定積分知識點

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第五章定積分一、定積分的性質(zhì)1規(guī)定：bbf ( x )dx0 ， f ( x )dxaabk2 g( x ) dx k12線形：k1 f ( x )abc3可加性：f ( x )dxf ( x )dxaabaf ( x )dx 。bbk2bf ( x )dxg( x )dx（ k1 、k2 為常數(shù)）。aabf ( x )dx 。c4dx b a 。a5廣義保號性：f ( x ) 0b0( ab ) 。f ( x )dxa6不等式： f ( x )bf ( x )dxb( a b ) 。g( x )g( x )dxaabb7絕對值不等式：a f ( x )dxa f ( x )

2、dx 。8估值不等式： m( bbf ( x )dx M ( ba )，其中 m minf ( x ) ，a )ax a ,bMmax f ( x ) ,ab 。x a,b9定積分中值定理：設(shè) f ( x )C a , b ，a , b ，b使f ( x )dxf ()( ba ) 。a二、函數(shù)可積的條件必要條件設(shè) f ( x ) 在 a ,b 上可積一定是a , b 上的有反之不一定。例：為有理數(shù)界函數(shù)f ( x)1 , x為無理數(shù)0 , x在 0，1 上不可積。充分條件1若 f ( x )C a , b ，則 f ( x ) 在 a ,b 上可積。2若 f ( x ) 在 a ,b 上有界

3、且只有有限個間斷點，則 f ( x )在 a , b 上可積。3a ,b 上的單調(diào)有界函數(shù)，在 a ,b 上可積。學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、微積分基本公式定理注x1設(shè) f (x)C a , b，則( x )f ( t )dt 在 a , b上可導(dǎo)a且 ( x)dxf ( x)(axb) 。f (t)dtdx a推論 1設(shè)(x)( x)(x)f ( x)(x) 。af (t )dt ，則推論 2設(shè)(x)( x)f (t)dt ，則(x )(x)f ( x)( x)f(x)( x) 。2（原函數(shù)存在定理）設(shè) f ( x ) C a , bxf ( t )dt，則( x )a就是 f ( x)在 a ,

4、b 上的一個原函數(shù)。3牛頓萊布尼茲公式 （微積分基本公式）：設(shè)是 f ( x )在 a , b它給出了連續(xù)函數(shù)求定積分的一上的一個原函數(shù)，即 F ( x )f ( x ) ，則般方法，把求定積分的問題轉(zhuǎn)化f ( x )dx F ( b ) F ( a )F ( x ) ab為 求原函數(shù)的ba問題四、 積分方法：換元法設(shè) f ( x )C a , b ， x( t ) 滿足( )a ，( ) b在 ,或 ,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其值域不超過a , b ， 則bf( t )( t )dtf ( x )dxa分部積設(shè) u 、 v 在 a ,b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則buv abbudvvdu分法aa推論a0 ,f

5、 為奇函數(shù)1 f ( x) C a , a ，則f ( x)dxaa2f ( x)dx , f 為偶函數(shù)02 f (x) C,，以 T 為周期，則Ta Tf ( x )dxf ( x )dx0a學(xué)習(xí)必備五、無窮限的廣義積分定義baf ( x )dxblim a f ( x )dx F ( x ) abbf ( x )dx F ( x ) bf ( x )dx limaaof (x) dxf ( x)dxf ( x )dxolim0bf (x)dxf ( x)dxlimaab0六、無界函數(shù)的廣義積分定義blimbf ( x )dxf ( x )dx F ( x ) ab ；a0ablimbf ( x )dxf ( x )dx F ( x ) aba0abcbf ( x )dxf ( x )dxf ( x )dxaaclimcf ( x )dx limbaf ( xdx 。00c歡迎下載注1設(shè)被積函數(shù)f ( x )在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，其中 F ( x ) f ( x )2若各式右邊的極限存在，則稱左邊的廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散。3 dxxp ( a 0 ) ，a當(dāng) p1時收斂，當(dāng)p 1時發(fā)散。注1設(shè)被積函數(shù)f ( x ) 在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且依次在點 a 的右鄰域、 b 的左鄰域、或 c 的鄰域 ( acb )內(nèi)無界，且F ( x )f ( x