概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版 第七章 第七章3講2

1、第四節(jié) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 .求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟:1. 明確問題明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 尋找參數(shù)尋找參

2、數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)t (x1,x2,xn) 稱稱s(t, )為為樞軸量樞軸量. 3. 尋找一個(gè)待估參數(shù)尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量t的函數(shù)的函數(shù) s(t, ),且其分布為已知且其分布為已知. 4. 對于給定的置信水平對于給定的置信水平 ，根據(jù)，根據(jù)s(t, )的分布，確定常數(shù)的分布，確定常數(shù)a, b，使得，使得 1 1 p(a s(t, )b)= 5. 對對“as(t, )b”作等價(jià)變形作等價(jià)變形,得到如下得到如下形式形式: 121p,21 1 則則 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋

3、找一個(gè)待估參數(shù)一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量t 的函數(shù)的函數(shù)s(t, ), 且且s(t, )的分布為已知的分布為已知, 不依賴于任何未知不依賴于任何未知參數(shù)參數(shù) (這樣我們才能確定一個(gè)大概率區(qū)間這樣我們才能確定一個(gè)大概率區(qū)間).而這與總體分布有關(guān)，所以，而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要. 這里，我們主要討論總體分布為這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)正態(tài)的情形的情形. 若樣本容量很大，即使總體分布若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可

4、以近似求得參數(shù)的區(qū)間似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì)估計(jì).主要討論以下幾種情形：主要討論以下幾種情形：單個(gè)正態(tài)總體均值單個(gè)正態(tài)總體均值 和方差和方差 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). 2 兩個(gè)正態(tài)總體均值差兩個(gè)正態(tài)總體均值差 和方差比和方差比 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì).21 2221 書末附有書末附有 分布、分布、t 分布、分布、f分布的上側(cè)分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用分位數(shù)表，供使用. 需要注意的事項(xiàng)在教需要注意的事項(xiàng)在教材上有說明材上有說明.2 至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對分布函數(shù)定義熟悉的求得分位數(shù)，若你對分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問題不難解

5、決話，這個(gè)問題不難解決.在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù)在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù).,),( , ,12221本方差本方差分別是樣本均值和樣分別是樣本均值和樣的樣本的樣本總體總體為為并設(shè)并設(shè)設(shè)給定置信水平為設(shè)給定置信水平為sxnxxxn 一、單個(gè)總體 的情況 ,)1(2為已知為已知 由例由例1可知可知: 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .2/ znx 的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 1. 包糖機(jī)某日開工包了包糖機(jī)某日開工包了1212包糖包糖, ,稱得質(zhì)量稱得質(zhì)量( (單單位位: :克克) )分別為分別為506,500,495,488,504,486,505,506,5

6、00,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假設(shè)重量服從正態(tài)分布假設(shè)重量服從正態(tài)分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x計(jì)算得計(jì)算得,10. 0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 05. 02/ zz 查表得查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分別取分別取置信區(qū)間置信區(qū)間的的試求糖包的平均質(zhì)量試求糖包的平均質(zhì)量且標(biāo)準(zhǔn)差為且標(biāo)準(zhǔn)差為.新建文件夾新建文件夾42-1.ppt42-1.ppt2-12-1,95. 021 ,645. 1例例2 2/ znx645. 1121092.502 ,67.507 2/ zn

7、x645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為即即 ).67.507,17.498(,05. 0)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,975. 021 025. 02/zz 95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為同理可得同理可得 ).58.508,26.497(.,1 ;,1 ,置信區(qū)間也較小置信區(qū)間也較小較小時(shí)較小時(shí)當(dāng)置信度當(dāng)置信度置信區(qū)間也較大置信區(qū)間也較大較大時(shí)較大時(shí)當(dāng)置信度當(dāng)置信度從此例可以看出從此例可以看出 附表附表2-22-2,96. 1查表得查表得 ,)2(2為未知為未知 , , 2/直接使用此區(qū)間直接使用此區(qū)間不能不能中含有未知

8、參數(shù)中含有未知參數(shù)由于區(qū)間由于區(qū)間 znx , , 222 替換替換可用可用的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是但因?yàn)榈驗(yàn)閟ss 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 .)1(2/ ntnsx 推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下:,1)1()1( 2/2/ ntnsxntnsxp即即 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得于是得 .)1(2/ ntnsx ),1(/ ntnsx 又根據(jù)第六章定理三知又根據(jù)第六章定理三知 ,1)1(/)1( 2/2/ ntnsxntp則則解解 有一大批糖果有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋袋, 稱得重稱得重量量(克克)如下如下: 496509502

9、506496493505514512497510504503499508506設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值試求總體均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx計(jì)算得計(jì)算得 . 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 附表附表3-13-1,1315. 2例例3 5%9 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為得得 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(即即就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在

10、500.4克與克與507.1克之間克之間, 這個(gè)估計(jì)的可信程度為這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其誤差不大于其誤差不大于 , 的近似值的近似值為為若依此區(qū)間內(nèi)任一值作若依此區(qū)間內(nèi)任一值作 這個(gè)誤差的可信度為這個(gè)誤差的可信度為95%.推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: , 22的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是因?yàn)橐驗(yàn)?s),1()1(222 nsn 根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nsnnsn . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據(jù)

11、實(shí)際需要根據(jù)實(shí)際需要 . 22的置信區(qū)間方差 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nsnnp則則 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nsnnsnp即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nsnnsn 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 .)1(1,)1(122/122/ nsnnsn 進(jìn)一步可得進(jìn)一步可得:注意注意: 在密度函數(shù)不對稱時(shí)在密度函數(shù)不對稱時(shí), , 2分布分布分布和分布和如如f 習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間確定置信

12、區(qū)間(如圖如圖). (續(xù)例續(xù)例2) 求例求例2 2中總體標(biāo)準(zhǔn)差中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s計(jì)算得計(jì)算得 )15(2975. 0 代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間).60. 9,58. 4(附表附表4-14-1 ,488.27,262. 6附表附表4-24-2例例4 需要指出的是，給定樣本，給定置信水需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，平，置信區(qū)間也置信區(qū)間也不是唯一不是唯一的的. .對同

13、一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間對同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. .n(0, 1)nxu 取樞軸量取樞軸量由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對任意由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對任意a、b，我們可我們可以求得以求得p( aub) .,2已知 例如，設(shè)例如，設(shè)x1,xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ),(2 n求參數(shù)求參數(shù) 的置信水平為的置信水平為 的的 1置信區(qū)間置信區(qū)間.n(0, 1)nxu 例如，由例如，由p(-1.96u1.96)=0.95)(ufu96. 196. 195. 0我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為 1的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為96. 1,96. 1nxnx 由由 p(-1

14、.75u2.33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長一些這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長一些. .置信區(qū)間為置信區(qū)間為33. 2,75. 1nxnx 我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為 1的的)(ufu33. 275. 1我們總是希望置信區(qū)間盡可能短我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. .類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間區(qū)間. . 任意兩個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)a和和b，只要它們的縱標(biāo)包含，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下下95%的面積，就確定一個(gè)的面積，就確定一個(gè)95%的置信的置信區(qū)間區(qū)間. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.在概率密度為單峰且對

15、稱的情形，當(dāng)在概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短求得的置信區(qū)間的長度為最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.a =-b 即使在概率密度不對稱的情形，如即使在概率密度不對稱的情形，如 分布分布，f分布分布，習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來，習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間. .2 我們可以得到未知參數(shù)的的任何我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水置信水平小于平小于1的的置信區(qū)間，并且置信區(qū)間，并且置信水平越高，置信水平越高，相應(yīng)的相應(yīng)的置信區(qū)間置信區(qū)間平均長度平均長度越長越長. .)(22n)(221n)(xfx

16、)(2nx 也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長度就長，估計(jì)的精度就差度高，區(qū)間長度就長，估計(jì)的精度就差. .這是一對矛盾這是一對矛盾. . 實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些盡量使得區(qū)間的長度短一些 .休息片刻繼續(xù)休息片刻繼續(xù)二、兩個(gè)總體 的情況., , ,),(,),( , ,122212222121121的樣本方差的樣本方差分別是第一、二個(gè)總體分別是第一、二個(gè)總體總體的樣本均值總體的樣本均值分別是第一、二個(gè)分別是第一、二個(gè)的樣本的樣本個(gè)總體個(gè)總體為第二為第二的樣本的樣本第一個(gè)總體第一個(gè)總體為為并

17、設(shè)并設(shè)設(shè)給定置信度為設(shè)給定置信度為ssyxnyyynxxxnn 討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.均為已知均為已知和和2221)1( 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .2221212/ nnzyx , , , 21的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)分別是分別是因?yàn)橐驗(yàn)?yx推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: , 21的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是所以所以 yx 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 1. , 的獨(dú)立性及的獨(dú)立性及由由yx,1211 nnx ,2222 nny , 22212121 nnnyx 可知可知 ,1, 0 22212

18、121nnnyx 或或 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 .2221212/ nnzyx ,)2(2221均為未知均為未知和和 ),50(21則有則有即可即可實(shí)用上實(shí)用上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .2221212/ nsnszyx , ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .11)2(21212/ nnsnntyxw .,2)1()1( 2212222112wwwssnnsnsns 其中其中例例5為比較為比較, 兩種型號步槍子彈的

19、槍口速度兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取隨機(jī)地取型子彈型子彈10發(fā)發(fā), 得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)地取隨機(jī)地取型子彈型子彈20發(fā)發(fā), 得槍口速度平均值為得槍口速度平均值為),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等相等, 求兩總體均值差求兩總體均值差 .950 21的置的置的置信度為的置信度為 信區(qū)間信區(qū)間.解解 由題意由題意, 兩總體樣本獨(dú)立且方差

20、相等兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知但未知), 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt,0484. 2)28(025. 0 t,2820. 11910. 19 222 ws,1688. 12 wwss .950 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 201101)28(025. 021tsxxw),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即所求置信區(qū)間為即所求置信區(qū)間為 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .

21、)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnfssnnfss推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: ),1()1( 1221211 nsn 由于由于 ),1()1(2222222 nsn 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 2. , )1( )1( 2222221211相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與且由假設(shè)知且由假設(shè)知 snsn 根據(jù)根據(jù)f分布的定義分布的定義, 知知 ),1, 1(2122222121 nnfss 22222121 ss即即 )1()1()1()1(222222121211 nsnnsn ),1, 1(21 nnf,1 )1, 1()1, 1(212

22、/22222121212/1 nnfssnnfp ,1)1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221 nnfssnnfssp 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnfssnnfss 解解,181 n,132 n例例6 研究由機(jī)器研究由機(jī)器 a 和機(jī)器和機(jī)器 b 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑, 隨隨機(jī)抽取機(jī)器機(jī)抽取機(jī)器 a 生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 18 只只, 測得樣本方差為測得樣本方差為均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度為的置信度為區(qū)間區(qū)間

23、.設(shè)兩樣本相互獨(dú)設(shè)兩樣本相互獨(dú));mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取機(jī)器抽取機(jī)器b生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 13 只只, 測測得樣本方差為得樣本方差為立立,且設(shè)由機(jī)器且設(shè)由機(jī)器 a 和機(jī)器和機(jī)器 b 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布從正態(tài)分布),(),(222211 nn)2 , 1(,2 iii 2221 信信,10. 0 ),mm(34. 0 221 s),mm(29. 0 222 s,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ fnnf )12,17()12,17(95. 02/1ff ,38. 21)17,12(105. 0 f

24、.900 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 解解, 91 n, 62 n,02. 0 例例7甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件, 在機(jī)床甲在機(jī)床甲加工的零件中抽取加工的零件中抽取9個(gè)樣品個(gè)樣品, 在機(jī)床乙加工的零件在機(jī)床乙加工的零件信區(qū)間信區(qū)間. 假定測量值都服從正態(tài)分布假定測量值都服從正態(tài)分布, 方差分別為方差分別為的置的置在置信度在置信度,245. 0 21 s,357. 0 22 s由所給數(shù)據(jù)算得由所給數(shù)據(jù)算得0.98下下, 試求這兩臺(tái)機(jī)床

25、加工精度之比試求這兩臺(tái)機(jī)床加工精度之比.,2221 21 中抽取中抽取6個(gè)樣品個(gè)樣品,并分別測得它們的長度并分別測得它們的長度(單位單位:mm), 3 .10)5, 8()1, 1(99. 0212/1 fnnf )5, 8()5, 8(01. 02/ff ,63. 61)8, 5(199. 0 f .980 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 )1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnfssnnfss 357. 063. 6245. 0,3 .10357. 0245. 0 .133. 2,258. 0 一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間一

26、個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限 2 已知已知2 未知未知2 已已知知 未知未知 nx/ nsx/ niix1221 niixx1221 10，n 1 nt n2 12 n nzx 2 nsntx 12 nxnxniinii211221222 11211221222 nxxnxxniinii 兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）待估參數(shù)待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限21 均已知均已知、222 但

27、未知但未知2221 nmyx222121 nmsyxw1121 10，n 2 nmt nmzyx22212 nmsnmtyxw1122 21122212 nmsnsmsw其中其中兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）待估待估參數(shù)參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布的分布 雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限2221 njjmiiymxn1222212121/ nmf， ， njjmiiymxnnmf12212121 均已知均已知、21 均未知均未知、21 njjmiiymxnnmf122121121 ，22222121 ss），11( nmf ，

28、22211112ssnmf 222111112ssnmf ， 三、單側(cè)置信區(qū)間三、單側(cè)置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在對于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限一個(gè)方向的界限. 例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了壽命過長沒什么問題，過短就有問題了. 這時(shí)，可將置信上限取這時(shí)，可將置信上限取為為+，而只著眼于置信下，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置

29、信限的定義：于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義： 11p),(2111nxxx 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本x1,x2,xn確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間. ),1 11 稱為單側(cè)置信下限稱為單側(cè)置信下限.),(2122nxxx 又若統(tǒng)計(jì)量又若統(tǒng)計(jì)量 滿足滿足 12p2 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間. ,(2 1 稱為單側(cè)置信上限稱為單側(cè)置信上限.單個(gè)單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間 ,

30、 )( , 2均為未知均為未知方差是方差是的均值是的均值是設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體 x , , 21是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本nxxx),1(/ ntnsx 由由,1)1(/ ntnsxp有有,1)1( ntnsxp即即,),1( ntnsx 1 的置信下限的置信下限的置信水平為的置信水平為 ).1( ntnsx ),1()1( 222 nsn 又根據(jù)又根據(jù),1)1()1( 2122 nsnp有有 1的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得 12的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得 ,)1()1(, 0212 nsn 12的單側(cè)置信上限

31、的單側(cè)置信上限的置信水平為的置信水平為 .)1()1(2122 nsn ,1)1()1( 2122 nsnp即即設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均求燈泡壽命均值值 的置信水平為的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限. 例例8從一批燈泡中隨機(jī)抽取從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試只作壽命試驗(yàn)，測得壽命驗(yàn)，測得壽命x（單位：小時(shí)）如下：（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnsx 由于方差由于方差 未知，取樞軸量未知，取樞軸量2 解：解： 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 x 對給定的置信水平對給定的置信水平 ，確定分位數(shù)