第四節(jié)無窮小量的比較

1、第一章函數(shù)極限連續(xù)第一章函數(shù)極限連續(xù)第四節(jié)無窮小量的比較第四節(jié)無窮小量的比較定義定義設(shè)設(shè) ( x ) 和和 b b ( ( x ) 為為( ( x x0 或或 x ) ) 兩兩個無窮小量個無窮小量. 若它們的比有非零極限若它們的比有非零極限，cxx )()(limb b ， )0( c 若若 c = 1，則稱則稱 ( x ) 和和 b b ( (x ) 為等價無窮小量為等價無窮小量，則稱則稱 (x ) 和和 b b ( (x ) 為同階無窮小為同階無窮小. 并記為并記為 ( x ) b b ( ( x )，( ( x x0 或或 x ) ) .即即例如，在例如，在 x 0 時時 sin x 和

2、和 5 x 都是無窮小量，都是無窮小量，且且.515sinlim0 xxx所以當所以當 x 0 時，時，sin x 和和 5 x 是同階無窮小量是同階無窮小量.又如，因為在又如，因為在 x 0 時，時， x ，sin x，tan x， 1 - - cos x，ln(1 + + x) 等都是無窮小量等都是無窮小量., 1sinlim0 xxx, 1tanlim0 xxx, 121cos1lim20 xxx. 1)1ln(lim0 xxx所以，當所以，當 x 0 時，時， x 與與 sin x， x 與與 tan x，都是等價無窮小量，都是等價無窮小量，),cos1(212xx 與與x sin x

3、，x tan x，ln(1 + x) x.,2cos12xx 即即x 與與 ln(1 + x )并且并且定義定義設(shè)設(shè) ( x ) 和和 b b ( (x ) 為為 x x0 ( (或或 x ) ) 時的無窮小量時的無窮小量，0)()(lim xxb b 則稱當則稱當 x x0 ( (或或 x ) )時時， ( x ) 是是 b b ( ( x ) 的的高高階無窮小量階無窮小量，例如，例如， x2, sin x 都是都是 x 0 時的無窮小量時的無窮小量, 且且， 0sinlim20 xxx所以，當所以，當 x 0 時，時， x2 是是 sin x 的高階無窮小量，的高階無窮小量，即即 x2 =

4、 o(sin x). 或稱或稱 b b ( ( x ) 是是 ( x ) 的的低階無窮小低階無窮小量量，記為記為 ( x ) = o (b b ( ( x ) .若它們的比的極限為零若它們的比的極限為零，即即 定理定理 1設(shè)設(shè) ( x ) 1 1( ( x )，b b ( x ) b b1 1( ( x )，)()(lim)()(lim11xxxxb b b b . )()(lim xxb b 或或)()(lim11xxb b 且且存在存在( (或無窮大量或無窮大量) )，)()(lim xxb b 則則也存在或也存在或( (無窮大量無窮大量) )，并且并且，和和1)()(lim 1)()(l

5、im11 xxxxb bb b 證證 由定理條件可知由定理條件可知因此有因此有 )()()()()()(lim)()(lim1111xxxxxxxxb bb bb b b b )()(lim)()(lim)()(lim1111xxxxxxb bb bb b .)()(lim11xxb b ，那么考慮，那么考慮若若0)()(lim )()(lim1111 xxxx b bb b 即可仿上面的證法即可仿上面的證法 .1e)1ln(lim0 xxx計算計算例例 1解解因為因為 x 0 時，時，ln (1 + x) x， ex - - 1 x，所以所以.1lim1e)1ln(lim00 xxxxxx.35tanlim0 xxx計算計算例例 2解解因為因為 x 0 時，時，tan 5x 5x，所以所以.3535lim35tanlim00 xxxxxx.sinsintanlim 30 xxxx 計算計算例例 4解解.sincoscos1sinlimsinsintanlim3030 xxxxxxxxx xxxxx200sincos1limcos1lim .2121lim1220 xxx若直接用若直接用 x 代替代替 tanx 及及 sinx，. 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxx因為，雖然因為，雖然 tan