數(shù)學(xué)理一輪教學(xué)案：第四章第3講　三角恒等變換 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第3講三角恒等變換考綱展示命題探究1兩角和與差的三角函數(shù)公式sin()sincoscossin；(s)sin()sincoscossin.(s)cos()coscossinsin；(c)cos()coscossinsin.(c)tan()；(t)tan().(t)2二倍角公式sin22sincos；(s2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(c2)tan2.(t2)3公式的變形與應(yīng)用(1)兩角和與差的正切公式的變形tantantan()(1tantan)；tantantan()(1tantan)(2)升冪公式1cos2cos2；1cos2sin

2、2.(3)降冪公式sin2；cos2.(4)其他常用變形sin2；cos2；1±sin2；tan.4輔助角公式asinbcossin()，其中cos，sin.5角的拆分與組合(1)已知角表示未知角例如，2()()，2()()，()()，.(2)互余與互補(bǔ)關(guān)系例如，.(3)非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角例如，15°45°30°，75°45°30°.注意點(diǎn)先看角，再求值在求值的題目中，一定要注意角的范圍，要做到“先看角的范圍，再求值”.1思維辨析(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在實(shí)數(shù)，使等式sin()sinsi

3、n成立()(3)公式tan()可以變形為tantantan()(1tantan)，且對(duì)任意，都成立()(4)存在實(shí)數(shù)，使得tan22tan.()(5)公式asinxbcosxsin(x)中的取值與a，b的值有關(guān)()答案(1)(2)(3)×(4)(5)2(1)化簡(jiǎn)cos15°cos45°cos75°sin45°的值為()a.b.c d(2)的值為()a2 b.c2 d答案(1)a(2)c解析(1)cos15°cos45°cos75°sin45°cos15°cos45°sin15°

4、;sin45°cos(15°45°)cos60°.故選a.(2)由題意知2.3在abc中，tanatanbtana·tanb，則c等于()a. b.c. d.答案a解析由已知可得tanatanb(tana·tanb1)，tan(ab)，又0<ab<，ab，c.考法綜述此部分考查內(nèi)容題型多樣，但一般屬于中低檔題型，難度不大主要側(cè)重于兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式為化簡(jiǎn)基礎(chǔ)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)關(guān)系式或求值利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式變異名為同名的三角函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式、和差角公式及倍角公式進(jìn)行恒等變形為高考熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)式的

5、化簡(jiǎn)求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識(shí)綜合考查命題法利用基本公式及變形式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值典例(1)()a4 b2c2 d4(2)設(shè)，且tan，則()a3 b2c3 d2(3)已知函數(shù)f(x)asin，xr，且f.求a的值；若f()f()，求f.解析(1)4，故選d.(2)由條件得，即sincoscos(1sin)，sin()cossin，因?yàn)椋?，所以，所以2，故選b.(3)fasin，a·，a.f()f()sin·sin，cos，cos，又，sin，fsin()sin.答案(1)d(2)b(3)見(jiàn)解析【解題法】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值方法(1)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)遵循的三個(gè)原則一

6、看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦”三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”等(2)三角函數(shù)求值的類型及方法“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也

7、是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍1sin20°cos10°cos160°sin10°()a b.c d.答案d解析原式sin20°cos10°cos20°sin10°sin(20°10°).2化簡(jiǎn)()a1 b.c. d2答案c解析原式.3已知向量a，b(4,4cos)，若ab，則sin()a bc. d.答案b解析ab，a·b4sin4cos2sin6cos4sin0，sin.sinsin.4.已知tan2，tan(

8、)，則tan的值為_(kāi)答案3解析tantan()3.5sin15°sin75°的值是_答案解析解法一：sin15°sin75°sin(45°30°)sin(45°30°)2sin45°·cos30°.解法二：sin15°sin75°sin15°cos15°sin(45°15°)sin60°.6已知函數(shù)ycosx與ysin(2x)(0)，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是_答案解析顯然交點(diǎn)為，故有sin，2k，kz

9、，或2k，kz，2k或2k，kz，又0，故.7已知，且2sin2sin·cos3cos20，則_.答案解析解法一：由2sin2sincos3cos20，得(2sin3cos)·(sincos)0，sincos>0，2sin3cos，又sin2cos21，cos，sin，.解法二：同解法一得2sin3cos，即tan，由三角函數(shù)定義令y3，x2，則r，又，故cos.(或?qū)κ阶?sin2sincos3cos20兩邊同時(shí)除去cos2得2tan2tan30，即(2tan3)(tan1)0，得tan或tan1(舍)以下同解法一8化簡(jiǎn)tan_.答案2解析原式2.9.如圖，a，b，

10、c，d為平面四邊形abcd的四個(gè)內(nèi)角(1)證明：tan；(2)若ac180°，ab6，bc3，cd4，ad5，求tantantantan的值解(1)證法一：tan.證法二：tan.(2)由ac180°，得c180°a，d180°b.由(1)，有tantantantan.連接bd.在abd中，有bd2ab2ad22ab·adcosa，在bcd中，有bd2bc2cd22bc·cdcosc，所以ab2ad22ab·adcosabc2cd22bc·cdcosa.則cosa.于是sina.連接ac.同理可得cosb，于是si

11、nb.所以tantantantan.10.已知，sin.(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因?yàn)椋瑂in，所以cos.故sinsincoscossin××.(2)由(1)知sin22sincos2××，cos212sin212×2，所以coscoscos2sinsin2××.已知，為三角形的兩個(gè)內(nèi)角，cos，sin()，則_.錯(cuò)解答案或錯(cuò)因分析(1)錯(cuò)解中沒(méi)有明確的范圍，導(dǎo)致求cos()時(shí)不能正確判斷符號(hào)(2)所求函數(shù)值不是sin，而是cos，導(dǎo)致在(0，)中角有兩解的錯(cuò)誤正解因?yàn)?<<，cos，所以s

12、in，故<<，又因?yàn)?<<，sin()<，所以0<<，或<<，由<<知<<，所以cos()，所以coscos()cos()cossin()sin××，又因?yàn)?<<，所以.答案心得體會(huì)時(shí)間：60分鐘基礎(chǔ)組1.20xx·衡水二中猜題若sin，則sin2等于()a b.c d.答案c解析sin2cos2sin212×21，故選c.220xx·衡水二中一輪檢測(cè)若sin，則cos()a bc. d. 答案a解析由sin，得sin，即cos，coscos2cos212

13、×21.320xx·冀州中學(xué)周測(cè)在abc中，若cosa，cosb，則cosc()a. b.c. d.答案c解析在abc中，0<a<，0<b<，從而sina，sinb，所以cosccos(ab)cos(ab)sina·sinbcosa·cosb××.420xx·衡水二中月考已知<<，3sin22cos，則cos()等于()a. b.c. d.答案c解析由3sin22cos得sin.因?yàn)?lt;<，所以cos()cos.故選c.520xx·棗強(qiáng)中學(xué)周測(cè)函數(shù)f(x)2sin2co

14、s2x的最大值為()a2 b3c2 d2答案b解析依題意，f(x)1coscos2xsin2xcos2x12sin1，當(dāng)x時(shí)，2x，sin1，此時(shí)f(x)的最大值是3，選b.6.20xx·冀州中學(xué)預(yù)測(cè)若0<<，<<0，cos，cos，則cos()a. bc. d答案c解析coscoscoscossinsin，而，因此sin，sin，則cos××.720xx·棗強(qiáng)中學(xué)一輪檢測(cè)若，且sin2cos2，則tan的值等于()a. b.c. d.答案d解析由二倍角公式可得sin212sin2，即sin2，又，所以sin，即，所以tantan

15、，故選d.820xx·冀州中學(xué)月考關(guān)于函數(shù)f(x)2(sinxcosx)·cosx的四個(gè)結(jié)論：p1：最大值為；p2：把函數(shù)g(x)sin2x1的圖象向右平移個(gè)單位后可得到函數(shù)f(x)2(sinxcosx)cosx的圖象；p3：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為，kz；p4：圖象的對(duì)稱中心為，kz.其中正確的結(jié)論有()a1個(gè) b2個(gè)c3個(gè) d4個(gè)答案b解析因?yàn)閒(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x1sin1，所以最大值為1，所以p1錯(cuò)誤將g(x)sin2x1的圖象向右平移個(gè)單位后得到h(x)·sin21sin1的圖象，所以p2錯(cuò)誤由2k2x2k，kz，解得kxk，k

16、z，即增區(qū)間為，kz，所以p3正確由2xk，kz，得x，kz，所以圖象的對(duì)稱中心為，kz，所以p4正確，所以選b.9.20xx·衡水中學(xué)月考如圖，圓o與x軸的正半軸的交點(diǎn)為a，點(diǎn)c，b在圓o上，且點(diǎn)c位于第一象限，點(diǎn)b的坐標(biāo)為，aoc.若|bc|1，則cos2sincos的值為_(kāi)答案解析由題意得|ob|bc|1，從而obc為等邊三角形，sinaobsin，又cos2sincos·sincossinsinsin.1020xx·衡水中學(xué)期中已知13sin5cos9,13cos5sin15，那么sin()的值為_(kāi)答案解析將兩等式的兩邊分別平方再相加，得169130sin

17、()25306，所以sin().11.20xx·武邑中學(xué)期中已知函數(shù)f(x)sinxcosxcos2x(>0)，其最小正周期為.(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)k0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin.由題意知f(x)的最小正周期t，所以2.所以f(x)sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到y(tǒng)sin的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

18、，得到y(tǒng)sin的圖象，所以g(x)sin.因?yàn)?x，所以2x.g(x)k0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)yg(x)與yk在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可知k<或k1，所以<k或k1.1220xx·衡水中學(xué)期末已知cos·cos，求：(1)sin2；(2)tan.解(1)cos·coscos·sinsin2，即sin，注意到，故2，從而cos，sin2sinsin2coscossin××.(2)2，sin2，cos2，tan2×2.sin2sin，cos2cos，tan能力組13.2016·冀州中學(xué)猜題設(shè)sin，則sin2()a bc. d.答案a解析sin2cos2sin212×21.142016·衡水中學(xué)模擬已知為第二象限角，sin()，則cos的值為_(kāi)答案±解析為第二象限角，為第一、