心理統(tǒng)計(jì)學(xué)05-概率分布及集中常用概率分布特征

1、概率分布推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)隨機(jī)事件確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象1在一定條件下必然在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象，如氧發(fā)生的現(xiàn)象，如氧氣燃燒產(chǎn)生熱量。氣燃燒產(chǎn)生熱量。隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是在現(xiàn)出不確定性，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中，其結(jié)大量重復(fù)試驗(yàn)中，其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象，如擲硬幣的結(jié)果。現(xiàn)象，如擲硬幣的結(jié)果。日常生活中存在各種各樣的現(xiàn)象日常生活中存在各種各樣的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象2在一定條件下必然在一定條件下必然不發(fā)生的現(xiàn)象，如不發(fā)生的現(xiàn)象，如月球表面出現(xiàn)植物。月球表面出現(xiàn)植物。概率等于1概率介于（0,1）之間概率等于0概率：事件出

2、現(xiàn)可能性大小的數(shù)字描述，在概率：事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)字描述，在0,1之間取值之間取值 設(shè)隨機(jī)事件A在相同的條件下進(jìn)行的n次試驗(yàn)中發(fā)生了 次， 則稱 /n是事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)，記成 。 當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)該數(shù)值將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)上，這一常數(shù)稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率。即： 如下表是多位學(xué)者擲硬幣的結(jié)果概率定義后驗(yàn)（經(jīng)驗(yàn)）概率nnAfAn)(AnAnnnAPAn lim)(概率定義先驗(yàn)（古典）概率滿足以下兩個(gè)條件 每次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的； 每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，如擲骰子游戲。如果試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）的總數(shù)為n，事件A包含m個(gè)基本事件，則事件A的概率為 ，

3、以擲兩個(gè)骰子為例，P(至少有一個(gè)1)=11/36；P(點(diǎn)數(shù)之和大于10)=3/36.nmAP)(或或概率性質(zhì) 可列可加性：兩個(gè)不相容事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B) 乘法定理：兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于該兩事件概率的成績(jī)，即：P(AB)=P(A)P(B) 例：擲一個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)大于4的概率多大？ 同時(shí)擲兩個(gè)骰子，一個(gè)點(diǎn)數(shù)大于4，一個(gè)點(diǎn)數(shù)小于4的 概率多大？ 解：1，點(diǎn)數(shù)為5 的概率是1/6，點(diǎn)數(shù)為6的概率是1/6， 點(diǎn)數(shù)大于4的概率是1/6+1/6=2/6 2，其中一個(gè)大于4的概率是2/6，一個(gè)小于4的概率是 3/6，同時(shí)出現(xiàn)的概率是兩者乘積1/

4、6.概率分布 定義：隨機(jī)變量取值的函數(shù)描述 類型：離散分布（二項(xiàng)、泊松）與連續(xù)分布（正態(tài)、t、F） 經(jīng)驗(yàn)分布（由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)編制的次數(shù)分布）與 理論分布（數(shù)學(xué)模型） 總體分布（所有數(shù)據(jù)組成的分布）與 抽樣分布（從總體中抽取的樣本的統(tǒng)計(jì)量，含平均 數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等，的分布） 總體分布與抽樣分布舉例： 總體平均數(shù)只有一個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差只有一個(gè)，總體是一個(gè)分布，它的個(gè)體是觀測(cè)數(shù)據(jù)； 樣本可以有多個(gè)，所以樣本平均數(shù)有多個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差有多個(gè)，多個(gè)樣本平均數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）組成的分布稱為樣本平均數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）的分布，它的個(gè)體是多個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）。二項(xiàng)分布 二項(xiàng)分布：實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種的概率分布，如拋硬

5、幣，選擇題判斷題的正誤等。 分布函數(shù)：離散型xnxxnnnnnnnnnnnnqpCpnxBqCpqCqpCpCqp),(.)(11110n表示試驗(yàn)總次數(shù)（拋骰子總次數(shù)），x表示試驗(yàn)成功總次數(shù)（如點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)），p表示成功的概率（如點(diǎn)數(shù)為6的概率）二項(xiàng)分布 圖像：n=10，x=3，p=1/6，B(3,10,1/6)=0.155； n=10，x=2，p=1/6，B=(2,10,1/6)=0.291; n=10，x=1，p=1/6，B=(1,10,1/6)=0.070; n=10，x=4，p=1/6，B=(4,10,1/6)=0.054; 性質(zhì)： npqnp,正態(tài)分布 正態(tài)分布曲線函數(shù) 圖像eux

6、xf2)(21)(22平均數(shù)不同，標(biāo)準(zhǔn)差相同平均數(shù)相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同N(2，1)N(0，1)N(-2，1)N(，1)N(，0.25)N(，2.25)記作XN(,2)正態(tài)分布應(yīng)用 假定500個(gè)學(xué)生某科成績(jī)分布接近于正態(tài)分布N（70,100），問：75分以下有多少人？85分以上有多少人？介于65和80分之間有多少人？ 解：1 求這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的Z值： 2 根據(jù)正態(tài)分布表求對(duì)應(yīng)的曲線下面積在 z=0.5時(shí)，正態(tài)分布表第三列中對(duì)應(yīng)的值是0.1915，在 z=1.5 時(shí)，正態(tài)分布表第四列中對(duì)應(yīng)的數(shù)值是0.06681 3 根據(jù)相應(yīng)的曲線下面積求低于75分和高于85分的人數(shù)低于75分的實(shí)際人數(shù)為 500 x0.6

7、915=346 人。高于85分的實(shí)際人數(shù)為 500 x0.06681=33 人。答：這500個(gè)學(xué)生某科成績(jī)?cè)?5分以下的有346人，85分以上的有33人。5 . 01070751Z5 . 11070852Z正態(tài)分布 性質(zhì)：對(duì)稱，平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)相等 平均數(shù)左右1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍包含了68.27%的樣例， 平均數(shù)左右1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍包含了95%的樣例， 平均數(shù)左右2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍包含了99%的樣例，（發(fā)生概率在5%或1%以下的事件被稱為小概率事件，小概率事件被假定為在一次觀測(cè)中幾乎不可能發(fā)生） 正態(tài)分布曲線從中央點(diǎn)向兩邊下降，先凸后凹，拐點(diǎn)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處，無(wú)限接近X軸但永不相交 解：4：

8、求65分和80分的z值 用Z值找到對(duì)應(yīng)的概率，相減 P-0.5=0.30854, P1=0.84134, 0.84134-0.30854=0.5328 用概率差求介于65分與80分之間的人數(shù) 500 x0.5328=266.4266人正態(tài)分布應(yīng)用 假定500個(gè)學(xué)生某科成績(jī)分布接近于正態(tài)分布N（70,100），問：75分以下有多少人？85分以上有多少人？介于65和80分之間有多少人？5 . 010706565Z110708080Z 某縣對(duì)初一年級(jí)1000名學(xué)生進(jìn)行能力測(cè)驗(yàn)，結(jié)果75，10，現(xiàn)擬根據(jù)此結(jié)果選取25名學(xué)生作為“尖子班”重點(diǎn)培養(yǎng)，假定測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似正態(tài)分布，問多少分以上才能被選到“尖子班

9、”學(xué)習(xí)？ 解 求25名學(xué)生比例：25/1000=0.025=2.5% 查表求P=0.025對(duì)應(yīng)的Z值：Z=1.96 求入選分?jǐn)?shù)： X=94.6正態(tài)分布應(yīng)用107596. 1Xt分布 分布函數(shù)： 圖像1/nsXt性質(zhì)：=0，左右對(duì)稱在-+之間取值；受df=n-1影響，n-1趨于時(shí)t分布就是正態(tài)分布；n-130時(shí)t分布接近正態(tài)分布，方差大于1；n-10，呈正偏態(tài)分布df=n-1，df2時(shí)2的均值為df，方差為2dfdf趨于時(shí)2分布就是正態(tài)分布；2服從一個(gè)df=dfi的2分布學(xué)習(xí)使用2分布表查df=10時(shí)20.05；20.025 F分布222121/dfdfF 分布函數(shù)： 圖像：性質(zhì)：F0，呈正偏態(tài)分布，隨df1，df2的增大而趨于正態(tài)分布學(xué)習(xí)使用F分布表查F0.05（30,35） ；F0.01（35,30） 樣本平均數(shù) 總體正態(tài)，方差已知，服從正態(tài)分布 總體正態(tài)，方差未知，服從t分布 總體非正態(tài)，方差未知，趨于t分布（n30） 樣本方差S2 趨于正態(tài)分布（n30） 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 趨于正態(tài)分布（n30） 積差相關(guān)系數(shù) 服從t分布 等級(jí)相關(guān)系數(shù) 近似于t分布（9n20）或正態(tài)分布（n20）樣本分布性質(zhì)X 樣本平均數(shù) 的分布的平均數(shù)等于總體分布平均數(shù)： 樣本平均數(shù) 的分布的