任意角弧度制及任意角的三角函數(shù)

1、§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)2014高考會(huì)這樣考1.考查三角函數(shù)的定義及應(yīng)用；2.考查三角函數(shù)的符號(hào)；3.考查弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解任意角的概念，會(huì)在坐標(biāo)系中表示及識(shí)別角；2.掌握三角函數(shù)的定義，這是三角函數(shù)的基石1 角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)

2、這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限2 弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零(2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad,1 rad°.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l|·r，扇形的面積公式：Slr|·r2.3 任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin y，cos x，tan .三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin Rcos Rtan

3、 |k，kZ4. 三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.三角函數(shù)線()()()()有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 對(duì)角概念的理解要準(zhǔn)確(1)不少同學(xué)往往容易把“小于90°的角”等同于“銳角”，把“0°90°的角”等同于“第一象限的角”其實(shí)銳角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合為|k·360°<<k·360°90°，

4、kZ(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等2 對(duì)三角函數(shù)的理解要透徹三角函數(shù)也是一種函數(shù)，它可以看成是從一個(gè)角(弧度制)的集合到一個(gè)比值的集合的函數(shù)，也可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，定義域?yàn)槭贡戎涤幸饬x的角的范圍如tan 有意義的條件是角終邊上任一點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)不等于零，也就是角的終邊不能與y軸重合，故正切函數(shù)的定義域?yàn)?3 三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示(1)正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上為正，向下為負(fù)(2)余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(fù)(3)當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，此時(shí)正切線變成了一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)角的終邊在y

5、軸上時(shí)，點(diǎn)T不存在，即正切線不存在(4)在“數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，還可以從圖形角度考察任意角的三角函數(shù)，即用有向線段表示三角函數(shù)值，這是三角函數(shù)與其他基本初等函數(shù)不同的地方1 若點(diǎn)P在角的終邊上，且|OP|2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_答案(1，)解析x|OP|cos 2×1，y|OP|sin .點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)2 (2011·江西)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.答案8解析因?yàn)閟in ，所以y<0，且y264，所以y8.3 下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45° (k

6、Z) Bk·360° (kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk (kZ)答案C解析與的終邊相同的角可以寫成2k (kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確4 已知cos ·tan <0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角答案C解析若cos >0，tan <0，則在第四象限；若cos <0，tan >0，則在第三象限，選C.5 已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 ()A1 B4C1或4 D2或4答案C解

7、析設(shè)此扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則解得或從而4或1.題型一角的有關(guān)問題例1(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角；(3)已知角是第一象限角，試確定2、所在的象限思維啟迪：利用終邊相同的角進(jìn)行表示或判斷；根據(jù)角的定義可以把角放在坐標(biāo)系中確定所在象限解(1)終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(2)所有與角終邊相同的角的集合是|2k，kZ，所有與角終邊相同的角可表示為k，kZ.在0,2)內(nèi)終邊與角終邊相同的角有，.(3)2k<<2k，kZ，4k<2<4k，k<<k，kZ.2在第一或第二象限或終

8、邊在y軸非負(fù)半軸上，角終邊在第一或第三象限探究提高所有與角終邊相同的角(連同角在內(nèi))，可以表示為k·360°，kZ；在確定角所在象限時(shí)，有時(shí)需要對(duì)整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論 已知角45°，(1)在區(qū)間720°，0°內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；(2)設(shè)集合M，N，那么兩集合的關(guān)系是什么？解(1)所有與角有相同終邊的角可表示為45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°0°，得765°k×360°45°，解得k，從

9、而k2或k1，代入得675°或315°.(2)因?yàn)镸x|x(2k1)×45°，kZ表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合Nx|x(k1)×45°，kZ表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：MN.題型二三角函數(shù)的定義例2已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，) (x0)，且cos x，求sin 的值思維啟迪：先根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求x，再求sin 的值解P(x，) (x0)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.又cos x，cos x.x0，x±.r2.當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，由三角函數(shù)的定義，有sin ，sin ；

10、當(dāng)x時(shí)，同理可求得sin .探究提高任意角的三角函數(shù)值與終邊所在的位置有關(guān)，與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，故要首先判定P點(diǎn)所在的象限，確定r，最后根據(jù)定義求解 已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，3t) (t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當(dāng)t>0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t<0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .題型三三角函數(shù)線、三角函數(shù)值的符號(hào)例3(1)若是第二象限角，試判斷的符號(hào)；(2)已知cos

11、 ，求角的集合思維啟迪：由所在象限，可以確定sin 、cos 的符號(hào)；解三角不等式，可以利用三角函數(shù)線解(1)2k<<2k (kZ)，1<cos <0,4k<2<4k2 (kZ)，1sin 2<0，sin(cos )<0，cos(sin 2)>0.<0.的符號(hào)是負(fù)號(hào)(2)作直線x交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k2k，kZ探究提高(1)熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號(hào)(2)利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟：用邊界值定出角的終邊位置；根據(jù)不等式(

12、組)定出角的范圍；求交集，找單位圓中公共的部分；寫出角的表達(dá)式 (1)y的定義域?yàn)開(2)已知sin 2<0，且|cos |cos ，則點(diǎn)P(tan ，cos )在第幾象限？(1)答案x|2kx2k，kZ解析sin x，作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為x|2kx2k，kZ(2)解方法一由sin 2<0，得2k<2<2k2 (kZ)，k<<k (kZ)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第四象限；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第二象限又因cos 0，所以的終邊在左半坐標(biāo)平面(包括y軸)，所

13、以的終邊在第二象限所以tan <0，cos <0，點(diǎn)P在第三象限方法二由|cos |cos 知cos 0，又sin 2<0，即2sin cos <0由可推出因此在第二象限，P(tan ，cos )在第三象限題型四扇形的弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用例4已知一扇形的圓心角為 (>0)，所在圓的半徑為R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C>0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？思維啟迪：(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于的函數(shù)解(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則60

14、°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周長(zhǎng)C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··.當(dāng)且僅當(dāng)24，即2時(shí)，扇形面積有最大值.探究提高(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值(3)記住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，(0<<2)為圓心角，S是扇形面積 (1)一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等

15、于弧所在的半圓的長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？(2)一扇形的周長(zhǎng)為20 cm；當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解(1)設(shè)扇形的圓心角為 rad，則扇形的周長(zhǎng)是2rr.依題意：2rrr，(2)rad.扇形的面積Sr2(2)r2.(2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l2r20，即l202r (0<r<10)扇形的面積Slr(202r)rr210r(r5)225.當(dāng)r5時(shí)，S有最大值25，此時(shí)l10，2 rad.因此，當(dāng)2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)線中的應(yīng)用典例：(14分)(1)求函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域；(2)

16、設(shè)是第二象限角，試比較sin ，cos ，tan 的大小審題視角(1)求定義域，就是求使34sin2x>0的x的范圍用三角函數(shù)線求解(2)比較大小，可以從以下幾個(gè)角度觀察：是第二象限角，是第幾象限角？首先應(yīng)予以確定sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數(shù)線借助三角函數(shù)線比較大小規(guī)范解答解(1)34sin2x>0，sin2x<，<sin x<.2分利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)7分(2)是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ，是第一或第三象限的角8分(如圖陰影部分)，結(jié)合

17、單位圓上的三角函數(shù)線可得：當(dāng)是第一象限角時(shí)，sin AB，cos OA，tan CT，從而得，cos <sin <tan ；10分當(dāng)是第三象限角時(shí)，sin EF，cos OE，tan CT，得sin <cos <tan .12分綜上可得，當(dāng)在第一象限時(shí)，cos <sin <tan ；當(dāng)在第三象限時(shí)，sin <cos <tan .14分溫馨提醒1.第(1)小題的實(shí)質(zhì)是解一個(gè)簡(jiǎn)單的三角不等式，可以用三角函數(shù)圖象，也可以用三角函數(shù)線用三角函數(shù)線更方便.2.第(2)小題比較大小，由于沒有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示.3.本題易錯(cuò)點(diǎn)：不能確定

18、所在的象限；想不到應(yīng)用三角函數(shù)線原因在于概念理解不透，方法不夠靈活方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)|OP|r一定是正值2三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3注意熟記0°360°間特

19、殊角的弧度表示A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 角的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,2)，則sin 等于()A. B. C D答案B解析由三角函數(shù)的定義，得sin .2 若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()Asin cos <0 Btan sin <0Ccos tan <0 Dtan sin <0答案B解析在第三象限，sin <0，cos <0，tan >0，則可排除A、C、D，故選B.3 已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為()A2 B4 C6 D8答案C解析設(shè)扇形的半徑為R，則R2|2

20、，R21，R1，扇形的周長(zhǎng)為2R|·R246，故選C.4 有下列命題：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；若sin >0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cos .其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案A解析正確，不正確，sin sin ，而與角的終邊不相同不正確sin >0，的終邊也可能在y軸的非負(fù)半軸上不正確在三角函數(shù)的定義中，cos ，不論角在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知點(diǎn)P(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在第_象限

21、答案二解析點(diǎn)P在第三象限，tan <0，cos <0.在第二象限6 設(shè)為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P(m，)，且cos m，則sin 的值為_答案解析設(shè)P(m，)到原點(diǎn)O的距離為r，則cos m，r2，sin .7 函數(shù)y的定義域是_答案(kZ)解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k，kZ.三、解答題(共22分)8 (10分)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，m) (m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意，得r，所以sin m.因?yàn)閙0，所以m±，故角是第二或第三象限角當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；當(dāng)m

22、時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .9 (12分)一個(gè)扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.解設(shè)圓的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm，則解得圓心角2.如圖，過(guò)O作OHAB于H，則AOH1弧度AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為()A B. C D.答案B解析r，cos ，m>0，即m.2 已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為 ()A. B. C. D.答案D解析由sin >0，cos <0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.3 給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos <0，則是第二或第三象限的角其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案A解析由于第一象限角370&