點(diǎn)到直線地距離公式

1、§7向量應(yīng)用舉例71點(diǎn)到直線的距離公式72向量的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線法向量的概念.2.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題及一些實(shí)際問題.3.進(jìn)一步體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具知識(shí)鏈接1向量可以解決哪些常見的幾何問題？答(1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等位置關(guān)系(2)解決有關(guān)夾角、長(zhǎng)度及參數(shù)的值等的計(jì)算或度量問題2用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？答(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，距離，夾角等問題；(3)把運(yùn)

2、算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系預(yù)習(xí)導(dǎo)引1直線的法向量(1)直線ykxb的方向向量為(1，k)，法向量為(k，1)(2)直線AxByC0(A2B20)的方向向量為(B，A)，法向量為(A，B)2點(diǎn)到直線的距離公式推薦精選設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)為平面上任一定點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AxByC0(A2B20)的距離d.3向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式

3、cos .(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|.4向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是向量(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運(yùn)算，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成(3)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量(4)功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積要點(diǎn)一直線法向量(或方向向量)的應(yīng)用例1已知ABC的三頂點(diǎn)A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程解(1)由已知得點(diǎn)D(1,1)，E(3，1)，F(xiàn)(2，2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)是直線D

4、E上任一點(diǎn)，則推薦精選，(x1，y1)，(2，2)，(2)×(x1)(2)(y1)0，即xy20為直線DE的方程同理可求，直線EF、FD的方程分別為x5y80，xy0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在的直線上任一點(diǎn)，則，·0，(x6，y2)，(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40為所求直線CH所在的直線方程規(guī)律方法對(duì)于解析幾何中的有關(guān)直線平行與垂直問題，常?？梢赞D(zhuǎn)而考慮與直線相關(guān)的向量的共線與垂直，這樣一來將形的問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)的問題，從而容易將問題解決跟蹤演練1求點(diǎn)P0(1,2)到直線l：2xy100的距離解方法一取直線l的一個(gè)法向量為n(2,1)，在直線l上任取

5、一點(diǎn)P(5,0)，0(6,2)，點(diǎn)到直線l的距離d就是0在法向量n上的射影設(shè)0與n的夾角為.d|0|cos |0|·2.故點(diǎn)P0到直線l的距離為2.方法二由點(diǎn)到直線的距離公式得d2.要點(diǎn)二向量在平面幾何中的應(yīng)用例2如圖，已知RtOAB中，AOB90°，OA3，OB2，M在OB上，且OM1，N在OA上，且ON1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求MPN.推薦精選解設(shè)a，b，且，的夾角為，則b，a，又ba，ab，··5，|，|，cos ，又0，又MPN即為向量，的夾角，MPN.規(guī)律方法(1)本題可以選擇，作為基向量，這是兩個(gè)互相垂直的向量，選用這組特殊的基向量可以簡(jiǎn)化

6、運(yùn)算(2)本題也可以建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解把平面幾何中求角的問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是平面向量的工具性體現(xiàn)之一，轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意向量的方向跟蹤演練2已知ABC中，BAC60°，AB4，AC3，求BC的長(zhǎng)解以A為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4cos 60°，4sin 60°)，C(3,0)，推薦精選(3,0)，(2，2)，(1，2)，|.要點(diǎn)三利用向量解決物理中的問題例3在風(fēng)速為75() km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向解設(shè)向量a表示風(fēng)速，b表示無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，c表示有風(fēng)時(shí)飛機(jī)

7、的航行速度，則cab.如圖，作向量a，b，c，則四邊形OACB為平行四邊形過C、B分別作OA的垂線，交AO的延長(zhǎng)線于D、E點(diǎn)由已知，|75()，|150，COD45°.在RtCOD中，ODOCcos 45°75，CD75.又EDBCOA75()，OEODED75.又BECD75.在RtOEB中，OB150，sinBOE，|150，BOE30°.故沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150 km/h，航向?yàn)槲髌?0°.推薦精選規(guī)律方法用向量的有關(guān)知識(shí)研究物理中有關(guān)力與速度等問題的基本思路和方法如下：(1)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；(2)通過抽象、概

8、括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題；(3)利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問題，并獲得這個(gè)向量問題的解；(4)利用這個(gè)結(jié)果，對(duì)原物理現(xiàn)象作出解釋跟蹤演練3如圖，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為，繩子所受到的拉力為F1.(1)求|F1|，|F2|隨角的變化而變化的情況；(2)當(dāng)|F1|2|G|時(shí)，求角的取值范圍解(1)如圖，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得|F1|，|F2|G|tan .當(dāng)從0°趨向于90°時(shí)，|F1|，|F2|都逐漸變大(2)由(1)，得|F1|，由|F1|2|G|，得cos .又因?yàn)?°90°

9、，所以0°60°.推薦精選1已知直線l1：3xy20與直線l2：mxy10的夾角為45°，則實(shí)數(shù)m的值為_答案2或解析設(shè)直線l1，l2的法向量為n1，n2，則n1(3,1)，n2(m，1)由題意cos 45°.整理得2m23m20，解得m2或m.2已知A(1,2)，B(2,1)，以AB為直徑的圓的方程是_答案x2y2x3y0解析設(shè)P(x，y)為圓上任一點(diǎn)，則(x1，y2)，(x2，y1)，由·(x1)(x2)(y2)(y1)0，化簡(jiǎn)得x2y2x3y0.3正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，試求cosDOE的值解以O(shè)A，OC

10、所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：，故cosDOE推薦精選.即cosDOE的值為.4一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡根據(jù)測(cè)量，這一天水流速度為3 km/h，方向正東，風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1v2a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3 km/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為v.方向由南向北，大小為2 km/h，船本身的速度為v3，則av3v，即v3va，數(shù)形結(jié)合知v3的方向是北偏西60&

11、#176;，大小是3 km/h.1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明2.用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟推薦精選一般來說分為四步：(1)問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；(4)得到答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)分別是(1,0)，

12、(4,3)，(2,4)，(0,2)，則此四邊形為()A梯形 B菱形C矩形 D正方形答案A解析(3,3)，(2,2)，|，四邊形為梯形2當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為，兩人用力都為|F|，若|F|G|，則的值為()A30° B60°C90° D120°答案D解析作F1，F(xiàn)2，G，則，當(dāng)|F1|F2|G|時(shí)，OAC為正三角形，AOC60°，從而AOB120°.3平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·()0，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D無(wú)法確定答案B推薦精選解析由(2)

13、83;()0，得()()·()0，所以()·()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形4已知直線l1的方向向量為a(1,3)，直線l2的方向向量為b(1，k)，若直線l2過點(diǎn)(0,5)，且l1l2，則直線l2的方程是()Ax3y50 Bx3y150Cx3y50 Dx3y150答案B解析l1l2，ab，a·b13k0，k，l2的方程為yx5，即x3y150.故選B.5過點(diǎn)A(2,1)且平行于向量a(3,1)的直線方程為_答案x3y50解析設(shè)P(x，y)是所求直線上的任一點(diǎn)，(x2，y1)a.(x2)×13(y1)0.即所求直線方程為x3y50.6已知

14、點(diǎn)A(1,2)，B(0，2)，若點(diǎn)D在線段AB上，且2|3|，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_推薦精選答案解析由題意得(1,2)(1，4)，所以D.7如圖，點(diǎn)O是ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且.求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上證明設(shè)a，b，由E，F(xiàn)分別為對(duì)應(yīng)邊的三等分點(diǎn)，得aa(ab)ab，(ab)aab.所以.又因?yàn)镺為其公共點(diǎn)，所以點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上二、能力提升8已知直線l1：(m2)x3my10與直線l2：(m2)x(m2)y30相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值是()A2 B.推薦精選C2或 D或2答案C解析(m2)(m2)3m(m2)(m2)(4m2)0.m2或.9在四邊形

15、ABCD中，(1,2)，(4,2)，則四邊形的面積為()A. B2 C5 D10答案C解因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，(1,2)，(4,2)，·0，所以四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，又|，|2，該四邊形的面積：|·|××25.10已知曲線C：x，直線l：x6.若對(duì)于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得0，則m的取值范圍為_答案2,3解析由0知A是PQ的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，則Q(2mx，y)，由題意2x0,2mx6，解得2m3.11如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，大小為50 N，一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在

16、動(dòng)摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20 m問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g10 m/s2)推薦精選解設(shè)木塊的位移為s，則WF·s|F|·|s|cos 30°50×20×500(J)F在豎直方向上的分力的大小為|F1|F|·sin 30°50×25(N)則f(mg|F1|)0.02×(8×1025)1.1(N)所以f·s|f|·|s|cos 180°1.1×20×(1)22(J)即F與f所做的功分別是500 J與22 J.12在ABC中，ABAC，D為AB的中點(diǎn)，E為ACD的重心，F(xiàn)為ABC的外心，證明：EFCD.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)，則D(，)，(a，)易知ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為(0，y)由|，得(yb)2a2y2，所