高考數(shù)學一輪復習導學案：直線與圓圓與圓的位置關(guān)系【A】含答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 直線與圓-圓與圓的位置關(guān)系(教案)a一、 知識梳理（一）直線與圓的位置關(guān)系：1、直線與圓的位置關(guān)系的判斷：直線與圓的位置關(guān)系有三種幾何法：（1）d>r相離（2）d=r相切（3）d<r相交代數(shù)法：利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個數(shù)來判斷：（1）當方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；（2）當方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為相切0；相交>0；相離<0。

2、2. 過一點作圓的切線的方程：(1) 過圓外一點的切線：m(x0,y0)為圓外一點,設點斜式方程:y-y0=k(x-x0),利用幾何法或代數(shù)法,一般解出兩個k值 ,如果解出一個k值,則另一條是沒有斜率的直線x=x0. (2)過圓上一點的切線方程：圓(xa)2+(yb)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特別地，過圓上一點的切線方程為.3切點弦(1)過c：外一點作c的兩條切線，切點分別為，則切點弦所在直線方程為：4. 切線長：若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，則過圓外一點p(x0,y0)的切線長為 d=（二）、圓與圓

3、的位置關(guān)系（1）設兩圓與圓， 圓心距1 ；2 ；3 ；4 ；5 ； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含（2）兩圓公共弦所在直線方程圓：， 圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：1 若與相切，則表示其中一條公切線方程；2 若與相離，則表示連心線的中垂線方程.（3）圓系問題過兩圓：和：交點的圓系方程為（-1）補充：1 上述圓系不包括；2 當時，(若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程；若與相交，表示公共弦的直線方程。)3 過直線與圓交點的圓系方程為二、題型探究：探究一：直線與圓相切問題例1：將直線沿軸向左平移1個單位，所得直線與圓 相切，則實數(shù)的值為（ ）（a）3或7

4、（b）2或8 （c）0或10 （d）1或11【思路點撥】本題考查了平移公式、直線與圓的位置關(guān)系，只要正確理解平移公式和直線與圓相切的充要條件就可解決.【正確解答】由題意可知：直線沿軸向左平移1個單位后的直線為：.已知圓的圓心為，半徑為.解法1：直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，因而有，得或7.解法2：設切點為，則切點滿足，即，代入圓方程整理得：， （*）由直線與圓相切可知，（*）方程只有一個解，因而有，得或7.解法3：由直線與圓相切，可知，因而斜率相乘得1，即，又因為在圓上，滿足方程，解得切點為或，又在直線上，解得或7.探究二：直線與圓有關(guān)的最值問題例2：已知直線和圓； （1）時，

5、證明與總相交。 （2）取何值時，被截得弦長最短，求此弦長。例3已知圓c1：x2+y2+2x+2y-8=0與c2：x2+y2-2x+10y-24=0相交于兩點。（1）求公共弦所在的直線方程；（2）求圓心在直線上，且經(jīng)過兩點的圓的方程；（3）求經(jīng)過兩點且面積最小的圓的方程。 探究三：直線與圓有關(guān)綜合題例4：已知實數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。解析：表示過點a（0，1）和圓上的動點（x，y）的直線的斜率。當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值.設切線方程為，即，則，解得。因此，點評：直線知識是解析幾何的基礎知識，靈活運用直線知識解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨

6、益。題型探究四：圓與圓位置關(guān)系例5： 討論兩圓的位置關(guān)系:已知圓c1：x2 + y2 2mx + 4y + m2 5 = 0，圓c2：x2 + y2 + 2x 2my + m2 3 = 0，m為何值時，（1）圓c1與圓c2相外切； （2）圓c1與圓c2內(nèi)含.【解析】對于圓c1，圓c2的方程，經(jīng)配方后c1：(x m)2 + (y + 2)2 = 9，c2：(x + 1)2 + (y m)2 = 4.（1）如果c1與c2外切，則有，所以m2 + 3m 10 = 0，解得m = 2或5.（2）如果c1與c2內(nèi)含，則有，所以m2 + 3m + 20，得2m1.所以當m = 5或m = 2時，c1與c2

7、外切；當2m1時，c1與c2內(nèi)含.例6：圓系方程應用:求過直線x + y + 4 = 0與圓x2 + y2 + 4x 2y 4 = 0的交點且與y = x相切的圓的方程.【解析】設所求的圓的方程為x2 + y2 + 4x 2y 4 + (x + y + 4) = 0.聯(lián)立方程組得：.因為圓與y = x相切，所以=0.即，故所求圓的方程為x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.例7： 兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法求過兩圓x2 + y2 + 6x 4 = 與x2 + y2 + 6y 28 = 0的交點，且圓心在直線x y 4 = 0上的圓的方程.【解析】：依題意所求的

8、圓的圓心，在已知圓的圓心的連心線上，又兩已知圓的圓心分別為(3，0)和(0，3).則連心線的方程是x + y + 3 = 0.由 解得. 所以所求圓的圓心坐標是.設所求圓的方程是x2 + y2 x + 7y + m = 0由三個圓有同一條公共弦得m = 32.故所求方程是x2 + y2 x + 7y 32 = 0.例8： 已知圓c1：x2 +y2 2x =0和圓c2：x2 +y2 +4 y=0，試判斷兩圓的位置關(guān)系，若相交，則設其交點為a、b，試求出它們的公共弦ab的方程及公共弦長。三、方法提升：直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ，y）0圓c ：f2（x ，y）0消y 得f（x）0。（1）直

9、線與圓相交：f（x）0中d 0；或圓心到直線距離d r 。直線與圓相交的相關(guān)問題：弦長|ab|·|x1 x2|·，或|ab|2；弦中點坐標（，）；弦中點軌跡方程。（2）直線與圓相切：f（x）0中d 0，或d r 其相關(guān)問題是切線方程如p（x0 ，y0）是圓x2 y2 r2 上的點，過p 的切線方程為x0x y0y r2 ，其二是圓外點p（x0 ，y0）向圓到兩條切線的切線長為或；其三是p（x0 ，y0）為圓x2 y2 r2 外一點引兩條切線，有兩個切點a ，b ，過a ，b 的直線方程為x0x y0y r2 。（3）直線與圓相離：f（x）0中d 0；或d r ；主要是圓上的

10、點到直線距離d 的最大值與最小值，設q 為圓c ：(x a) 2 (y b) 2 r2 上任一點，|pq|max |pc|r ；|pq|min |pq|r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值（4）圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|o1o2|與兩半徑r1 ，r2 的和差關(guān)系判定（1）設o1 圓心o1 ，半徑r1 ，o2 圓心o2 ，半徑r2 則：當r1 r2 |o1o2|時o1 與o2 外切；當|r1 r2|o1o2|時，兩圓相切；當|r1 r2|o1o2|r1 r2 時兩圓相交；當|r1 r2|o1o2|時兩圓內(nèi)含；當r1 r2 |o1o2|時兩圓外離.（2）設o1 ：x2

11、 y2 d1x e1y f1 0，o2 ：x2 y2 d2x e2y f2 0。兩圓相交a 、b 兩點，其公共弦所在直線方程為（d1 d2）x （e1 e2）y f1 f2 0；經(jīng)過兩圓的交點的圓系方程為x2 y2 d1x e1y f1 l（x2 y2 d2x e2y f2）0（不包括o2 方程）.四、反思感悟 五、課時作業(yè)（一）一、選擇題1、若為圓的弦ab的中點，則直線ab的方程是( )a. b. c. d. 2、圓和圓的位置關(guān)系是（ ）a相切 b相交 c相離 d不確定3、圓2x22y21與直線xsiny10（r，k，kz）的位置關(guān)系是（ ）a相交 b相切 c相離 d不確定4、設直線2xy0

12、與y軸的交點為p，點p把圓（x1）2y225的直徑分為兩段，則其長度之比為（ ）a或 b或 c 或 d 或5、以點為頂點的三角形與圓沒有公共點，則圓半徑r的取值范圍是（ ）a b c d 二、填空題6、直線x2y=0被曲線x2y26x2y15=0所截得的弦長等于_.7、以點(1，2)為圓心，且與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_.8、集合a（x，y）|x2y2=4，b（x，y）|（x3）2（y4）2=r2，其中r0，若ab中有且僅有一個元素，則r的值是_. 9、一束光線從點a（1，1）出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓c：（x2）2（y3）21的最短路程是_.10、已知三角形三邊所在直線的方程為y0，

13、x2，xy40，則這個三角形內(nèi)切圓的方程為_.三、解答題11、求過點（3，1），且與圓相切的直線的方程。12、求經(jīng)過點a（0，5），且與直線和都相切的圓的方程。13、（1）圓c：x2y2dxeyf0的外部有一點p（x0，y0），求由點p向圓引切線的長度（2）在直線2xy30上求一點p，使由p向圓x2y24x0引得的切線長長度為最小yrxcqpo14、如圖，圓c通過不同的三點p（k，o）、q（2， 0）、r（0，1），已知圓c在點p的切線斜率為1，試求圓c的方程課時作業(yè)（一）解析1、a 2、b 3、c 4、a 5、a 6、 7、 8、3或7 9、4 10、11、解：設過點（3，1）且與圓相切的直

14、線的方程為，即，由，解得：，即：，由于點（3，1）在圓外，切線有兩條，另一條為。12、解：圓心在直線和的交角平分線或上，由于圓過點a（0，5），所以圓心c在，設c，故圓的方程為和。13、解：（1）切點、圓心及點p三點連線可構(gòu)一個rt，其中切線是一條直角邊，利用勾股定理可得切線長。（2）設p（x,y），由（1）結(jié)論得切線長s，當且僅當x，即p（,）時，切線長度最小，最小值是.14、解：.設圓c的方程為，由于為方程的兩根 即又因為圓過點r（0，1），故1ef=0, e=2k1圓的方程圓心c坐標圓在點p的切線斜率為1 解得所求圓的方程為.課時作業(yè)（二）一、選擇題1、把直線繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使它與

15、圓相切，則直線轉(zhuǎn)動的最小正角是（ ）a b c d2、如果實數(shù)滿足等式，那么的最大值是（ ）a b c d3、圓x2y22x4y30上到直線xy10的距離為的點有（ ）a1個 b2個 c3個 d4個4、若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是( )a. b. c. d. 5、直線y=2xm和圓 交于a、b兩點，以ox軸為始邊，oa、ob為終邊的角記為、，則sin()等于 （ ）a關(guān)于m的一次函數(shù) b c關(guān)于m的二次函數(shù) d二、填空題6、圓上的點到直線的距離的最小值為_.7、已知直線交圓于點，為坐標原點，且，則的值為 8、若直線按向量平移后與圓相切，則實數(shù)的值為 9、已

16、知兩圓和，則它們的公共弦長為 .10、若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是_.三、解答題11、由點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，若反射光線所在直線與圓相切，求光線所在直線的方程12、已知圓上的點關(guān)于直線的對稱點仍在這個圓上，且與直線相交的弦長為，求圓的方程13、已知c：（x1）2(y2)2=25，直線l：（2m1）x（m1）y7m40(mr)（1） 求證：不論m取什么實數(shù)時，直線l與圓恒交于兩點；（2） 求直線l被圓c截得的線段的最短長度以及這時直線l的方程14、曲線x2y2x6y30上兩點p、q滿足：（1） 關(guān)于直線kxy40對稱，（2）opoq，求直線pq的方程課時作業(yè)（二）解析：1、b 2、d 3、c 4、a 5、d 6、 7、3 8、-13或-3. 9、. 10、11、解：已知圓關(guān)于軸的對稱圓方程為，設光線的方程是，由題意，該直線與對稱圓相切 解得：直線的方程是或.12、解：設圓心為，由題意得：，解得或，此時或所求圓的方程為或.13、解：（1）將l的方程整理為（xy4）m（2xy7）0因為對于任意實數(shù)m，方程都成立， 所以所以對于