二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的基礎(chǔ)一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc （ a ，b，c 是常數(shù)，a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0 ，而b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)yax 2bxc 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)

2、稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0 時(shí)， y 隨 x 的向上y 軸增大而減??； x0 時(shí)， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x0 時(shí)， y 隨 x 的向下y 軸增大而增大； x0 時(shí)， y 有最大值 0 2.y2c 的性質(zhì)：上加下減。axa 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a00 ，cx0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0 時(shí)， y 隨 x 的向上y 軸增大而減?。?x0 時(shí)， y 有最小值 c a00 ，cx0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x0 時(shí)， y 隨 x 的向下y 軸增大而增大； x0 時(shí)， y 有最大值

3、 c 3.ya x2h 的性質(zhì)：左加右減。a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0h，0xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； xh 時(shí)， y 隨 x 的向上X=h增大而減?。?xh 時(shí)， y 有最小值 0 a0h，0xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； xh 時(shí)， y 隨 x 的向下X=h增大而增大； xh 時(shí)， y 有最大值 0 學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)4. ya x2hk 的性質(zhì)：a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0h，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； xh 時(shí)， y 隨 x 的向上X=h增大而減??； xh 時(shí)， y 有最小值 k a0h，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?/p>

4、 xh 時(shí)， y 隨 x 的向下X=h增大而增大； xh 時(shí)， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 : 向上（下） 平移 m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成yax 2bxcm （或 yax 2bx cm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成y a( x m)2b(x m) c （或 y a(xm) 2b( x m) c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 yax 2bxc 的比較h從解析式上看， y ax

5、 h2k 與 yax2bxc 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得b24acb2b ，k4acb2到前者，即 yax，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) yax2bxc 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y2bxc 化為頂點(diǎn)式 ya( x2k ，確定其開口方axh )向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y 軸的交點(diǎn)0 ，c、以及0 ，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h ，c 、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0， x2 ，0（若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn) .畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方

6、向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與六、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為xbb4ac b2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，4a2a2a當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb2a時(shí)， y2a2a有最小值 4acb24a學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)2. 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向下， 對(duì)稱軸為 xbb，4acb2b時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a4a當(dāng) x2a2ay 隨 x 的增大而增大；當(dāng) xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng) xb時(shí)， y 有最大值 4acb22a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：2. 頂點(diǎn)式：3. 兩根式：y2bx c （

7、a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；axya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即 b24ac 0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù)y2ax bx c 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越

8、小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開口方向， a 的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對(duì)稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸

9、就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下， b 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置ab 的符號(hào)的判定： 對(duì)稱軸 xb0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，概括的說在 y 軸左邊則 ab2a就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)總結(jié)起來， c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只

10、要 a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱y2bxc 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是y

11、2c ；axax bxya xh2ya x h2k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱y2bxc 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是y2bxc ；axaxya x2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax h2hk ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y2bxc ；axyaxh2ya xh2k ；k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）yax2bxc 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxcb2；2ayaxh2ya x h2k k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5. 關(guān)于點(diǎn)m

12、，n 對(duì)稱2m，n 對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h 2m2y a x hk 關(guān)于點(diǎn)2n k根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程 ax2bx c0 是二次函數(shù) yax2bx c 當(dāng)函數(shù)值 y0 時(shí)的特殊情況 .學(xué)習(xí)必備精品知

13、識(shí)點(diǎn)圖象與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)b24ac0 時(shí)，圖象與x 軸交于兩點(diǎn)A x1 ，0，B x2 ，0(x1x2 ) ，其中的x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c 0a 0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離 ABx2b24acx1.a 當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸沒有交點(diǎn) .1'當(dāng) a0時(shí)，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 ；2'當(dāng) a0時(shí)，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 2. 拋物線 y2bx c 的圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0 ， c) ；ax3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2a ， b ， c 的y ax bx c 中 a ， b ， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)， 求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)