174節(jié),理解泰勒公式

1、 4 4 泰勒公式與極值問(wèn)題首頁(yè)首頁(yè)一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) z = f (x , y)在域在域 d 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ),(yxfxzx 若這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，若這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)它們是則稱(chēng)它們是z = f ( x , y )的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, 有下列有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):),(yxfyzy 首頁(yè)首頁(yè))(xz)(yzx )(xzy yxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy類(lèi)似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類(lèi)似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).z = f (x , y) 的三階偏導(dǎo)數(shù)共有八的三階

2、偏導(dǎo)數(shù)共有八 ( 23 ) 種情形：種情形：),()(33322yxfxzxzxx ),()(22322yxfyxzxzyyx x xx xf (x,y);f (x,y); 2 22 2z zx x x x 2 2y yy y2 2zzzz()f (x,y)()f (x,y)yyyyy y 首頁(yè)首頁(yè)又如又如 z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù) , ) (yyxznn111nnxz二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù). .再關(guān)于再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為的一階偏導(dǎo)數(shù)為首頁(yè)首頁(yè)yxe22例例1 求函數(shù)求函數(shù) yxez2.

3、23xyz解解 xz22xz) ( 223xyzxxyzyz22 yzyxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及的二階偏導(dǎo)數(shù)及 2 2z zx yx y 首頁(yè)首頁(yè)2 2z zy xy x 注意注意 從上面兩個(gè)例子看到，有從上面兩個(gè)例子看到，有但這一結(jié)論并不總成立但這一結(jié)論并不總成立. .2222zzzz, ,x yy xx yy x 首頁(yè)首頁(yè).arctan2的所有二階偏導(dǎo)數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)例例xyz 0,)(4222224224yxyxyyxxx0,)(4222224224yxyxyyxxyyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例

4、如),(yxfxxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yxy0y0y ylimlimy y 1 1 xyxyf (0,0)f (0,0) 首頁(yè)首頁(yè)則則連續(xù)連續(xù)都在點(diǎn)都在點(diǎn)和和若若,),()()(00yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 定理定理17.7例如例如 對(duì)三元函數(shù)對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說(shuō)明說(shuō)明 本定理對(duì)本定理對(duì) n 元函數(shù)

5、的高階混合偏導(dǎo)數(shù)也成立元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), 有有而初等而初等今后除特別指出外，都假設(shè)相應(yīng)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，今后除特別指出外，都假設(shè)相應(yīng)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)從而混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān).首頁(yè)首頁(yè)例例6 證明函數(shù)

6、證明函數(shù) 222,1zyxrru0222222zuyuxu證證 xu利用對(duì)稱(chēng)性 , 有222222zuyuxu滿(mǎn)足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯方程方程xrrxrrdud 21321rxrxr 31rxrrx4352223)(33rzyxr02222235235u13 yu13 y, ,yrryrr 2222235235u13 zu13 zzrrzrr 2 2353513 x13 xrrrr 2 22 2u ux x u u首頁(yè)首頁(yè)注意注意 多元抽象復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)在偏微分多元抽象復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列幾個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)

7、題的求導(dǎo)技巧下列幾個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).首頁(yè)首頁(yè)解解由由復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式),(vufz 于于是是xvvfxuufxz 1fxz 得得),(1),(21yxxfyyxxf 1 2f y1 ,yxvxu 設(shè)設(shè)首頁(yè)首頁(yè).),(3222yxzxzyxxfz ，求，求設(shè)設(shè)例例),(1(),(2122yxxfyxyxxfxxz uf 1 111f11f xu vf 1xv (1y )22xvvfxuuf 1(121 fy122fy 2221fy yxvxu ,yf112 )122yf 121212121111( ,)( ,)( ,)( ,) zx

8、xzxxfff xf xfff xf xxyyyyxyyyy首頁(yè)首頁(yè)),(1(),(212yxxfyyyxxfyyxz yvvfyuuf 1111f )1(yy )(1y 0 12f 2yx 221yf (1y 222231221fyfyxfyx 21f0 22f )2yx yxvxu , 2fyvvfyuuf 22首頁(yè)首頁(yè)),(1zyxzyxf 例例 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.2zxw 解解 ,zyxvzyxu xw ),(vufw 1f 2f ),(2zyxzyxfzy )()(212fzyzfzzxw 11f 11f 12f y zy 121 fyxf 2

9、212)(fzxy 222fzyx 2fy 1 zy 1 yx 2f首頁(yè)首頁(yè)二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式10 dyxpyxp ),(),(222111 凸區(qū)域凸區(qū)域 若區(qū)域若區(qū)域 d d 上任意兩點(diǎn)的連線都含上任意兩點(diǎn)的連線都含于于 d d若若 d d 為區(qū)域，則對(duì)任何為區(qū)域，則對(duì)任何 恒有恒有dyyyxxxp )(),(,(121121 凸凸區(qū)區(qū)域域非非凸凸區(qū)區(qū)域域1p2p 內(nèi)，則稱(chēng)內(nèi)，則稱(chēng) d 為凸區(qū)域?yàn)橥箙^(qū)域. 1p2p首頁(yè)首頁(yè)17.817.8定定理理（中中值值定定理理）內(nèi)內(nèi)任任意意二二點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)可可微微，則則對(duì)對(duì)連連續(xù)續(xù)，在在ddint，存存在在某某，)10(int),(

10、),( dkbhaqbap使使得得kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),( ),(bap),(kbhaq ),(kbha 一元函數(shù)中值定理回顧一元函數(shù)中值定理回顧上上在凸開(kāi)域在凸開(kāi)域設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)df首頁(yè)首頁(yè)),()(tkbthaft 證證令令由定理的條件知由定理的條件知 (t) 在在 0, 1 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ( 0, 1 ) 內(nèi)可微內(nèi)可微. )()0()1( 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則kkbhafhkbhafyx),(),()( )0()1(),(),( bafkbhaf于是于是由于由于 d 為凸區(qū)域，所以為凸區(qū)域，所以dkbha ),

11、( 從而有從而有),(),(bafkbhaf pq 于是根據(jù)一元函數(shù)中值定理，于是根據(jù)一元函數(shù)中值定理，存在存在 使得使得kkbhafhkbhafyx),(),( 首頁(yè)首頁(yè).0上上為為常常值值函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域，則則函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)存存在在偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)推推論論dfffdfyx b a 首頁(yè)首頁(yè)二二、二元函數(shù)的泰勒公式、二元函數(shù)的泰勒公式),(),(),(000000yxfykxhyxfhyhxf )(0punnryxfykxhnyxfykxh ),(!1),(! 2100002)10(),()!1(1001 kyhxfykxhnrnn一元函數(shù)泰勒公式回顧一元函數(shù)泰勒

12、公式回顧首頁(yè)首頁(yè)其中其中),()(00yxfykxh ),()(002yxfykxh ),()(00yxfykxhm),(),(0000yxyfkyxxfh 表示表示),(),(2),(0022200200222yxyfkyxyxfkhyxxfh 一般地, 表示表示).,(000yxyxfkhimimimimiimc 首頁(yè)首頁(yè)),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 這正是二元函數(shù)的拉格朗日中值公式這正是二元函數(shù)的拉格朗日中值公式. . rn 稱(chēng)為其拉格稱(chēng)為其拉格朗日型余項(xiàng)朗日型余項(xiàng) .首頁(yè)首頁(yè)證證 令其中其中 ),() 1 (, ),()0(000

13、0kyhxfyxf由定理的假設(shè)，由定理的假設(shè)， 在在 0, 1 在滿(mǎn)足在滿(mǎn)足一元函數(shù)泰一元函數(shù)泰勒定理?xiàng)l件，于是有勒定理?xiàng)l件，于是有)(t) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10()0()0()0()0()(!1!21nn 下面計(jì)算下面計(jì)算 , 2, 1),0()( nn 0000(t)f(xth,ytk) (0t1),(t)f(xth,ytk) (0t1),首頁(yè)首頁(yè)利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: : ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx2 2xx00 xx00(t)h f (xht, ykt)(t)h f (xht, yk

14、t) ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy0000(t)f(xth,ytk) (0t1),(t)f(xth,ytk) (0t1),0000 xyxy(0)(hk)f(x , y )(0)(hk)f(x , y ) 2 20000 xyxy(0)(hk) f(x , y )(0)(hk) f(x , y ) 首頁(yè)首頁(yè)),(c)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地一般地, ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn將上述導(dǎo)數(shù)代入公式：將上述導(dǎo)數(shù)代入公式： )0()0()0()0()(!1!21nn 即得二元函數(shù)泰勒公式即得二元函

15、數(shù)泰勒公式. (m)m(m)m0000 xyxy(0)(hk) f(x , y )(0)(hk) f(x , y ) 首頁(yè)首頁(yè))(nnor 若在泰勒公式中只要求余項(xiàng)若在泰勒公式中只要求余項(xiàng) )(0pu)(),(!1),(),(1000000nnppoyxfykxhpyxfhyhxf 首頁(yè)首頁(yè))0 , 0()0 , 0(),(fyyxxfyxf )10( )0 , 0(!1)0 , 0(! 212fyyxxnfyyxxn ),()!1(11yxfyyxxnn 首頁(yè)首頁(yè) 在泰勒公式中在泰勒公式中 , ,如果取如果取0, 000 yx, ,則則稱(chēng)為稱(chēng)為n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. . 解解,ln

16、),(xxyxfyy ,)1(),(2 yxxxyyyxf,ln),(11xyxxyxfyyxy ,)(ln),(2xxyxfyyy 帶入型余項(xiàng)的泰勒公式中：帶入型余項(xiàng)的泰勒公式中：, 4)4 , 1(,),(1 xyxfyxyxf, 0)4 , 1( yf,12)4 , 1( xxf, 1)4 , 1( xyf, 0)4 , 1( yyf首頁(yè)首頁(yè)( () ).08. 141),(496. 3它計(jì)算它計(jì)算（到二階為止），并用（到二階為止），并用）的泰勒公式）的泰勒公式，在點(diǎn)（在點(diǎn)（求求例例yxyxf ),(),(00yxfyxfxy )(),()()(!12210000 oyxfyyyxxxp

17、pp ),()(),()(),(00000000yxfyyyxfxxyxfyx ),()(2),()(!2100000020yxfyyxxyxfxxxyxx )(),()(20020 oyxfyyyy 1)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxx )1(4 x)()4)(1(2)1(122122 oyxx 首頁(yè)首頁(yè))()4)(1()1(6)1(4122 oyxxxxy )4)(1()1(6)1(41)08. 1(296. 3 yxxxxy即即令令 x = 1.08 , y = 3.96 , 則有則有x -1= 0.08 , y -1= -0.04 , 1 08. 04208. 06 0

18、4. 008. 0 3552. 1 把這個(gè)值與前面用全微分近似公式計(jì)算的結(jié)果相比把這個(gè)值與前面用全微分近似公式計(jì)算的結(jié)果相比較，這個(gè)結(jié)果更接近于真值較，這個(gè)結(jié)果更接近于真值 1.356307 .首頁(yè)首頁(yè)三三 極值問(wèn)題極值問(wèn)題定義定義 若函數(shù)若函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值則稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值極小值).極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).)()(0pfpf )()(0pfpf 或),(000yxpf 在點(diǎn)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有 注意：函數(shù)的極值點(diǎn)只可能是定義域的內(nèi)點(diǎn)注意：函數(shù)的極值點(diǎn)只可能是定義域的內(nèi)點(diǎn).首頁(yè)

19、首頁(yè)xyz例如例如 在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.2243yxz22yxz yxz xyzxyz首頁(yè)首頁(yè)若若例如例如,定理定理17.10 (必要條件必要條件) 函數(shù)函數(shù)存在存在偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證取得極值 ,取得極值，取得極值，取得極值，取得極值， 穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值且在該點(diǎn)取得極值 , 則有則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 則稱(chēng)則

20、稱(chēng) ( x0 , y0 ) 為為 f 的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn) . 所以所以所以所以x00y00 x00y00f(x ,y )0 , f(x ,y )0f(x ,y )0 , f(x ,y )0 x00 x00f(x ,y )0 ,f(x ,y )0 , y00y00f(x ,y )0 .f(x ,y )0 . x00y00 x00y00f(x ,y )0 , f(x ,y )0f(x ,y )0 , f(x ,y )0首頁(yè)首頁(yè)在原點(diǎn)在原點(diǎn) (0,0) (0,0) 沒(méi)有偏導(dǎo)數(shù)，但它在原點(diǎn)有極小沒(méi)有偏導(dǎo)數(shù)，但它在原點(diǎn)有極小值值; ;22yxz 所以，函數(shù)的極值只可能在穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)所以，函數(shù)

21、的極值只可能在穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得不存在的點(diǎn)取得. .首頁(yè)首頁(yè)時(shí)時(shí), 具有極值具有極值 定理定理17.11 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令則則: 1) 當(dāng)當(dāng)a0 時(shí)取極小值時(shí)取極小值.2) 當(dāng)當(dāng) 3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 沒(méi)有極值沒(méi)有極值.時(shí)時(shí), 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx),(00yx在點(diǎn)在點(diǎn)且且2 2a ac c b b0 0 2 2acb0acb02 2acb0acb0首頁(yè)首頁(yè)證證 由

22、二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)由于yxyxf所以akyhxfxx),(00bkyhxfyx),(00ckyhxfyy),(00首頁(yè)首頁(yè)其中其中 , , 是當(dāng)h 0 , k 0 時(shí)的無(wú)窮小量 ,于是z)(22kh ,很小時(shí)因此當(dāng)kh(1) 當(dāng) acb2 0 時(shí), 必有 a0 , 且 a 與c 同號(hào), )()2(),(222221kbackbkhbahakhqa)()(2221kbackbh

23、aa可見(jiàn) ,0),(,0khqa時(shí)當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點(diǎn)yx)(2o22221kkhh22221 12 2ah2bhkck ah2bhkck 1 12 2q(h,k)q(h,k) 的正負(fù)號(hào)可由 確定。z z q(h ,k)q(h ,k)首頁(yè)首頁(yè),0),(,0khqa時(shí)當(dāng)從而 z0,在點(diǎn)因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) acb2 0 時(shí), 若a , c不全為零, 無(wú)妨設(shè) a0, 則 )(),(221kkbhakhqa),(0)()(),(0000yxyybxxayx接近沿直線當(dāng)時(shí), 有,0kbhaakhq與故),(異號(hào);),(yx當(dāng),),(00

24、00時(shí)接近沿直線yxyy,0k有akhq與故),(同號(hào).可見(jiàn) z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無(wú)極值yxxy),(00yxo2 2(acb )(acb ) 首頁(yè)首頁(yè)+xy),(00yxo若 ac 0 , 則必有 b0 ,不妨設(shè) b0 , 此時(shí) 222),(kckhbhakhq),(00kyhx對(duì)點(diǎn),同號(hào)時(shí)當(dāng)kh,0),(khq,異號(hào)時(shí)當(dāng)kh,0),(khq可見(jiàn) z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無(wú)極值yxkhb2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)acb2 0 時(shí), 若 a0, 則21)(),(kbhakhqa若

25、a0 , 則 b0 ,2),(kckhq可能),(khq為零或非零首頁(yè)首頁(yè)此時(shí)因此 ,)(,0),(2確定的正負(fù)號(hào)由時(shí)因?yàn)閛zkhq不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點(diǎn) . 2 21 12 2zq(h,k)o()zq(h,k)o()首頁(yè)首頁(yè), 0),( yxfx0),( yxfy并求出偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)并求出偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值：求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值：),(00yxfaxx ),(00yxfbxy ),(00yxfcyy 首頁(yè)首頁(yè)例例求函數(shù)求函數(shù)解解 第一步第一步 求穩(wěn)定點(diǎn)求穩(wěn)定點(diǎn)得穩(wěn)定點(diǎn)得穩(wěn)定點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步

26、第二步 判別判別. 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù) ,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12)0 , 1( xxfa5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(2233,0)0 , 1( xyfb. 6)0 , 1( yyfc 2bac 2)0 , 1()0 , 1()0 , 1(xyyyxxfff. 0612 故故 f 在在( 1, 0 ) 有有極值極值, , 又因又因首頁(yè)首頁(yè)在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2)

27、處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c)0,3( f6,0,12cba31)2,3( f在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12cba)2, 1 (f故故 f 在在( -3, 2 ) 有有極值極值, ,又因又因2 2acb12( 6)0 ,acb12( 6)0 , 2 2acb1260 ,acb1260 , 2 2acb12( 6)0 ,acb12( 6)0 , a0 ,a0 , 首頁(yè)首頁(yè)例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 及及在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0,0 ) 是否取得極值是否取得極值.解解 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,在在(

28、0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此因此 (0,0) 不是不是因此因此,022時(shí)當(dāng) yx為極小值為極小值. .正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 bac33yxz可能為可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).33yxz222222z(xy )z(xy )(0,0)(0,0)z0z0首頁(yè)首頁(yè)例例8 8 求 在原點(diǎn)是否有極值。 2222f(x,y)(yx )(y2x )f(x,y)(yx )(y2x )2222f(x,y)x5y6x10y6.f(x,y)x5y6x10y6. 例 例 求求 的的極極值值6 62 2f(x

29、,y)xxy.f(x,y)xxy.7 7求求是是否否有有極極值值例例首頁(yè)首頁(yè)最大值最小值（簡(jiǎn)稱(chēng)最值）問(wèn)題最大值最小值（簡(jiǎn)稱(chēng)最值）問(wèn)題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 穩(wěn)定點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)且只有一個(gè)極值點(diǎn)p 時(shí)時(shí), )(pf為極小為極小 值值)(pf為最小為最小 值值( (大大) ) ( (大大) ) 依據(jù)依據(jù)首頁(yè)首頁(yè)例例解解 設(shè)水箱長(zhǎng)設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為寬分別為 x , y 米米 ,則高為則高為則

30、水箱所用材料的面積為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2 米米3 的有蓋的有蓋根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,長(zhǎng)方體水箱，長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸(2ayxyxy2)yxx2()yxyx22200yx0)(222xxya0)(222yyxa因此可因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為高為時(shí)時(shí), 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.時(shí)時(shí),才能使用料最省才能使用料最省?米米 ,2 2xyxy3333(2 ,2 )

31、(2 ,2 )3 32 233333 32 222222 2 首頁(yè)首頁(yè)例例 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 ,把它折起來(lái)做成解解 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 , acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xd為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面首頁(yè)首頁(yè)cos24xcos22x0)sin(cos222x令xasin24sin4x0cossin2xa解得:由題意知,最大值在定義域d 內(nèi)達(dá)到,而在域d 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 x0cos212xx0)s

32、in(coscos2cos2422xx(cm)8,603x2222a24x sin2x sinx cossina24x sin2x sinx cossin 2 2( d : 0 x12 , 0)( d : 0 x12 , 0) 首頁(yè)首頁(yè)問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出: 已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系求它們的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解決兩個(gè)問(wèn)題需要解決兩個(gè)問(wèn)題: 1. 確定近似函數(shù)的類(lèi)型確定近似函數(shù)的類(lèi)型 根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) )(iixfy 實(shí)驗(yàn)

33、數(shù)據(jù)有誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差, ,不能要求不能要求), 1n最小二乘法最小二乘法 首頁(yè)首頁(yè)oyx 偏差偏差)(iiixfyr有正有負(fù)有正有負(fù), 值都較小且便于計(jì)算值都較小且便于計(jì)算, 可由偏差平方和最小可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy為使所有偏差的絕對(duì)為使所有偏差的絕對(duì)來(lái)確定近似函數(shù)來(lái)確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上分布在某條曲線上, 通過(guò)偏差平方和最小求該曲線的方通過(guò)偏差平方和最小求該曲線的方法稱(chēng)為最小二乘法法稱(chēng)為最小二乘法, 找出的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式找出的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式 . ), 1 ,0(),(

34、nkyxkk, 它們大體它們大體 首頁(yè)首頁(yè)特別特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí)當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問(wèn)題為確定問(wèn)題為確定 a, b 令),(bamam0)(20kknkkxbxaybm0)(20bxayknkk滿(mǎn)足滿(mǎn)足:使oyx得()axnkk02nkkkyx0bn) 1( nkky0解此線性方程組解此線性方程組 即得即得 a, byaxbyaxbn n2 2kkkkk0k0(yaxb)min(yaxb)min ( () )n nk kk0k0 xbxb ( () )n nk kk0k0 xaxa 首頁(yè)首頁(yè)例例為了測(cè)定刀具的磨損速度, 每隔 1 小時(shí)測(cè)一次刀具的厚度, 得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式. 解解 通過(guò)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為oyt27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.