高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性極值最值問題案文12143109

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5第第 4 4 講講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題高考定位利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，以含指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三次有理函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，并能解決簡單的問題.真 題 感 悟1.(20 xx全國卷)若x2 是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()a.1b.2e3c.5e3d.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，則f(2)42(a2)a1e30a1，則f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2 或x1，當(dāng)x1 時(shí)，f(x)0，當(dāng)2x1 時(shí)，f(x)

2、0，則f(x)極小值為f(1)1.答案a2.(20 xx全國卷)曲線yx21x在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為_.解析設(shè)yf(x)，則f(x)2x1x2，所以f(1)211，所以在(1，2)處的切線方程為y21(x1)，即yx1.答案yx13.(20 xx全國卷改編)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x，其中參數(shù)a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)0，求a的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，則f(x)e2x，在(，)上單調(diào)遞增.若a0，則由f(x)0，得xlna2 .當(dāng)x ，lna2時(shí)，f(x)0.故f(

3、x)在 ，lna2上單調(diào)遞減，在區(qū)間 lna2 ， 上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a0 時(shí)，f(x)e2x0 恒成立.若a0，且a1)；(4)(logax)1xlna(a0，且a1，x0).3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.f(x)0 是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件， 如函數(shù)f(x)x3在(， )上單調(diào)遞增，但f(x)0.f(x)0 是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0 時(shí)，則f(x)為常數(shù)函數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法.若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0 或f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f

4、(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.易錯(cuò)提醒若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要而不充分條件.熱點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例 1】 (1)(20 xx鷹潭一模)已知曲線f(x)2x21 在點(diǎn)m(x0，f(x0)處的瞬時(shí)變化率為8，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為_.(2)(20 xx全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程是_.解析(1)f(x)2x21，

5、f(x)4x，令 4x08，則x02，f(x0)9，點(diǎn)m的坐標(biāo)是(2，9).(2)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x0 時(shí)，f(x)f(x)ex1x.所以f(x)ex11，f(1)e1112.所以f(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為y22(x1)，即 2xy0.答案(1)(2，9)(2)2xy0探究提高1.(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化，其中關(guān)鍵是求出切點(diǎn)的坐標(biāo).(2)以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則根據(jù)平行、垂直與斜率之間的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.2.求曲線的切線要注意“過點(diǎn)p的切線”與“在點(diǎn)p處的切線”的差異，過點(diǎn)p的切線中，點(diǎn)p

6、不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)p也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)p處的切線，必以點(diǎn)p為切點(diǎn).【訓(xùn)練 1】 (1)(20 xx湖北百所重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x1)2x1x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線的斜率為()a.1b.1c.2d.2(2)(20 xx長郡中學(xué)調(diào)研)設(shè)曲線y2cosxsinx在點(diǎn)2，2處的切線與直線xay10 垂直，則a_.解析(1)由f(x1)2x1x1，知f(x)2x1x21x.f(x)1x2，且f(1)1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率k1.(2)y（2cosx）sinx（2cosx） （sinx）sin2x12cosxsin2x，則曲線y2cosxsinx在點(diǎn)2，2處

7、的切線的斜率為k11.因?yàn)橹本€xay10 的斜率k21a，又該切線與直線xay10 垂直，所以k1k21，解得a1.答案(1)a(2)1熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性命題角度 1確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)【例 21】 已知函數(shù)f(x)k4klnx4x2x，其中常數(shù)k0，(1)討論f(x)在(0，2)上的單調(diào)性；(2)若k4，)，曲線yf(x)上總存在相異兩點(diǎn)m(x1，y1)，n(x2，y2)使得曲線yf(x)在m，n兩點(diǎn)處切線互相平行，求x1x2的取值范圍.解(1)因?yàn)閒(x)k4kx4x21k4k x4x2x2（xk）x4kx2(x0，k0).當(dāng) 0kk0，且4k2，所以x(0，k)時(shí)，f(x

8、)0，所以函數(shù)f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k，2)上是增函數(shù)；當(dāng)k2 時(shí)，4kk2，f(x)2 時(shí)，04k4k，所以x0，4k時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在0，4k上是減函數(shù)，在4k，2上是增函數(shù).(2)由題意，可得f(x1)f(x2)(x1，x20，且x1x2)，則k4kx14x211k4kx24x221，化簡得 4(x1x2)k4k x1x2，又x1x2x1x222，4(x1x2)16k4k對(duì)k4，)恒成立，令g(k)k4k，則g(k)14k20.g(k)k4k在4，)上是增函數(shù)，所以g(k)g(4)5，所以16k4k165，所以x1x2165，故x1x2的取值范圍為165，.

9、探究提高1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(證)不等式f(x)0或f(x)0.(2)對(duì)k分類討論不全，題目中已知k0，對(duì)k分類討論時(shí)容易對(duì)標(biāo)準(zhǔn)劃分不準(zhǔn)確，討論不全面.【遷移探究 1】 若將本例中的條件“k0”變?yōu)椤発0”，其他條件不變，f(x)在(0，2)上的單調(diào)性如何？解由例 21 解析知f(x)（xk）x4kx2在(0，2)上f(x)0，故f(x)在(0，2)上為減函數(shù).【遷移探究 2】 在本例(1)中，將“(0，2)”改為(0，)，其他條件不變，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解由例題知f(x)（xk）x4kx2.當(dāng) 0k2 時(shí)，k4k，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，k)，4k，增區(qū)

10、間為k，4k.當(dāng)k2 時(shí)，k4k2，f(x)2 時(shí)，k4k，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為0，4k和(k，)，增區(qū)間為4k，k.命題角度 2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【例 22】 (20 xx蘭州二模)已知函數(shù)f(x)12x22alnx(a2)x.(1)當(dāng)a1 時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.解(1)當(dāng)a1 時(shí)，f(x)12x22lnx3x，則f(x)x2x3x23x2x（x1） （x2）x.當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) 1x2 時(shí)，f(x)0 時(shí)恒成立，a12

11、(x22x)12(x1)212恒成立.又(x)12(x1)212，x(0，)的最小值為12.當(dāng)a12時(shí)，g(x)0 恒成立.又當(dāng)a12，g(x)（x1）2x當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)，g(x)0.故當(dāng)a，12 時(shí)，g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增.探究提高1.已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f(x)不恒等于 0 的參數(shù)的范圍.2.若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f(x)0 在(a，b)上有解.【訓(xùn)練 2】 已知ar r，函數(shù)f(x)(x2ax)ex

12、(xr r，e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)a2 時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；解(1)當(dāng)a2 時(shí)，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因?yàn)?ex0，所以x220，解得 2x 2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( 2， 2).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)0 對(duì)x(1，1)都成立.因?yàn)閒(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0 對(duì)x(1，1)都成立.因?yàn)?ex0，所以x2(a2

13、)xa0，則ax22xx1（x1）21x1(x1)1x1對(duì)x(1，1)都成立.令g(x)(x1)1x1，則g(x)11（x1）20.所以g(x)(x1)1x1在(1，1)上單調(diào)遞增.所以g(x)g(1)(11)11132.所以a的取值范圍是32，.熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值命題角度 1求函數(shù)的極值、最值【例 31】 (20 xx北京卷)已知函數(shù)f(x)excosxx.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2 上的最大值和最小值.解(1)f(x)excosxx，f(0)1，f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0，yf(x)在(0，f(

14、0)處的切線方程為y10(x0)，即y1.(2)f(x)ex(cosxsinx)1，令g(x)f(x)，則g(x)2sinxex0 在0，2 上恒成立，且僅在x0 處等號(hào)成立，g(x)在0，2 上單調(diào)遞減，g(x)g(0)0，f(x)0 且僅在x0 處等號(hào)成立，f(x)在0，2 上單調(diào)遞減，f(x)maxf(0)1，f(x)minf2 2.命題角度 2與函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)問題【例 32】 (20 xx衡水中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)ax1lnx(ar r).(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)f(x)在x1 處取得極值，x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值

15、.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a1xax1x.當(dāng)a0 時(shí)，f(x)0 在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn).當(dāng)a0 時(shí)，由f(x)0，得 0 x0，得x1a，f(x)在0，1a上單調(diào)遞減，在1a，上單調(diào)遞增，故f(x)在x1a處有極小值.綜上，當(dāng)a0 時(shí)，f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a0 時(shí)，f(x)在(0，)上有一個(gè)極值點(diǎn).(2)函數(shù)f(x)在x1 處取得極值，f(1)a10，則a1，從而f(x)x1lnx.因此f(x)bx211xlnxxb，令g(x)11xlnxx，則g(x)lnx2x2，令g(x)0，得xe2，則g(

16、x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(e2)11e2，即b11e2.故實(shí)數(shù)b的最大值是 11e2.探究提高1.求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0 的根，再檢查f(x)在方程根的左右附近函數(shù)值的符號(hào).2.若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0 根的大小或存在情況來求解.3.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.【訓(xùn)練 3】(20 xx郴州二模選編)已知函數(shù)f(x)ax2(12a)xlnx.(1)當(dāng)a0 時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)

17、當(dāng)a0，因?yàn)閍0，x0，2ax1x0，x10，得x1，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).(2)由(1)可得f(x)2ax12a（x1）x，因?yàn)閍1，即12a0 時(shí)，f(x)0，因此f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，f(x)在12，1上的最小值為f(1)1a.當(dāng)1212a1，即1a12時(shí)，當(dāng)x12，12a時(shí)，f(x)0，當(dāng)x12a，1時(shí)，f(x)0，因此f(x)在12，12a上是減函數(shù)，在12a，1上是增函數(shù)，f(x)的最小值為f12a114aln(2a).當(dāng)12a12，即a0，因此f(x)在12，1上是增函數(shù)，f(x)的最小值為f12 1234aln 2.綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間12，1上的最小

18、值為：f(x)min1234aln 2，a1，114aln（2a） ，1a12，1a，12a0，g(x)6x22x1 的200 恒成立，故f(x)0 恒成立，即f(x)在定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).答案a4.(20 xx安徽江淮十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)12x29lnx在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.(1，2b.4，)c.(，2d.(0，3解析易知f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)x9x.由f(x)x9x0，解得 0 x0，a13，解得 10，則x0)，則f(x)1x3(x0).f(1)2，在點(diǎn)(1，3)處的切線方程為y32(x1)，即y2x1.答案2xy108.(20 xx郴州三模)已知奇函數(shù)f(x)exx1（x0） ，h（x）（x0 時(shí)，f(x)exx1，f(x)ex（x1）x2，當(dāng)x(