(guān)系是。(3）在(2)的基礎(chǔ)上，介紹變換群與幾何學(xué)的關(guān)系:對(duì)于給定的空間S，G是S的一切一一變換的集合，研究圖形關(guān)于G的不變性質(zhì)、不變量、以及關(guān)于圖形的分類，稱為空間S上群G的附屬的幾何學(xué)。 在一個(gè)變換群，就有一個(gè)附屬于該群的一種幾何學(xué)。3、日期：2005年5月26日27日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年5月28日章節(jié)名稱第 五 章5.10變換群的例證 5.11 變換群與幾何

35、學(xué)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)(1)射影群K，仿射群A，相似群S，正交群M（2）變換群與幾何學(xué)教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）1872年F.克萊因在Erlangen大學(xué)宣讀了大家叫做Erlangen綱領(lǐng)的演說(shuō)，在這篇論文中它總結(jié)了射影、仿射以及其他幾何的發(fā)展結(jié)果，明確表述了構(gòu)成這些幾何的普遍原則：可以考慮空間一一變換的任何一個(gè)群，而且研究在這個(gè)群的一切變換下保留不變的圖形性質(zhì)。F.克萊因的觀點(diǎn)其意義在于：1 使各種幾何學(xué)化為統(tǒng)一的形式，同時(shí)又明確了各種幾何學(xué)所研究的對(duì)象。2 它給出了建立抽象空間所對(duì)應(yīng)的幾何學(xué)的一種方法，對(duì)以后幾何的發(fā)展起了指導(dǎo)性的的作用。 教材P91關(guān)于射影

36、幾何、仿射幾何、歐氏幾何的比較表很好的指明了這三種幾何之間的關(guān)系。教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十五）周第（六）章：二次曲線的射影理論第（ 6.1）節(jié)第（6.2）節(jié)：§6.1二階曲線與二級(jí)曲線 §6.2 二次曲線的射影定義教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）二階曲線與二級(jí)曲線的概念 （2）二階曲線與二級(jí)曲線的性質(zhì)及它們的關(guān)系（3）二次曲線的射影定義2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)：(1)二階曲線與二級(jí)曲線的概念 、性質(zhì)及相關(guān)關(guān)系（2）二次曲線的射影定義教學(xué)邏輯關(guān)系分析：本周教學(xué)內(nèi)容既是解析幾何中關(guān)于二次曲線有關(guān)內(nèi)容的延伸，又是高等代數(shù)中二次型的具體化。教學(xué)中要注

37、意這兩部分內(nèi)容的銜接，同時(shí)突出“射影法”。由于射影幾何有“點(diǎn)幾何”和“線幾何”之分，所以二次曲線分為二階曲線（點(diǎn)素二次曲線）與二級(jí)曲線（線素二次曲線）。教材中先用代數(shù)方法定義二階曲線，再對(duì)偶地得到二級(jí)曲線，他們之間的關(guān)系既是對(duì)偶的，又是切點(diǎn)與切線的關(guān)系。教材P98定理對(duì)此作了很好的概括。§6.2中 ，教材用射影方法定義了二階曲線與二級(jí)曲線 。并由射影（非透視）和透視定義了常態(tài)曲線和變態(tài)曲線。在本周教學(xué)中可以體現(xiàn)出代數(shù)方法和射影方法在研究二次型問(wèn)題上的作用，讓同學(xué)領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的深刻性和數(shù)學(xué)方法的精妙。3、日期：2005年6月2日6月3日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年6月2

38、日章節(jié)名稱第 六 章 §6.1二階曲線與二級(jí)曲線 教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）二階曲線與二級(jí)曲線的概念 （2）二階曲線與二級(jí)曲線的性質(zhì)（3）二階曲線與二級(jí)曲線的關(guān)系教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）為了同學(xué)能更好的理解二階曲線的射影定義，補(bǔ)充如下一個(gè)例題：例1 求由兩個(gè)射影線束與（+=1)生成的二階曲線方程. 解 由 解得 由 解得將其代入：+=1中，得 （*）等式兩端同乘以得：此即所求的二次曲線的方程，它代表兩條直線:一般情況下，化簡(jiǎn)（*）式只會(huì)乘，這樣將漏掉一個(gè)解：（無(wú)窮遠(yuǎn)線）。本例為何會(huì)出現(xiàn)這種情況？其原因是一維射影對(duì)應(yīng)+=1是透視。兩個(gè)射影線束成透視時(shí)，

39、二階曲線退化為兩相交直線甚至是兩重合直線。教師周教學(xué)方案課程名稱高等幾何教學(xué)周數(shù)第（十六）周第（六）章：二次曲線的射影理論第（6.3）節(jié)：§6.3巴斯卡定理與布利安雙定理教學(xué)方案1.教學(xué)內(nèi)容：（1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安雙定理及逆定理（3）巴斯卡定理與布利安雙定理的特殊情形（4）兩定理的應(yīng)用2.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)與教學(xué)邏輯關(guān)系分析：關(guān)鍵點(diǎn)： 1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安雙定理及逆定理（3）兩定理的特殊情形（4）應(yīng)用教學(xué)邏輯關(guān)系分析：本周教學(xué)內(nèi)容主要是介紹射影幾何中兩個(gè)重要定理巴斯卡定理與布利安雙定理。它們互為對(duì)偶定理且逆定理成立。教學(xué)的重點(diǎn)是：(1)兩個(gè)定理的結(jié)構(gòu)及證明方法利用

40、射影及透視的幾何特征。（2）兩個(gè)定理的特殊情形。（3）兩個(gè)定理在證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)方面的應(yīng)用。（4）當(dāng)二次曲線退化時(shí)（退化為兩條相交直線或兩個(gè)互異的點(diǎn)），它們成為巴斯卡定理及其對(duì)偶定理。3、日期：2005年6月9日6月10日教師教學(xué)周日記課程名稱高等幾何日期2005年6月9日章節(jié)名稱第六章 §6.3巴斯卡定理與布利安雙定理（第一次課）教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)（1）巴斯卡定理及證明（2）布利安雙定理及其證明（3）兩定理的特殊情形教學(xué)日記（記錄有意義的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的教學(xué)得失及學(xué)生課堂表現(xiàn)等）為了讓同學(xué)更好的理解這兩個(gè)定理，教學(xué)時(shí)需作如下的補(bǔ)充：（1）巴斯卡定理發(fā)表于1640年，布利安雙定理發(fā)表于

41、1806年，相距前者166年之久。兩定理互為對(duì)偶定理且逆定理成立。6個(gè)點(diǎn)在一條二階曲線上有60種排法（可翻面的環(huán)狀排列），因此，一條二階曲線決定60根巴斯卡線；一條二級(jí)曲線決定60個(gè)布利安雙點(diǎn)。關(guān)于這60根巴斯卡線及60個(gè)布利安雙點(diǎn)的位置特征是射影幾何中尚未完全解決的問(wèn)題。（2）六點(diǎn)（線）形是完全形，不論頂點(diǎn)在二次曲線上如何排列，邊12與45，23與56，34與61成為三雙對(duì)邊；12與45，23與56，34與61是三雙對(duì)頂。（3）對(duì)內(nèi)接（外切）于二次曲線上的五點(diǎn)(線)形，四點(diǎn)(線)形，三點(diǎn)(線)形，要證明其對(duì)邊交點(diǎn)(對(duì)頂?shù)倪B線共線（點(diǎn)），且可運(yùn)用巴氏定理與布氏定理，方法是:將頂點(diǎn)(邊)順次編號(hào)，若哪點(diǎn)為切點(diǎn)（哪條邊與切點(diǎn)連線）,則重復(fù)編一次。（4）圓可看作特殊的二次曲線，故可用巴氏定理與布氏定理及其逆定理研究圓的內(nèi)接（外切）六點(diǎn)(邊)形，五點(diǎn)(邊)形，四點(diǎn)(邊)形，三點(diǎn)