北師大版高三數(shù)學(xué)理復(fù)習(xí)學(xué)案：學(xué)案34 一元二次不等式及其解法含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5學(xué)案34一元二次不等式及其解法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計(jì)求解的程序框圖自主梳理1一元二次不等式的定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是_的不等式叫一元二次不等式2二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關(guān)系判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,2(x1<x2)有兩相等實(shí)根

2、x1x2_沒有實(shí)根一元二次不等式ax2bxc>0的解集a>0x|x<x1，或x>x2x|x_a<0x|x1<x<x2_自我檢測1(20xx·廣州模擬)已知p：關(guān)于x的不等式x22axa>0的解集是r，q：1<a<0，則p是q的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件2設(shè)函數(shù)f(x) 則不等式f(x)>f(1)的解集是()a(3,1)(3，) b(3,1)(2，)c(1,1)(3，) d(，3)(1,3)3已知不等式x22x3<0的解集為a，不等式x2x6<0的解集是b，不等式

3、x2axb<0的解集是ab，那么ab等于()a3 b1 c1 d34(20xx·廈門月考)已知f(x)ax2xc>0的解集為(3,2)，則yf(x)的圖象是()5當(dāng)x(1,2)時，不等式x2mx4<0恒成立，則m的取值范圍為_.探究點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)x22x>0；(2)9x26x10.變式遷移1解下列不等式：(1)2x24x3<0；(2)3x22x80；(3)8x116x2.探究點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2已知常數(shù)ar，解關(guān)于x的不等式ax22xa<0.變式遷移2解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0.探

4、究點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題例3(20xx·巢湖月考)已知f(x)x22ax2 (ar)，當(dāng)x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍變式遷移3(1)關(guān)于x的不等式<2對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(2)若不等式x2px>4xp3對一切0p4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)已知不等式ax2bxc>0的解集為(，)，且0<<，求不等式cx2bxa<0的解集【答題模板】解由已知不等式的解集為(，)可得a<0，為方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得4分a<0，由得c<0，5分則cx2bx

5、a<0可化為x2x>0.6分÷，得<0，由得·>0，、為方程x2x0的兩根10分0<<，不等式cx2bxa<0的解集為x|x<或x>12分【突破思維障礙】由ax2bxc>0的解集是一個開區(qū)間，結(jié)合不等式對應(yīng)的函數(shù)圖象知a<0，要求cx2bxa<0的解集首先需要判斷二次項(xiàng)系數(shù)c的正負(fù)，由方程根與系數(shù)關(guān)系知·>0，因a<0，c<0，從而知道cx2bxa<0的解集是x大于大根及小于小根對應(yīng)的兩個集合要想求出解集，需用已知量，代替參數(shù)c、b、a，需對不等式cx2bxa<0

6、兩邊同除c或a，用、代替后，就不難找到要求不等式對應(yīng)方程的兩根，從而求出不等式的解集本題較好地體現(xiàn)了三個“二次”之間的相互轉(zhuǎn)化1三個“二次”的關(guān)系：二次函數(shù)是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)常將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決一元二次不等式解集的端點(diǎn)值就是相應(yīng)的一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)2解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：解含參數(shù)的一元二次不等式可按如下步驟進(jìn)行：1°

7、二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.2°判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系.3°確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式3不等式恒成立問題：不等式恒成立，即不等式的解集為r，一元二次不等式ax2bxc>0 (a0)恒成立的條件是ax2bxc<0 (a0)恒成立的條件是 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1函數(shù)y的定義域是()a，1)(1， b，1(1，)c2，1)(1,2 d(2，1)(1,2)2(20xx·撫順模擬)已知集合

8、px|>0，集合qx|x2x20，則xq是xp的()a充分條件但不是必要條件b必要條件但不是充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件3(20xx·銀川模擬)已知集合mx|x22 008x2 009>0，nx|x2axb0，若mnr，mn(2 009，2 010，則()aa2 009，b2 010 ba2 009，b2 010ca2 009，b2 010 da2 009，b2 0104若(m1)x2(m1)x3(m1)<0對任何實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()am>1 bm<1cm< dm>1或m<5(創(chuàng)新題)已知a1>a2&

9、gt;a3>0，則使得(1aix)2<1 (i1,2,3)都成立的x的取值范圍是()a. b.c. d.二、填空題(每小題4分，共12分)6在r上定義運(yùn)算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)<1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為_7已知函數(shù)f(x)則滿足f(x)>1的x的取值范圍為_8(20xx·泉州月考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)yf(x)的圖象如右圖所示，且f(2)1，f(3)1，則不等式f(x26)>1的解集為_三、解答題(共38分)9(12分)解關(guān)于x的不等式<0 (ar)10(12分)若不等

10、式ax2bxc0的解集是，求不等式cx2bxa<0的解集11(14分)(20xx·煙臺月考)已知函數(shù)f(x)x2ax3.(1)當(dāng)xr時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍；(2)當(dāng)x2,2時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍學(xué)案34一元二次不等式及其解法自主梳理122.r自我檢測1c2.a3.a4.d5(，5解析記f(x)x2mx4，根據(jù)題意得解得m5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引解一元二次不等式的一般步驟(1)對不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2bxc>0(a>0)，ax2bxc<0(a>0)(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式(3)當(dāng)0時，求出相應(yīng)的一元二

11、次方程的根(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集解(1)兩邊都乘以3，得3x26x2<0，因?yàn)?>0，且方程3x26x20的解是x11，x21，所以原不等式的解集是x|1<x<1(2)不等式9x26x10，其相應(yīng)方程9x26x10，(6)24×90，上述方程有兩相等實(shí)根x，結(jié)合二次函數(shù)y9x26x1的圖象知，原不等式的解集為r.變式遷移1解(1)不等式2x24x3<0可轉(zhuǎn)化為2(x1)21<0，而2(x1)21>0，2x24x3<0的解集為.(2)兩邊都乘以1，得3x22x80，因?yàn)?>0，且方程3x22x80的解是x12

12、，x2，所以原不等式的解集是(，2，)(3)原不等式可轉(zhuǎn)化為16x28x10，即(4x1)20，原不等式的解集為例2解題導(dǎo)引(1)含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式(3)其次對方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集解上述不等式不一定為一元二次不等式，當(dāng)a0時為一元一次不等式，當(dāng)a0時為一元二次不等式，故應(yīng)對a進(jìn)行討論，然后分情況求解(1)a0時，解為x>0.(2)a>0時，4

13、4a2.當(dāng)>0，即0<a<1時，方程ax22xa0的兩根為，不等式的解集為x|<x<當(dāng)0，即a1時，x；當(dāng)<0，即a>1時，x.(3)當(dāng)a<0時，>0，即1<a<0時，不等式的解集為x|x<或x>0，即a1時，不等式化為(x1)2>0，解為xr且x1.<0，即a<1時，xr.綜上所述，當(dāng)a1時，原不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時，解集為x|<x<；當(dāng)a0時，解集為x|x>0；當(dāng)1<a<0時，解集為x|x<或x>；當(dāng)a1時，解集為x|xr且x1；當(dāng)a

14、<1時，解集為x|xr變式遷移2解當(dāng)a0時，解得x>1.當(dāng)a>0時，原不等式變形為(x)(x1)<0，a>1時，解得<x<1；a1時，解得x；0<a<1時，解得1<x<.當(dāng)a<0時，原不等式變形為(x)(x1)>0，<1，解不等式可得x<或x>1.綜上所述，當(dāng)a<0時，不等式解集為(，)(1，)；當(dāng)a0時，不等式解集為(1，)；當(dāng)0<a<1時，不等式解集為(1，)；當(dāng)a1時，不等式解集為；當(dāng)a>1時，不等式解集為(，1)例3解題導(dǎo)引注意等價轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，二次不等式在區(qū)間上恒

15、成立的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題解方法一f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa.當(dāng)a(，1)時，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a<1；當(dāng)a1，)時，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3a1.方法二令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.變式遷移3解(1)x22x3(x1)22>0，不等式<2同解于4xm<2x24x6，即2x28x6m>0.要使

16、原不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要2x28x6m>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立<0，即648(6m)<0，整理并解得m<2.實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，2)(2)x2px>4xp3，(x1)px24x3>0.令g(p)(x1)px24x3，則要使它對0p4均有g(shù)(p)>0，只要有.x>3或x<1.實(shí)數(shù)x的取值范圍為(，1)(3，)課后練習(xí)區(qū)1a由已知有(x21)0，x<1或1<x.2d化簡得px<1，或x>1，qx2，或x1，集合p，q之間不存在包含關(guān)系，所以xq是xp的既不充分又不必要條件3d化簡得mx|x<1或x>2

17、 009，由mnr，mn(2 009,2 010可知nx|1x2 010，即1,2 010是方程x2axb0的兩個根所以b1×2 0102 010，a12 010，即a2 009.4c當(dāng)m1時，不等式變?yōu)?x6<0，即x<3，不符合題意當(dāng)m1時，由題意知化簡，得解得m<.5b(1aix)2<1，即ax22aix<0，即aix(aix2)<0，由于ai>0，這個不等式可以化為x<0，即0<x<，若對每個都成立，則應(yīng)最小，即ai應(yīng)最大，也即是0<x<.6(，)解析由題意知，(xa)(xa)<1(xa)(1xa)

18、<1x2x(a2a1)>0.因上式對xr都成立，所以14(a2a1)<0，即4a24a3<0.所以<a<.7(，1)(2，)解析當(dāng)x>0時，由log2x>1，得x>2；當(dāng)x0時，由x2>1，得x<1.綜上可知，x的取值范圍為(，1)(2，)8(2,3)(3，2)解析由導(dǎo)函數(shù)圖象知當(dāng)x<0時，f(x)>0，即f(x)在(，0)上為增函數(shù)；當(dāng)x>0時，f(x)<0，即f(x)在(0，)上為減函數(shù)，故不等式f(x26)>1等價于f(x26)>f(2)或f(x26)>f(3)，即2<x260或0x26<3，解得x(2,3)(3，2)9解<0(xa)(xa2)<0，(2分)當(dāng)a0