33有理函數(shù)積分

1、mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa 11101110其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b :有理函數(shù)有理函數(shù)多項式之商多項式之商即即, mn 若若則則為為假假分分式式有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分10111011( )( )nnnnmmmma xa xaxap xq xb xb xbxb任何一個有理真分式均可表示為部分分式之和。22,(1)-( - ),(1)()nnaanx ax abxcbxcnxpxqxpxq部分分式： 22, , , , ,4a b c a p qnxpxqpq其中為常數(shù)， 為自然數(shù)，中

2、（）四個部分分式均可積1.1.假假分分式式多多項項式式真真分分式式dxxx 221 求求dxxx 231 求求解解231xx 21x x)11(2 x221)1(xxxx x 21xx dxxx 2312()1xxdxx221x 2112 1x2dx)1(2 xd221x 21ln(1)2xc)3)(2(3 xxx2ax 解解6532 xxx的系數(shù)的系數(shù) x 1ba 的系數(shù)的系數(shù)常數(shù)項常數(shù)項 3)23(ba 5 a6 b6532 xxx3625 xx3bx dxxxx 653 2求求122. -(-)()nx ax axa 真真分分式式，分分母母可可化化為為（）dxxxx 6532dxxx )

3、2536( 36xdx)3( xd 25xdx)2( xd3ln6 xcx 2ln521(1)x x 11-ikkix ax a3.3.分分母母為為（）（）ax 2(1)bxcx (ax 2(1)bx )1cx 解解21 (1)dxx x 求求11)1(112 xxxdxxx 2)1(1 dxxxx)11)1(11(2xln 11 xcx 1ln220(1)()20(1)1aba xx bxcacx xa )1)(21(12xx 2121abxcxx dxxx)1)(21(1 2求求例例解解21()()()iaxbxcxaxa4.4.分分母母為為 dxxx)1)(21(12dxxxdxx 21

4、51522154)21ln(52x dxxdxxx 221151152)21ln(52x )1(212 xd)1ln(512x cx arctan51223)1()2)(1(1 xxxxx21() ()()kmnnaxbxcxaxa5. 5. 分分母母(1ax 3(2)bx 2(2)cx 2dx 22(1)exfxx 2)1gxhxx 2323221(2)(1)abxcxdexfxgxhxxxx dxxxx 1023 2求求6 6. .分分母母不不能能化化為為實實一一次次因因子子乘乘積積（第第三三種種, ,第第四四種種）: :配配方方，湊湊微微分分解解)102(2 xx22 xdxxxx 10

5、232214210 xdxxx 21210 xdxxx24210dxxx 102)102(2122xxxxd214(1)(1)9d xx)102ln(212 xx41arctan33xc253 210 xdxxx求（）解解253(210)xdxxx251(210)xdxxx254(210)dxxx2251(210)2(210)d xxxx2514(1)(1)9)d xx2418(210)xx 25552525105112111214(1)tan1(1)9)939(tan1)()1)312costan9xd xddtxxttdt二、三角函數(shù)有理式的積分 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函

6、數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱為構(gòu)成的函數(shù)稱為三角有理式三角有理式xsin2cos2sin2xx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx xcos2sin2cos22xx 2sec2tan122xx 2tan12tan122xx 令令2tan xu 212sinuux 2211cosuux dxuxarctan2 duu212 （萬能置換公式）（萬能置換公式） dxxxxcossin1sin 求求例解解2tan xu 令令 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22 212uu 1212uu 2211uu duu212 dxx4sin1 求求解（一）解（

7、一）,2tanxu ,12sin2uux duudx212 dxx4sin1duuuuu 46428331cuuuu 333318133cxxxx 332tan2412tan832tan832tan241例解解(二二)修改萬能置換公式修改萬能置換公式, ,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421cuu 1313.cotcot313cxx 解解(三三) dxx4sin1dxxx 22csccscdxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd cxx 3cot31cot2。靈活利用三

8、角函數(shù)恒等式例 xdx2sin dxx)2cos1(212x cx 42sin xdx3sin xxdcossin2 xdxcos)cos1(231coscos3xxc 4sin xdx221 cos2111()(cos2cos 2 )2424xdxxx dx2111111 cos4(cos2sin 2 )(cos2)224228xxx dxxdx5422sinsincos(1 cos)cosxdxxdxxdx 24(1 2coscos) cosxx dx cossincosxxx注意：奇次冪和偶次冪處理方式不同，偶次時倍角公式降冪奇次時湊微分。積分函數(shù)若為或和乘積處理相似sinsin (co

9、ssin )sincoscos2xxxxdxdxxxx 例例211sinsin22sin2sin (1cos )2sin(1cos )xdxdxdxxxxxxx 例例863533secsectansincostantandxxxdxdxxxxx 例例3312222secsincostandxxdxxxx 例例sin,cos,cosmnm nxxmnx 在在分分母母上上，并并且且為為偶偶數(shù)數(shù)，同同除除2sintan12sincos1tan11xxtdxdxdxxxxtt 解解 ：無理函數(shù)積分taxsin taxtan taxsec 2201xa 2202xa 2203ax 其他其他 40t 其它

10、其它1。第二類換元法解解 dxxxx11例例txx 1 令令21txx ,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121dtt 11122t 2 2112ln|1|xxxcxx 1222tdttctt 11ln解解 dxxxx11例例211 ydxdyxy 令令 dxxxx11211yydyy 1221ytttdtt 222122 (1)11tdtdttt 12ln|1ttct 1ydyy 112 1ln|11yycy 11112 1ln|111xcxx 2112 1ln|( 11) |xcxx 11xdxx 例例1,1xtx 解解1 1：可可作作變變換換但但解解題題過過程程很很繁繁瑣瑣33221(1)1122(1)33dxxxxxdxxdxxdxxxxxc 例例分母有理化分母有理化2