高三數(shù)學一輪復習：導數(shù)在研究函數(shù)中的應用含解析

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 一、選擇題1.(20xx廈門市高三上學期期末質檢)函數(shù)y=(3-x2)ex的單調遞增區(qū)間是(d)(a)(-,0) (b)(0,+)(c)(-,-3)和(1,+)(d)(-3,1)來源:解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y'>0x2+2x-3<0-3<x<1,函數(shù)y=(3-x2)ex的單調遞增區(qū)間是(-3,1).故選d.2.(20xx西安五校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cr).若x=-1為函數(shù)f(x)·ex的一個極值點,則下列圖象不可

2、能為y=f(x)的圖象的是(d)解析:若x=-1為函數(shù)f(x)·ex的一個極值點,則易得a=c.因為選項a、b的函數(shù)為f(x)=a(x+1)2,則f(x)ex'=f'(x)ex+f(x)(ex)'=a(x+1)(x+3)ex,所以x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點,滿足條件;選項c中,對稱軸x=->0,且開口向下,所以a<0,b>0,所以f(-1)=2a-b<0,也滿足條件;選項d中,對稱軸x=-<-1,且開口向上,所以a>0,b>2a,所以f(-1)=2a-b<0,這與圖象矛盾,故選d.3.(20xx年高考

3、大綱全國卷)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則c等于(a)(a)-2或2(b)-9或3(c)-1或1(d)-3或1解析:y'=3(x+1)(x-1),當x=-1或x=1時取得極值,由題意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故選a.4.(20xx福建龍巖質檢)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則導函數(shù)f'(x)的圖象不可能是(d)解析:若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則此函數(shù)在某點兩側的單調性相反,也就是說導函數(shù)f'(x)在此點兩側的導函數(shù)值的符號相反,所以導函數(shù)的圖象要穿過x

4、軸,觀察四個選項中的圖象只有d項是不符合要求的,即f'(x)的圖象不可能是d.5.(20xx年高考重慶卷)設函數(shù)f(x)在r上可導,其導函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是(c)解析:f(x)在x=-2處取得極小值,當x<-2時,f(x)單調遞減,即f'(x)<0;當x>-2時,f(x)單調遞增,即f'(x)>0.當x<-2時,y=x·f'(x)>0;當x=-2時,y=x·f'(x)=0;當-2<x<0時,y=x

5、83;f'(x)<0;當x=0時,y=x·f'(x)=0;當x>0時,y=x·f'(x)>0,結合圖象知選c.6.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n-1,1,則f(m)+f'(n)的最小值是(a)(a)-13(b)-15(c)10(d)15解析:求導得f'(x)=-3x2+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在-1,0)

6、上單調遞減,在(0,1上單調遞增,當m-1,1時,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對稱軸為x=1,當n-1,1時,f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值為-13.故選a.二、填空題7.(20xx南充市第一次適應性考試)設定義域為(0,+)的單調函數(shù)f(x)對任意的x(0,+)都有ff(x)-log2x=6.若x0是方程f(x)-f'(x)=4的一個解,且x0(a,a+1)(an*),則a=. 解析:根據(jù)已知f(x)在(0,+)上是單調函數(shù),又對任意的x(0,+)都有ff

7、(x)-log2x=6,得f(x)-log2x必為常數(shù),記為c,即f(x)-log2x=c.令x=c,f(c)-log2c=c,而f(c)=6,易知c=4,所以f(x)=4+log2x,f'(x)=.來源:又因為f(1)=4,f'(1)=>0,f(2)=5,來源:f'(2)=<1,所以f(1)-f'(1)<4,f(2)-f'(2)>4,根據(jù)零點存在性定理知,方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)內必有一個解.又由于f(x)-f'(x)是一個增函數(shù),故方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)內只有一個解.因

8、此a=1.答案:18.(20xx廣州模擬)設函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(ar),若對于任意x-1,1,都有f(x)0成立,則實數(shù)a的值為. 解析:由題意得f'(x)=3ax2-3,當a1時,在-1,1上恒有f'(x)=3ax2-30,f(x)在-1,1上為減函數(shù),f(x)最小值=f(1)=a-20,解之得a2(與條件a1矛盾),不符合題意;當a>1時,令f'(x)=0可得x=±,當x時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);當x,x時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).x=±為極值點,要使f(x)0成立,只

9、需即a=4.答案:4三、解答題9.已知函數(shù)f(x)=(1+x)2-ln(1+x),(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)若x時,f(x)<m恒成立,求m的取值范圍.來源:解:(1)f(x)=(1+x)2-ln(1+x)(x>-1),f'(x)=(1+x)-=(x>-1),-1<x<0時,f'(x)<0,x>0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(-1,0),單調遞增區(qū)間為(0,+).(2)由(1)知,函數(shù)f (x)在上單調遞減,在(0,e-1)上單調遞增.又f=+1,f(e-1)=e2-1>+1,f(x)

10、e2-1,又f(x)<m在x上恒成立,m>e2-1.10.(20xx石家莊市高中畢業(yè)班教學質檢)已知函數(shù)f(x)=aln x-2ax+3(a0).(1)設a=-1,求函數(shù)f(x)的極值;(2)在(1)的條件下,若函數(shù)g(x)=x3+x2f'(x)+m.(其中f'(x)為f(x)的導數(shù))在區(qū)間(1,3)上不是單調函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)當a=-1,f(x)=-ln x+2x+3(x>0),f'(x)=-+2,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為.函數(shù)f(x)的極小值是f=-ln +2×+3=ln 2+4,無極大值.(2)g(

11、x)=x3+x2,g'(x)=x2+(4+2m)x-1,g (x)在區(qū)間(1,3)上不是單調函數(shù),且g'(0)=-1,即-<m<-2.m的取值范圍是.11.(20xx內江市第一次模擬考試)已知函數(shù)f(x)=ax2-3x+ln x(a>0).(1)若曲線y=f(x)在點p(1,f(1)處的切線平行于x軸,求函數(shù)f(x)在區(qū)間,2上的最值;(2)若函數(shù)f(x)在定義域內是單調函數(shù),求a的取值范圍.解:(1)f(x)=ax2-3x+ln x,f'(x)=2ax-3+,又f'(1)=0,2a-2=0,a=1,f(x)=x2-3x+ln x,f'(x)=2x-3+,令f'(x)=0,即2x-3+=0,解得x=或x=1.列表如下:x1(1,2)2f'(x)-0+f(x)-ln 2減-2增-2+ln 2當x=1時,f(x)min=-2;f(2)-f=-2+ln 2+ln 2=ln 4->1->0,當x=2時,f(x)max=-2+ln 2.(2)f(x)的定義域為(0,+),f'(x)=2ax-3+=,令=9-8a.