高考復(fù)習方案大二輪全國新課標數(shù)學文科高考備考方法策略：專題篇平面解析幾何 6 用公式 簡解幾道高考題 Word版含答案

1、高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5用公式簡解幾道高考題由不同兩點確定的直線方程的兩點式為即 當時(一定有)，直線的方程是；當時(一定有)，直線的方程是.而這兩種情形均可由得到,所以由兩點確定的直線方程就是，也即 由此還可證得定理1 設(shè)是不同的兩點，則(1)坐標原點到直線的距離是；(2)的面積是.這里再給出定理1(2)的一種證法(由定理1(2)及立得定理1(1).另證 下面用定理1(2)簡解幾道高考題.高考題1 (2009·陜西·文理·21)已知雙曲線的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為.(i)求雙曲線的方程；(ii)如圖1，是雙曲線上一點， 兩點在雙曲線的兩條漸

2、近線上，且分別位于第一、二象限.若，求面積的取值范圍.圖1解 (i)(過程略).(ii)可設(shè)，由定理1(2)及題設(shè)得. 由定比分點坐標公式，得，把它代入雙曲線的方程，化簡得，所以 可得面積的取值范圍是.高考題2 (2007·陜西·理·21(即文·22)已知橢圓的離心率是，短軸的一個端點與右焦點的距離是.(i)求橢圓的方程；(ii)設(shè)直線與橢圓交于兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.解 (i)(過程略).(ii)設(shè)，由定理1(2)及題設(shè)得由橢圓的參數(shù)方程知，可設(shè)，得從而可得，當且僅當點是橢圓的兩個頂點且時的面積取到最大值，且最大值是.注 參考答案

3、對第(ii)問的解答是常規(guī)的但運算量很大：當直線的斜率不存在時，可得|ab|=；當直線的斜率存在時，可設(shè)，.所以，得面積的最大值是.還可得到上面這道高考題的一般情形：定理2 設(shè)直線與長半軸長、短半軸長分別是的橢圓交于不同的兩點，橢圓的中心與直線的距離為常數(shù)，則面積的最大值是. 證明 可設(shè)橢圓，其中心是坐標原點，又設(shè)，由定理1(2)及題設(shè)得由橢圓的參數(shù)方程知，可設(shè)，得從而可得，的面積的最大值是.注 若將定理2中的“常數(shù)”兩字去掉，所得結(jié)論也成立.高考題3 (2008·海南、寧夏·理·21)設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為(i)求的解析式.(ii)證明：函數(shù)的圖象是一個

4、中心對稱圖形，并求其對稱中心；(iii)證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值(答案：(i)；(iii)2.)高考題4 (2008·海南、寧夏·文·21)設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為(i)求的解析式；(ii)證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值(答案：(i)；(ii)6.)下面給出這兩道高考題結(jié)論的推廣.先介紹筆者主持的中學數(shù)學(高中)“新題征展”欄目刊登的一道題(供題人：陳祥)：新題 (1)求到兩條相交定直線的距離之積等于正常數(shù)的點的軌跡；(2)證明：曲線是以直線為漸近線的雙曲線；(3)函

5、數(shù)的圖象是以直線為漸近線的雙曲線.解 (1)以相交定直線的夾角平分線為坐標軸，如圖2建立直角坐標系，可設(shè)的方程分別是，動點到的距離之積為 圖2 所以所求的軌跡是以兩條相交定直線為漸近線的兩條雙曲線.注 由線性規(guī)劃知識還可得：當?shù)闹凳沟闹低枙r，方程表示焦點在軸上的雙曲線；當?shù)闹凳沟闹诞愄枙r，方程表示焦點在軸上的雙曲線.(2) 得，所以由結(jié)論(1)知，它表示以兩條相交定直線為漸近線的兩條雙曲線.又由題設(shè)中的等式知：當時，的值使的值同號；當時，的值使的值異號.所以，欲證成立.(3)函數(shù)的圖象即曲線，所以由結(jié)論(2)得結(jié)論(3)成立.定理3 (1)雙曲線上任一點的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積是；

6、(2)雙曲線上任一點的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積是；(3)雙曲線上任一點的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積是.證明 (1)如圖3，可求得過雙曲線上任一點的切線方程是，還可求得它與兩條漸近線的交點分別為，再由定理1(2)可立得欲證成立. 圖3(2)由，得.所以過雙曲線上任一點的切線方程是從而可求得它與兩條漸近線的交點分別為，再由定理1(2)可立得欲證成立.(3) 因為，所以雙曲線是由雙曲線沿向量平移后得到的，所以由結(jié)論(2)立得結(jié)論(3)成立.高考題5 (20xx·重慶·理·20)已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率.(i)求雙曲線的標準方程及其漸近線方

7、程；(ii)如圖4，已知過點的直線與過點(其中)的直線的交點在雙曲線上，直線與兩條漸近線分別交于兩點，求的面積.圖4解 (i)(過程略)雙曲線的標準方程為，其漸近線方程為.(ii)由“兩點確定一直線”可得直線的方程為：.分別解方程組，得.因為點在雙曲線上，所以.由定理1(2)，得注 下面將指出圖4的錯誤：因為點關(guān)于軸的對稱點也在雙曲線上，而雙曲線在點處的切線方程為即也即直線，所以直線與雙曲線應(yīng)當相切，而不是相離.高考題6 (20xx·四川·理·12)在集合1,2,3,4,5中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成以原點為起點的向量.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量

8、為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)為，則( )a. b. c. d.解 基本事件是由向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，得.由定理1(2)可得：組成面積為2的平行四邊形的向量有3對：.組成面積為4的平行四邊形的向量有2對：.組成面積為6的平行四邊形的向量有2對：.組成面積為8的平行四邊形的向量有3對：.組成面積為10的平行四邊形的向量有2對：.組成面積為14的平行四邊形的向量有1對：.組成面積為16的平行四邊形的向量有1對：.組成面積為18的平行四邊形的向量有1對：.滿足條件的事件有個，所以.高考題7 (20xx·四川·

9、文·12)在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成以原點為起點的向量.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作為平行四邊形的個數(shù)為，其中面積等于2的平行四邊形的個數(shù)，則( )a. b. c. d.(答案：b)高考題8 (20xx·山東·理·22)已知動直線與橢圓交于兩不同點，且的面積，其中為坐標原點.(i)證明：和均為定值；(ii)設(shè)線段的中點為，求的最大值； (iii)橢圓上是否存在三點，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由.解 (i)可設(shè)，由定理1(2)，得z)所以.(ii)在(i)的解答中：當為奇數(shù)時，得，所以.當為偶數(shù)時，得，所以.所以的最大值是.(iii)可設(shè)，由(i)的解答知z) 把這三式相加，得z)，這不可能！所以橢圓上不存在三點，使得.高考題9 (20xx·山東·文·22)在平面直角坐標系中，已知橢圓c的中心在原點o，焦點在軸上，短軸長為2，離心率為.(i)求橢圓c的方程；(ii)為橢圓c上滿足的面積為的任意兩點，e為線段的中點，射線oe交橢圓c與點p，設(shè)，求實數(shù)的值.解 (i)(過程略).(ii)當直線的斜率不存在時，可求得