2021版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.3.1雙曲線的標準方程學案蘇教版選修1-1

1、2. 3.1 雙曲線的標準方程【學習目標丨1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題.問題導學知識點一雙曲線的定義思考 點Rx, y的坐標滿足以下條件，試判斷以下各條件下點P的軌跡是什么圖形?(1) |; x + 5 2+ y2- ； x- 5 2+ yj = 6;(2) x+ 4 2+ y2 ： x- 42 + y2= 6.梳理 把平面內與兩個定點 Fi, F2距離的等于常數(shù)小于F1F2的正數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點Fi, F2叫做, 叫做雙曲線的焦距.知識點二雙曲線的標準方程思考1雙曲線的標準

2、形式有兩種，如何區(qū)別焦點所在的坐標軸?思考2如圖，類比橢圓中 a, b, c的意義，你能在 y軸上找一點B,使0B= b嗎?梳理it' -ir'+t '焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程2 2x y孑-b = 1( a>0, b>0)2 2£令=1(a>0, b>0)焦占八'、八、F( - c, 0) , Fa(c, 0)F1(0，- c), F2(0 , c)焦距F1F2=2c, c2= a2 + b2題型探究類型一 求雙曲線的標準方程例1求以下雙曲線的標準方程：2 2(1) 與橢圓2y5+16= 1有公共焦點，且過點(-2,i

3、o)； 焦距為26，且經(jīng)過點 M0,12)；(3)過點 P(3 ,1516R，QT，5)，且焦點在坐標軸上.反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1) 定型：即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸.(2) 設方程：根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式， 假設不知道焦點的位置，那么進行討論，或設雙曲線的方程為A + By2= 1(AE<0).2 2 2 2x yx y2 與雙曲線-2= 1( a>0, b> 0)共焦點的雙曲線的標準方程可設為- 7 = 1( -ba ba k b 十 kv k v a2). 計算：禾U用題中條件列出方程組，求出相關值. 結論：寫出雙曲線的標準

4、方程.跟蹤訓練1根據(jù)條件求雙曲線的標準方程：(1) c=6，經(jīng)過點 A - 5,2)，焦點在x軸上；經(jīng)過點P(4 , - 2)和點Q2 6, 2 ,2);2 2X y雙曲線與橢圓27 + 36= 1有共同的焦點，且過點，石，4.類型二由方程判斷曲線的形狀例2 0°v a <180°,當a變化時，方程xios a + y'sin a = 1表示的曲線怎樣變化?反思與感悟像橢圓的標準方程一樣，雙曲線的標準方程也有“定型和“定量兩個方面的功能：定型：以 X2和y2的系數(shù)的正負來確定；定量：以a、b的大小來確定.2 2跟蹤訓練2曲線； - = 1.16- m m1當曲

5、線為橢圓時，求 m的取值范圍，并寫出焦點坐標； 當曲線為雙曲線時，求 m的取值范圍，并寫出焦點坐標.類型三雙曲線的定義及應用命題角度1焦點三角形問題2 2x y例3 (1)如圖，雙曲線的方程為az 器=1(a>0, b>0)，點A, B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點ABF的周長為引申探究在本例(2)中，假設/ FiPR= 90°，其他條件不變，求FiPR的面積.2 2雙曲線X- 16= 1的左、右焦點分別是 Fi、F2,假設雙曲線上一點 P使得/ FiPFa= 60°, 那么厶FiPR的面積為.反思與感悟 求雙曲線中焦點三角形面積的方法(I)方法

6、一：根據(jù)雙曲線的定義求出| PF PB| = 2a； 利用余弦定理表示出 PF, PF2, FiF2之間滿足的關系式； 通過配方，利用整體的思想求出PF PR的值；I 利用公式SVPFF = 2X PF PFsin / FiPR求得面積.I一 方法二：利用公式 Svpf/2 = 2X FiF2X| yp|( yp為P點的縱坐標)求得面積.特別提醒：禾U用雙曲線的定義解決與焦點有關的問題，一是要注意定義條件|PF PF| = 2a的變形使用，特別是與 PF+ PF2, PF PR間的關系.跟蹤訓練3Fi, F2分別為雙曲線 C x2 y2= I的左，右焦點，點 P在C上，/ FPF=60

7、6;,貝U PF PF =.命題角度2由雙曲線定義求軌跡方程例4 圓C： (x+ 3)2+ y2= I和圓C2： (x 3)2+ y2= 9,動圓M同時與圓C及圓C2相外切, 那么動圓圓心M的軌跡方程為.尋示跖洵崇網(wǎng)wwwr 91 taoike ) 訴宕師精講課程雙曲銭的定文及標準方程反思與感悟定義法求雙曲線方程的注意點(1)注意條件中是到定點距離之差，還是差的絕對值. 當差的絕對值為常數(shù)時，要注意常數(shù)與兩定點間距離的大小問題.(3) 求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標是否都在所給的曲線上.2 2跟蹤訓練4 設Fi, F2是雙曲線丁一養(yǎng)=1的左，右焦點，P是雙曲線左支上一點. 假設PF、P

8、F2、445F1F2成等差列，且公差大于0,那么/ FiPR=當堂訓練1.雙曲線中的 a= 5,2 22 .橢圓X + *= 1與雙曲線C= 7,那么該雙曲線的標準方程為2 2x y2=1有相同的焦點，貝Ua=a 222、m x y3 .假設萬程 10k+ 5k= 1表示雙曲線，那么k的取值范圍是24 .設F1, F2分別是雙曲線 x2 24= 1的左，右焦點，P是雙曲線上的一點，且 3PF = 4PF2,那么厶PFF2的面積為.5.求適合以下條件的雙曲線的標準方程:(1) a= 3, c = 4,焦點在x軸上； 焦點為(0， 6) , (0,6)，經(jīng)過點 A 5,6);2 2以橢圓+y=1長

9、軸的頂點為焦點，且過(3,10).85常規(guī)律與方迭 1 在雙曲線定義中|PF PF2| = 2a(2a<FiF?，不要漏了絕對值符號，當2a= F1F2時表示兩條射線.2. 在雙曲線的標準方程中，a>b不一定成立，要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別.在橢圓中a2=b2+ c2,在雙曲線中 c2= a2 + b2.3. 用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設出標準方程后，由條 件列出a, b, c的方程組.如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mX+ ny2= 1( mn<0)的形式求解.提醒：完成作業(yè)第2章 § 合案精析問題導學 知

10、識點一、F2(5,0)思考 tI 1 ： x + 5+ y 一 x 5+ y | 表示點 P x, y到兩定點 Fi 一 5,0的距離之差的絕對值，F(xiàn)lF2= 10 ,'I PF PF2| = 6<FF2,故點P的軌跡是雙曲線.0的距離 ； x + 4 2 + y2x 4 2 + y2表示點 P(x, y)到兩定點 R( 4,0)、曰4 ,之差，F(xiàn)1F2= 8, PF 一 PH= 6<FiF2,故點P的軌跡是雙曲線的右支.梳理差的絕對值雙曲線的焦點兩焦點間的距離知識點二思考1為正時,在雙曲線標準方程中，x2與y2的系數(shù)的符號決定了焦點所在的坐標軸當 焦點在x軸上；當y2的系

11、數(shù)為正時，焦點在 y軸上，而與分母的大小無關.x2的系數(shù)思考2以雙曲線與x軸的交點y軸于點B,此時0B= b.題型探究例1解方法2 2橢圓 16+25 =1的焦點為 Fi(0， 3) , F2(0,3).設雙曲線的標準方程為2 2a 一 f= 1(a>0,b>0),1042 2= 1 ,那么有a ba2+ b2= 9,2a = 5,解得2b = 4.故所求雙曲線的標準方程為2 2y x一 =1542 2方法二 由橢圓方程16 +魯=1知，焦點在y軸上,2 2設所求雙曲線方程為二正=116<入<25.25人 人16因為雙曲線過點一2,10,所以1025入4X 161,解得

12、X = 20或X = 7舍去，2 2故所求雙曲線的標準方程為yx = 1.54y軸上，且a 因為雙曲線經(jīng)過點 M0,12，所以M0,12為雙曲線的一個頂點，故焦點在=12.又 2c= 26,所以 C= 13 ,所以 b2= c2 a2= 25.2 2所以雙曲線的標準方程為 拱莘=1.14425 設雙曲線方程為 mX + ny2= 1mn<0.15因為點P(3 , ) , Q(16§,5在雙曲線上,2259mn=1m 16,所以256-25n= 1 ,解得n= _9.2 2故所求雙曲線的標準方程為f-16=1.2 2跟蹤訓練1 解1設雙曲線標準方程為 孑一b= 1 a>0,

13、 b>0,' 2 2 2 2/ c =6,. b = c a = 6 a .254由題意知孑-蘆1,2542 2 = 1 a 6 a '，22解得a = 5或a = 30舍.2Xb = 1. 雙曲線的標準方程為一 y = 1.5 設雙曲線方程為 mX + ny2= 1mK0.點F4 , 2和點Q2 6, 2 2在雙曲線上,16m 4n= 1,24m 8n= 1,解得2 2雙曲線的標準方程為x8 y4 = 1.2 2x V 橢圓-= 1的焦點坐標為 F(0, 3) , F2(0,3),27362 2故可設雙曲線的標準方程為a2 孑=1.2.2八a + b = 9,由題意，知

14、42<15 2曠b =2a = 4,解得2b = 5.2 2雙曲線的標準方程為y4-1 =1.(1)當0°< a <90°時，方程為=1.COS a sin a1 1 當0°< a <45°時，0<co-<S:-，方程表示焦點在 y軸上的橢圓.COS a Sin a 當a = 45°時，方程表示圓x2+ y2= 2.1 1 當45°< a <90°時，>>0,方程表示焦點在 x軸上的橢圓.COS a Sin a(2)當a = 90°時，方程為 y =

15、 1.方程表示兩條平行直線y=± 1.當90°< a <180°時，方程為=1,方程表示焦點在y軸上的雙曲線.sin aCOS a16 m>0,跟蹤訓練2 解(1)當曲線為橢圓時，依題意得一m>0,16 m m,解得m<0,即m的取值范圍為(一a, 0). 此時，橢圓的焦點在x軸上，焦點坐標為(土4,0).(2)當曲線為雙曲線時，依題意得(16 m)m>0,解得0<n<16，即m的取值范圍為(0,16).此時，雙曲線的焦點在 x軸上，焦點坐標為(土 4,0).例 3(1)4 a+ 2m (2)16 :'3引申

16、探究 解 由雙曲線方程知 a= 3, b= 4, c= 5. 由雙曲線的定義得| PF PF2| = 2a = 6, 所以 PF+ PF2 2PF PF2= 36.在Rt FiPF2中，由勾股定理，得 PF? + PF2= FiF2= (2 c) 2= 100.將代入，得 PFi PF- 32.1所以 Svf1pf2 = 2PF PF = 16.跟蹤訓練342例 4 xy = 1( x w1)8跟蹤訓練4120°當堂訓練2 2或 25-12.12 2x y1 一 = 125 243. (5,10)4.245.解 (1)由題設知，a= 3, c=4.由 c2= a2 + b2,得 b2= c2 a2= 42 32= 7.因為雙曲線的焦點在x軸上，2 2所以所求雙曲線的標準方程為x占=1.I由得c= 6，且焦點在y軸上.因為點A 5,6)在雙曲線上，