2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽浙江省預(yù)賽時(shí)試題解答

1、2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽浙江省預(yù)賽時(shí)試題解答一、選擇題1、下列三數(shù)的大小關(guān)系正確的是（ C ）A、 B、C、 D、解：因?yàn)椋Ａ?，則。又因?yàn)?，所以。再令，則，而，所以。綜上所述，有 。 因此選（ C ）。2、已知兩點(diǎn)A（1,2），B（3,1）到直線L距離分別是，則滿足條件的直線L共有（ C ）A、1條 B、2條 C、 3條 D、 4條解：由，分別以A，B為圓心，為半徑作兩個(gè)圓，則兩圓外切，有三條共切線。正確答案為（ C ）。3、設(shè)為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如。記，則（ D ）A、20 B、4 C、42 D、145 解：將記做，于是有從16開始，是周期為8的周期數(shù)列

2、。故。 正確答案為（ D ）。4、設(shè)在平面上，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為（ B ）A、 B、 C、 D、解：在平面上的圖形關(guān)于軸與軸均對(duì)稱，由此的圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以4即得。為此，只要考慮在第一象限的面積就可以了。由題意可得，的圖形在第一象限的面積為A=。因此，的圖形面積為。 所以選（ B ）。5、在正2006邊形中，與所有邊均不平行的對(duì)角線的條數(shù)為（ C ）。A、2006 B、 C、 D、解：正邊形，對(duì)角線共有。計(jì)算與一邊平行的對(duì)角線條數(shù)，因，與平行的對(duì)角線的端點(diǎn)只能取自2n4個(gè)點(diǎn)，平行線共n-2條。故與某一邊平行的對(duì)角線共n（n2）條。由此可得與

3、任何邊都不平行的對(duì)角線共有n（2n3）n（n2）n（n1）條。因此正確選項(xiàng)是（ C ）。6、函數(shù)在時(shí)的最小值為（ B ）。A、2 B、4 C、6 D、8解：（由調(diào)和平均值不等式）4要使上式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)（1）（2）得，即得。因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，。所以。因此應(yīng)選（ B ）。二、填空題7、手表的表面在一平面上。整點(diǎn)這12個(gè)數(shù)字等間隔地分布在半徑為的圓周上。從整點(diǎn)到整點(diǎn)的向量記作，則。解：連接相鄰刻度的線段構(gòu)成半徑為的圓內(nèi)接正12邊形。相鄰兩個(gè)邊向量的夾角即為12邊形外角，為30度。各邊向量的長(zhǎng)為。則。共有12個(gè)相等項(xiàng)。所以求得數(shù)量積之和為。8、設(shè)且，則對(duì)任意 n 。解：，所以，。9、在中隨機(jī)選取三

4、個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。解：三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為，按題意必須滿足，。對(duì)于給定的，可以取。故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為，三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為。10、設(shè)是非零實(shí)數(shù)，若，則 。解：已知， （1）將（1）改寫成。而。所以有。即，也即，將該值記為。則由（1）知，。于是有，。而。11、已知， 。若為單元素集，則。解：由 為單元素集，即直線與相切，則。12、 。解：設(shè)，則，即有。所以有。于是可得，且當(dāng)時(shí)，。因此。三、解答題13、在軸同側(cè)的兩個(gè)圓：動(dòng)圓和圓外切，且動(dòng)圓與軸相切，求（1）動(dòng)圓的圓心軌跡方程；（2）若直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求之值。解：（1）由可得，由，以及兩圓在軸同

5、側(cè)，可知?jiǎng)訄A圓心在軸上方，設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為，則有，整理得到動(dòng)圓圓心軌跡方程。 （5分）另解：由已知可得，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，且頂點(diǎn)在點(diǎn)（不包含該點(diǎn)）的拋物線，得軌跡方程，即 （5分）（2）聯(lián)立方程組 消去得 ，由，整理得 從可知。故令，代入可得 。再令，代入上式得 （10分）同理可得，?？闪睿肟傻?對(duì)進(jìn)行配方，得 ，對(duì)此式進(jìn)行奇偶分析，可知均為偶數(shù)，所以為8的倍數(shù)，所以。令，則。所以 （15分）僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù)。于是解得。 （20分）14、已知數(shù)列滿足 ，滿足， ，證明：。證明：記，則。而。 （5分）因?yàn)?，所以?（10分）從而有。 （1）又因?yàn)?，所以，即。從而有?（2） （15分）由（1）和（2）即得 。綜合得到 。左邊不等式的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。 （20分）15、六個(gè)面分別寫上1，2，3，4，5，6的正方體叫做骰子。問 1）共有多少種不同的骰子； 2）骰子相鄰兩個(gè)面上數(shù)字之差的絕對(duì)值叫做這兩個(gè)面之間的變差，變差的總和叫做全變差。在所有的骰子中，求的最大值和最小值。解：1）設(shè)臺(tái)子上有一個(gè)與骰子的側(cè)面全等的正方形。我們把一個(gè)骰子放到該正方形上的放法共6×4種。所以不同的骰子共有 種。 （5分）2）由16的六個(gè)數(shù)字所能產(chǎn)生的變差共有15個(gè)，其