分式方程的增根與無解的區(qū)別及聯(lián)系

1、精品文檔分式方程的增根與無解的區(qū)別分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，分式方程無解和分式方程有 增根決不是一回事。（一）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根2 4x 3_例i解方程_XL_ _±_ .x 2 X2 4 x 2解：方程兩邊都乘以（x+2） （x-2）,得2 （x+2） -4x=3 （x-2）.解這個方程，得x=2.經(jīng)檢驗：當(dāng)x=2時，原方程無意義，所以 x= 2是原方程的增根.所以原方程無解.【說明】顯然，方程中未知數(shù)x的取值范圍是xw2且xw-2 .而在去分母化為方程后，此時未知數(shù) x的取值范圍擴大為全體實數(shù).所以

2、當(dāng)求得的x值恰好使最簡公分母為零時，x的值就是增根.本題中方程的解是x = 2,恰好使公分母為零，所以 x=2是原方程的增根，原方程無解.（二）原方程化去分母后的整式方程無解例2解方程上 x 2 .x 22 x解：去分母后化為 x1 = 3x+2 （2 + x）.整理得0x=8.因為此方程無解，所以原分式方程無解.【說明】此方程化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了.由 此可見，分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根.（三）原分式方程無解，去分母后的整式方程的解就等于增跟例3 （2007湖北荊門）若方程 3丑=上一無解，則m= .x 2 2 x解：原方程可化為3蟲=上一.x 2 x 2

3、方程兩邊都乘以 x 2,得x 3= mi.解這個方程，得x=3m因為原方程無解，所以這個解應(yīng)是原方程的增根.即 x=2,所以2=3 m,解得m=1.故當(dāng)m=1時，原方程無解.【說明】因為同學(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方 程只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解.但是同學(xué)們并不能 因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學(xué)知識的加深，同學(xué)們便會明白其中 的道理，此處不再舉例.（四）分式方程在什么情況下會產(chǎn)生增根？產(chǎn)生無解？2 ax 3例4當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程 - -會產(chǎn)生增根?x 2 x2 4 x 2解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2)

4、,得 2 (x+2) +ax=3 (x2)整理得(a1) x = 10若原分式方程有增根，則 x= 2或2是方程的根.把x = 2或一2代入方程中，解得，a= 4或6.【說明】做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知 數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.若將此題“會產(chǎn)生增根”改為“無解” ，即:無解?2 ax當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程一-一二x 2 x 4此時還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a-1） x=10本身無解的情況，解法如下：解：方程兩邊都乘以（x+2） （x-2）,得 2 （x+2） +ax=3 （x2）整理得（a1） x = 10若原方程無解，則有兩種情形：（1）當(dāng)a1=0（即a=1）時，方程為0x=-10,此方程無解，所以原方程無解。2歡迎下載精品文檔(2)如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解.原方程若有增根，增根為x=2或一2,把x=2或一2代入方程中，求出 a= 4或6.綜上所述，a=1或a=4或a= 6時，原分式方程無解.結(jié)論 ： 弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系 , 能幫助我們提高解分式方程的正確性 , 對判斷方程解的情況有