第6章中值定理、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、6 6.1 .1 中值定理中值定理6 6.2 .2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則6 6.3 .3 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值6 6.4 .4 泰勒公式泰勒公式結(jié)束 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 滿足下列條件滿足下列條件)(xf)()(bfaf(3) (3) (1) (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)；上連續(xù)；,ba(2) (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); ;),(ba則在內(nèi)至少存在一點則在內(nèi)至少存在一點 ，6.1.1 6.1.1 羅爾定理羅爾定理 ab使得使得0)(f前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 幾何解釋如圖幾何解釋如圖abab在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系oxy中中曲線

2、曲線 兩端點的連線兩端點的連線 平行平行于于 軸軸, ,其斜率為零其斜率為零x( )yf xab故在曲線弧上定有一點故在曲線弧上定有一點 使曲線在該點的切線平使曲線在該點的切線平行于弦行于弦 ，即平行，即平行于于 軸。軸。ab( ,( )mf x0( )f oxy即即前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁則在區(qū)間則在區(qū)間 內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在),( ba(1) (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)；上連續(xù)；,ba(2) (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；),(ba定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 滿足下列條件滿足下列條件)(xf)(xfy mabbat( )( )( )f bf afba 一點一點 ，使得使

3、得6.1.2 6.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁曲線曲線 處處有不垂直處處有不垂直于于 軸的切線軸的切線如圖如圖 在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系oxy( )yf xx端點連線端點連線abab的斜率為的斜率為( )()f bf aba所以定理實際是說存在所以定理實際是說存在點點 ，使曲線在該點的，使曲線在該點的切線切線t平行于弦平行于弦abab。 ( )yf xmabba toxy( )()()f bf afba 即即前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2.2.在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，),(ba1.1.在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)；上連續(xù)；,ba定理定理3 cauchy3

4、cauchy中值定理中值定理則在區(qū)間則在區(qū)間 內(nèi)定有點內(nèi)定有點),(ba)()()()()()(agbgafbfgf 使得使得6.1.3 6.1.3 柯西中值定理柯西中值定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 與與 滿足如下條件：滿足如下條件：( )f x)(xg前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁rollerolle定理是定理是lagrangelagrange定理的特例定理的特例: : 在在lagrangelagrange中值定理中如果中值定理中如果 則則lagrangelagrange中值定理變成中值定理變成rollerolle定理；定理；cauchycauchy定量是定量是lagrangelagrange定理的推廣定理的

5、推廣 在在cauchycauchy中值定理中如果中值定理中如果 ， 則則cauchycauchy化為化為lagrangelagrange中值定理。中值定理。)()(afbf xxg )(三個中值定理的關(guān)系前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 如果在某極限過程下如果在某極限過程下, ,函數(shù)函數(shù)f ( x)與與g(x)同時趨于零或同時趨于零或者同時趨于無窮大，通常把者同時趨于無窮大，通常把 的極限稱為未定式的極的極限稱為未定式的極限，洛必達(dá)法則就是解決這類極限的工具。限，洛必達(dá)法則就是解決這類極限的工具。一般分為三種類型討論：一般分為三種類型討論：)()(xgxf6.2 洛必達(dá)法則001 1 型不定式型不定式

6、2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理1 1 設(shè)函數(shù)與在的某空心鄰域內(nèi)有定義，且設(shè)函數(shù)與在的某空心鄰域內(nèi)有定義，且滿足如下條件：滿足如下條件：000)(lim)(lim)1( xgxfaxax且且在該鄰域內(nèi)都存在在該鄰域內(nèi)都存在和和，xgxf)()()2( ;0)( xg.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 則則） （ )()(lim)3(xgxfax存在存在或為或為1 1 型未定式型未定式前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁（ 為任意實數(shù)）為任意實數(shù)） 例例1 1 求求xxx1)1(lim0 1)1(lim1)1(lim120 xaxxxx

7、解解例例2 2 求求20)1ln(limxxxxxxxxx211lim)1ln(lim020 解解 )1(21lim0 xxx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 求求 202limxeexxx 解解 12lim2lim2lim0020 xxxxxxxxxeexeexee此定理的結(jié)論對于此定理的結(jié)論對于 時時 型未定式同樣適用。型未定式同樣適用。 00 x 例例4 求求xxx1arctan2lim解解 22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxx 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2型不定式型不定式 的某空心鄰域內(nèi)有定義，且滿足如下條件的某空心鄰域內(nèi)有定義，且滿足如下條件(1)lim

8、( )lim ( )xaxaf xg x (2)( )fx 與與( )g x 在該鄰域內(nèi)都存在，且在該鄰域內(nèi)都存在，且( )0g x ( )(3)lim()( )xafxag x 有有限限或或則則 ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x 定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x( )g xxa 與在點在點前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例5 求求xxx3tantanlim2 解解: xxxxxx3sec3seclim3tantanlim2222 xxx22cos3coslim312 )sin(cos2)sin3(3cos2lim312xxxxx 32sin6sinlim2

9、 xxx 定理定理2 2的結(jié)論對于的結(jié)論對于 時的時的 型未定式型未定式的極限問題同樣適用。的極限問題同樣適用。 x 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例6 6求求nxxxlnlim 解解 01lim1limlnlim1 nxnxnxnxnxxxx則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。即有則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。即有能滿足定理中能滿足定理中)(xf)(xg與與應(yīng)滿足的條件，應(yīng)滿足的條件，)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax )(xf )(xg 與與還是還是 型未定式，且型未定式，且)()(limxgxfax 00如果如果前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確

10、定如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確定則洛必達(dá)法則失效則洛必達(dá)法則失效. . 此時需用別的辦法判斷未定式此時需用別的辦法判斷未定式)()(xgxf的極限。的極限。 )()(xgxf或能斷定或能斷定)()(xgxf 的極限，的極限，無極限，無極限，前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例7 7 求求xxxxsin1sinlim20解解 這個問題是屬于這個問題是屬于00型未定式，型未定式，20011sinsinlimlim01sinsinxxxxxxxxx但分子分母分別但分子分母分別112 sincoscosxxxx求導(dǎo)后得求導(dǎo)后得此式振蕩無極限，故洛必達(dá)法則失效，不能使用。此式振蕩無極限，故洛必達(dá)法則失效，不能

11、使用。但原極限是存在的，可用下法求得但原極限是存在的，可用下法求得前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除00和和 型外，還有型外，還有 1000 0 型型、 型型、等五種類型。等五種類型。 型型、 型型、 型型、前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁型或者型或者 型型型：型： 0 100010 ( 型型) )變?yōu)樽優(yōu)閤xxlnlim30 301lnlimxxx 4031limxxx xxx3lim40 3lim30 xx xxxlnlim30 例例8 8 求求解解0 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 型型:通分相減變?yōu)橥ǚ窒鄿p變?yōu)?型型00例例9 9 求求)ln11(lim1xxxx

12、 （ 型）型）解解 )ln11(lim1xxxx xxxxxxln)1(1lnlim1 (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 21 (0)0型型前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 1000 型未定式型未定式: :由于它們是來源于冪指函數(shù)由于它們是來源于冪指函數(shù) 的極限的極限 )()(xgxf因此通?？捎萌?shù)的方法或利用因此通?？捎萌?shù)的方法或利用 )()(xgxf)(ln)(xfxge 00 即可化為即可化為 型未定式，再化為型未定式，再化為 型或型或 型求解。型求解。 0例例10 10 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxx

13、eexlnlimln000limlim xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解所以所以前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例11 11 求求xxxsin0)(cotlim ,)(cotsin xxy xxycotlnsinln yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解解 設(shè)設(shè)xxxcotlnsinlim0 所以所以 xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e（ 型）型）0 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例1

14、2 12 求求xexxln11)(lnlim （ 型型）1,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy xxxxxyexexex11ln1limln1lnlnlimlnlim 1)ln1(lim xex所以所以 1ln11)(lnlim exxex解解前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁6.36.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值 定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f ( (x) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, ,b 上連續(xù)，在開區(qū)上連續(xù)，在開區(qū)間間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則：內(nèi)可導(dǎo)，則：1.若在若在(a,b)內(nèi)內(nèi) ,則則f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加( )0f x 2.若在若在(a

15、,b)內(nèi)內(nèi) ,則則f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。0)( xfabab6.3.1 函數(shù)的單調(diào)性及判別法函數(shù)的單調(diào)性及判別法前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例2 2 確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.xxxf3)(3 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 且等號只在且等號只在 x= =0 成立成立. . 0cos1 xy解解 因為所給函數(shù)在區(qū)間因為所給函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)內(nèi), ),( 例例1 1 判定函數(shù)判定函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. .xxysin , 所以所以函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)增加上單調(diào)增加. .xxysin , 解解 )1)(1(333)(2 x

16、xxxf所以當(dāng)所以當(dāng) x = -1, x = 1時時0)( xf x (-,-1) -1(-1,1) 1(1,+)f (x) + 0 - 0 +f(x)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 反之，如果對此鄰域內(nèi)任一點反之，如果對此鄰域內(nèi)任一點 ，恒有，恒有 則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 的一個極小值，的一個極小值， 稱為極小值點。稱為極小值點。)(xf)(0 xxx )(0 xf0 x)()(0 xfxf 6.3.2 6.3.2 函數(shù)的極值函數(shù)的極值定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某鄰域內(nèi)有定義，若對此的某鄰域內(nèi)有定義，若對此鄰域內(nèi)每一點鄰域內(nèi)每一點 ，恒有，恒有 ，則稱，則稱 是函數(shù)是函數(shù) 的一個極大值，

17、的一個極大值， 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的一個極的一個極大值點；大值點； )(xf0 x)(0 xxx )()(0 xfxf )(0 xf0 x)(xf)(xf 函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點極函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點極小值點統(tǒng)稱為極值點。小值點統(tǒng)稱為極值點。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 ab1x3x5x2x4xabcde極值是局部的，只是與鄰近點相比較而言。并非在整極值是局部的，只是與鄰近點相比較而言。并非在整個區(qū)間上的最大最小。極大值點與極小值點也不是唯個區(qū)間上的最大最小。極大值點與極小值點也不是唯一的。如下圖中一的。如下圖中a、b、c、d、e都是極值點。都是極值點。從圖中可看

18、出從圖中可看出,極小值極小值不一定小于極大值，如不一定小于極大值，如圖中圖中d點是極小值，點是極小值，a點是極大值。點是極大值。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理3（極值第一判別法）：（極值第一判別法）： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)（鄰域內(nèi)（ 可除外）可導(dǎo)可除外）可導(dǎo))(xf0 x0 x（1）如果當(dāng)）如果當(dāng) 時時 ，而當(dāng)，而當(dāng) 時，時， 則則 在在 取得極大值。取得極大值。0 x0)( xf0 xx 0 xx 0)( xf)( xf0)( xf0)( xf 0 x 0 x0 x（）如圖所示：如圖所示：在在 ，),(00 xx 0)( xf在在 ，)

19、,(00 xx0)( xf在在 取得極大值。取得極大值。)(xf0 x前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 （2）如果當(dāng)）如果當(dāng) 時時 ，而當(dāng)，而當(dāng) 時，時， 則則 在在 取得極小值。取得極小值。0 x0)( xf0 xx 0 xx 0)( xf)(xf0)( xf0)( xf 0 x 0 x0 x（）如圖所示：如圖所示：在在 ，),(00 xx 0)( xf在在 ，),(00 xx0)( xf在在 取得極小值。取得極小值。)(xf0 x（3）如果在）如果在 兩側(cè)兩側(cè) 的符號不變，則的符號不變，則 不是不是 的極值點，如圖示的極值點，如圖示0 x)(xf 0 x)(xf0)( xf 0 x 0 x0 x（

20、）0)( xf前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(4)利用定理利用定理3,判斷判斷(2)中的點是否為極值點中的點是否為極值點,如果是如果是 求極值點的步驟：求極值點的步驟：(1)求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域(有時是給定的區(qū)間有時是給定的區(qū)間);(3)用用(2)中的點將定義域中的點將定義域(或區(qū)間或區(qū)間)分成若干個子區(qū)間分成若干個子區(qū)間,進(jìn)一步判定是極大值點還是極小值點進(jìn)一步判定是極大值點還是極小值點.(2)求出求出 ,求出使求出使 的點及的點及 不存在的點不存在的點;)(xf 0)( xf)(xf 討論在每個區(qū)間討論在每個區(qū)間 的符號的符號;)(xf (5)求出各極值點處的函數(shù)值求出各極值點處的函數(shù)值,

21、得函數(shù)的全部極值得函數(shù)的全部極值.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值的單調(diào)區(qū)間和極值.32)1()1()( xxxf解解 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),(223)1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf)15()1)(1(2 xxx0)( xf, 11 x,512 x13 x令令,得駐點得駐點這三個點將定義域這三個點將定義域分成四個部分區(qū)間，列表如下分成四個部分區(qū)間，列表如下極大值極大值,3125345651 f極小值極小值0)1( f前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 )1)(1(333)(2 xxxxfxxf6)( 令令 得得11 x12 x0)( xf由于由于0

22、6)1( f06)1( f定理定理4(極值的第二判別法極值的第二判別法) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 處具有處具有)(xf0 x 二階導(dǎo)數(shù)，且二階導(dǎo)數(shù)，且 ， ；0)(0 xf0)(0 xf（1）若若 ，則，則 是函數(shù)是函數(shù) 的極小值點；的極小值點；0)(0 xf0 x)(xf（2）若）若 ，則，則 是函數(shù)是函數(shù) 的極大值點；的極大值點；0)(0 xf0 x)(xf例例5 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. xxxf3)(3 解解 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),( 所以所以 為極大值為極大值, 為極小值為極小值.2)1( f2)1( f前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 6.3.3 6.3.3 函數(shù)的最大值與最

23、小值函數(shù)的最大值與最小值是函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中最大者和最小者是函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中最大者和最小者 最小的就是函數(shù)在區(qū)間最小的就是函數(shù)在區(qū)間上的最小值。上的最小值。,ba連續(xù)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值可通過比較上的最大值與最小值可通過比較端點處的函數(shù)值端點處的函數(shù)值 和和 ; ;1.1.區(qū)間區(qū)間,ba( )( )f af b2.2.區(qū)間區(qū)間內(nèi)使的點處的函數(shù)值；內(nèi)使的點處的函數(shù)值；),(ba0)( xf內(nèi)使內(nèi)使 不存在的點處的函數(shù)值。不存在的點處的函數(shù)值。3.3.區(qū)間區(qū)間),(ba)(xf 這些值中最大的就是函數(shù)在這些值中最大的就是函數(shù)在上的最大值上的最大值

24、,ba,ba上的最大值與最小值是全局性的概念上的最大值與最小值是全局性的概念, ,函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間,ba如下幾類點的函數(shù)值得到：如下幾類點的函數(shù)值得到：前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在駐點處函數(shù)值分別為在駐點處函數(shù)值分別為在端點的函數(shù)值為在端點的函數(shù)值為最大值為最大值為最小值為最小值為解解)1)(1(444)(3 xxxxxxf令令0)( xf，得駐點，得駐點11 x0,2 x1,3 x13)2()2( ff4)1()1( ff例例6 6 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間52)(24 xxxf 2,2 )(xf4)1(,5)0(,4)1( fff3)2()2(

25、 ff比較上述比較上述5 5個點的函數(shù)值，即可得個點的函數(shù)值，即可得 在區(qū)間在區(qū)間上的上的)(xf 2,2 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁m1xyo1 2 m2m1xyo1 2 m23.4.1 3.4.1 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點定義定義1 1：如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧總是位于其切線的上：如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧總是位于其切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凸的。方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凸的。如圖所示如圖所示6.4 6.4 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 如果曲線弧總是位于其切線的下方，則稱曲線在如果曲線弧總是位于其切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凹的。如下圖：這個區(qū)間上

26、是凹的。如下圖： 當(dāng)曲線為凸時，曲線當(dāng)曲線為凸時，曲線 的切線斜率的切線斜率 隨著隨著 的增加而增加，即的增加而增加，即 是增函數(shù)；反之，當(dāng)是增函數(shù)；反之，當(dāng)曲線為凹時，曲線曲線為凹時，曲線 的切線斜率的切線斜率 隨隨著著 的增加而減少，即的增加而減少，即 是減函數(shù)。是減函數(shù)。 )(xfy xxftan)( x)(xfy )(xf ( )tanfxx x)(xf m1x1 2 m2yom1xyom2前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) （1 1）如果）如果 時，恒有時，恒有 ，則曲線，則曲線 在在 內(nèi)為凸的；內(nèi)為凸的； （2 2）如果

27、）如果 時，恒有時，恒有 ，則曲線，則曲線 在在 內(nèi)為凹的。內(nèi)為凹的。定義定義2 2 曲線上凹與凸的部分的分界點稱為曲線的拐點。曲線上凹與凸的部分的分界點稱為曲線的拐點。 拐點既然是凹與凸的分界點，所以在拐點的某鄰域拐點既然是凹與凸的分界點，所以在拐點的某鄰域內(nèi)內(nèi) 必然異號，因而在拐點處必然異號，因而在拐點處 或或 不存在。不存在。 )(xfx)(xfx)(xf)(xf )(xf 0)( xf),(ba),(ba0)( xf),(ba),(ba),(ba0)( xf前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例1 1 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點。的凹凸區(qū)間與拐點。解解 令令 ，得，得 ， 1234 xxy2

28、364xxy 2,121212 (1)yxxx x 列表如下列表如下 0 0 0 y1 , 021 xx)1 , 0(), 1( )0 ,(10)1 , 0()0 , 1( )fx ( )f x有拐點有拐點有拐點有拐點x前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 可見可見, ,曲線在區(qū)間曲線在區(qū)間 內(nèi)為凸的，在區(qū)內(nèi)為凸的，在區(qū)間間 內(nèi)為凹的，曲線的拐點是內(nèi)為凹的，曲線的拐點是 和和 . . ), 1( , )0 ,()1 , 0()1 , 0()0 , 1( 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，當(dāng)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，當(dāng)在點 的二的二階導(dǎo)數(shù)不存在時，如果在點階導(dǎo)數(shù)不存在時，如果在點 某空心鄰域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在某

29、空心鄰域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在且在且在 的兩側(cè)符號相反，則點的兩側(cè)符號相反，則點 是拐點；如果兩是拐點；如果兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相同，則點側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相同，則點 不是拐點不是拐點. .)(xf0 x0 x0 x)(,(00 xfx)(,(00 xfx0 x綜上所述，判定曲線的凹凸與拐點的步驟可歸納如下：綜上所述，判定曲線的凹凸與拐點的步驟可歸納如下：（1 1）求一階及二階導(dǎo)數(shù)）求一階及二階導(dǎo)數(shù) ， ；（2 2）求出）求出 及及 不存在的點；不存在的點；)(xf )(xf )(xf )(xf 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁（3 3）以（）以（2 2）中找出的全部點，把函數(shù)的定義域分成）中找出的全部點，把函數(shù)的定

30、義域分成若干部分區(qū)間，列表考察若干部分區(qū)間，列表考察 在各區(qū)間的符號，從而在各區(qū)間的符號，從而可判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸與拐點。可判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸與拐點。 )(xf 例例2 2 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點。的凹凸區(qū)間與拐點。 2xey 解解 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 當(dāng)當(dāng) 時，時， ，故以，故以 將定將定義域分成三個區(qū)間，列表如下：義域分成三個區(qū)間，列表如下： 0 y21 x22xxey 22,2(21)xyex 21 x21 x),(前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁x1(,)2 1211(,)22121(,)2)(xf )(xf +0 0 +有有 拐拐 點點有有拐拐點點 在在 處，曲線上對應(yīng)的點處，曲線上對應(yīng)的點 與與 為拐點。