高考第一輪復習數(shù)學：12.2 總體期望值和方差的估計

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.512.2 總體期望值和方差的估計知識梳理1.平均數(shù)的計算方法（1）如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，xn，那么=（x1+x2+xn）叫做這n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，讀作“x拔”.（2）當一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的各個數(shù)值較大時，可將各數(shù)據(jù)同時減去一個適當?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a.（3）加權(quán)平均數(shù)：如果在n個數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+fk=n），那么=.2.方差的計算方法（1）對于一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標準差.（2）公式

2、s2=（x12+x22+xn2）n2.（3）當一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn中的各數(shù)較大時，可以將各數(shù)據(jù)減去一個適當?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna.則s2=（x12+x22+xn2）n.3.總體平均值和方差的估計人類的長期實踐和理論研究都充分證明了用樣本的平均數(shù)估計總體平均值，用樣本方差估計總體方差是可行的，而且樣本容量越大，估計就越準確.點擊雙基1.描述總體離散型程度或穩(wěn)定性的特征數(shù)是總體方差，以下統(tǒng)計量估計總體穩(wěn)定性的是a.樣本均值 b.樣本方差c.樣本最大值 d.樣本最小值解析：統(tǒng)計學的基本思想是用樣本來估計總體.因此選b.答案：b2.甲、乙兩人在相同的條件下，射擊10

3、次，命中環(huán)數(shù)如下：甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5；乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計兩人的技術(shù)穩(wěn)定性，結(jié)論是a.甲優(yōu)于乙 b.乙優(yōu)于甲c.兩人沒區(qū)別 d.兩人區(qū)別不大解析：x甲=（8+6+5）=7.1，x乙=（7+6+7）=6.9.s甲2=（87.1）2+（57.1）2=3.69，s乙2=（76.9）2+（76.9）2=1.29.乙優(yōu)于甲.答案：b3.樣本a1，a2，a3，a10的平均數(shù)為，樣本b1，b2，b3，b10的平均數(shù)為，那么樣本a1，b1，a2，b2，a10，b10的平均數(shù)為a.+ b.（+）c.2（+） d.（+）解析：樣本a1，a2，a3，

4、a10中ai的概率為pi，樣本b1，b2，b3，b10中bi的概率為pi，樣本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10，b10中ai的概率為qi，bi的概率為qi，則pi=2qi，故樣本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10，b10的平均數(shù)為a1q1+b1q1+a2q2+b2q2+a10q10+b10q10=（a1p1+a10p10）+（b1p1+b2p2+b10p10）=（+）.答案：b4.電池廠從某日生產(chǎn)的電池中抽取10個進行壽命測試，得到數(shù)據(jù)如下（單位：h）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.則該電池的平均壽命估計為_，方差估計為_.解析：=（30+35+

5、25+25+30+34+26+25+29+21）=（0+555+0+44519）+30=28，s2=（3028）2+（3528）2+（2528）2+（2528）2+（3028）2+（3428）2+（2628）2+（2528）2+（2928）2+（2128）2=（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4.答案：28 17.4典例剖析【例1】 是x1，x2，x100的平均數(shù)，a是x1，x2，x40的平均數(shù)，b是x41，x42，x100的平均數(shù)，則下列各式正確的是a.=b.=c.=a+bd.=剖析：這100個數(shù)的平均數(shù)是a+b還是（a+b），這都很容易讓人誤解.我們可以從概率及加權(quán)平

6、均數(shù)的角度來思考.設(shè)pi是x1，x2，x100中xi被抽到的概率，qi是x1，x2，x40中xi被抽到的概率，ri是x41，x42，x100中xi被抽到的概率，則pi=qi，pi=ri.故x1，x2，x100的平均數(shù)=（x1q1+x2q2+x40q40）+（x41r41+x100r100）=a+b.答案：a評述：除上述解法外，你還有其他解法嗎？特別提示除了上述方法外，我們還可以先分別求出x1+x2+x40=40a，x41+x42+x100=60b，再求.【例2】 甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)）甲108999乙1010799如果甲、乙兩人

7、只有1人入選，則入選的應是_.剖析：判斷誰入選，首先應考慮選手的成績是否穩(wěn)定.因此分別求其方差.甲的平均數(shù)為1=（10+8+9+9+9）=9，乙的平均數(shù)為2=（10+10+7+9+9）=9，甲的方差為s甲=（109）2×+（89）2×=，乙的方差為s乙=（109）2××2+（79）2×=.s乙s甲，說明乙的波動性大，故甲入選.答案：甲評述：方差的大小可看出成績的穩(wěn)定性，平均數(shù)的大小可看出成績的高低.【例3】 某班40人隨機分為兩組，第一組18人，第二組22人，兩組學生在某次數(shù)學檢測中的成績?nèi)缦卤恚悍?組平均成績標準差第一組906第二組804求全

8、班的平均成績和標準差.剖析：代入方差公式s2=（x12+x22+xn2）n2即可求得.解：設(shè)全班的平均成績?yōu)?，全班成績的方差為s2，則s12=（x12+x22+x182）18×902=36，s22=（x192+x202+x402）22×802=16.=（90×18+80×22）=84.5，s2=（x12+x22+x182）+（x192+x202+x402）40·2=18×（36+8100）+22×（16+6400）40×=（146448+14115210×1692）=×1990=49.75.s=

9、7.05.評述：平均成績應為總成績除以總?cè)藬?shù)，而總成績可由每組成績之和求得.【例4】 已知c為常數(shù)，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，sc2=（x1c）2+（x2c）2+（xnc）2.證明：s2sc2，當且僅當c=時，取“=”.剖析：證明sc2s2，可證明sc2s20.因此應用方差公式進行變形即可.證明：s2=（x1）2+（xn）2=（x12+x22+xn2）n2，sc2=（x1c）2+（x2c）2+（xnc）2=（x12+x22+xn2）2c（x1+x2+xn）+nc2，sc2s2=2（x1+x2+xn）+c2=22c·+c2=（c）20.sc2s2，當且僅當=c時取“=”

10、.評述：作差是比較大小的常用手段.闖關(guān)訓練夯實基礎(chǔ)1.一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都乘以2，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差是a.s2 b.2s2 c.4s2 d.s2解析：由方差公式易求得新數(shù)據(jù)的方差為4s2.答案：c2.某班有48名學生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學的成績有誤，甲實得80分卻記為50分，乙實得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是a.70，25 b.70，50c.70，1.04 d.65，25解析：易得沒有改變，=70，而s2=（x12+x22+502+1002+x482）482=75，s2=（x12+x22+802+70

11、2+x482）482=（75×48+48212500+11300）482=75=7525=50.答案：b3.甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）：品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)品比較穩(wěn)定的小麥品種是_.解析：甲=（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，乙=（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，s甲2=（9.810）2+（9.910）2+（10.110）2+（1010）2+（10.210）2=0.02，s乙2=（9.410）2+（10.310

12、）2+（10.810）2+（9.710）2+（9.810）2=0.244.所以，甲比乙穩(wěn)定.答案：甲4.為了科學地比較考試的成績，有些選拔性考試常常會將考試分數(shù)轉(zhuǎn)化為標準分，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為z=（其中x是某位學生的考試分數(shù)，是該次考試的平均分，s是該次考試的標準差，z稱為這位學生的標準分）.轉(zhuǎn)化成標準分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負值，因此，又常常再將z分數(shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分數(shù).例如某次學生選拔考試采用的是t分數(shù)，線性變換公式是t=40z+60.已知在這次考試中某位考生的考試分數(shù)是85分，這次考試的平均分是70分，標準差是25，則該考生的t分數(shù)為_.解析：由已知z=，t=40×+60=24+60

13、=84.故考生成績的t分數(shù)為84.答案：845.已知兩家工廠，一年四季上繳利稅情況如下（單位：萬元）：季 度一二三四甲 廠70508040乙 廠55655565試分析兩廠上繳利稅的情況.解：甲、乙兩廠上繳利稅的季平均值分別為甲=（70+50+80+40）=60，乙=（55+65+55+65）=60；甲、乙兩廠上繳利稅的方差為s甲2=（7060）2+（5060）2+（8060）2+（4060）2=250，s乙2=（5560）2+（6560）2+（5560）2+（6560）2=25.經(jīng)上述結(jié)果分析，兩廠上繳利稅的季平均值相同，但甲廠比乙廠波動大，導致它們生產(chǎn)出現(xiàn)的差異大，乙廠不同季節(jié)的繳稅量比較接

14、近平均值，生產(chǎn)穩(wěn)定，而甲廠不穩(wěn)定.培養(yǎng)能力6.某校從甲、乙兩名優(yōu)秀選手中選拔1名參加全市中學生百米比賽，該校預先對這兩名選手測試了8次，成績?nèi)缦卤恚哼x手成績（s）12345678甲12.112.21312.513.112.512.412.2乙1212.412.81312.212.812.312.5根據(jù)成績，請你作出判斷，派哪位選手參加更好，為什么？解：甲=12.4=乙，s甲2=0.12，s乙20.10，甲、乙兩人的平均成績相等，但乙的成績較穩(wěn)定，應派乙選手參加比賽.7.某農(nóng)場為了從三種不同的西紅柿品種中選取高產(chǎn)穩(wěn)定的西紅柿品種，分別在五塊試驗田上試種，每塊試驗田均為0.5公頃，產(chǎn)量情況如下：品

15、 種產(chǎn)量（kg）12345121.520.422.021.219.9221.318.918.921.419.8317.823.321.419.120.9問：哪一品種的西紅柿既高產(chǎn)又穩(wěn)定？解：1=（21.5+20.4+19.9）=21，2=（21.3+18.9+19.8）=21，3=（17.8+23.3+20.9）=20.5，s1=0.756，s2=1.104，s3=1.901.由1=2>3，而s1<s2<s3，說明第1種西紅柿品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定.8.甲、乙兩臺機床在相同的條件下同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中各抽測10個，它們的尺寸分別為（單位：mm）：甲：10.2 10.1 10.

16、9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)與方差，如果圖紙上的設(shè)計尺寸為10 mm，從計算結(jié)果看，用哪臺機床加工這種零件較合適？解：甲=（10.2+10.1+10.1）=10，乙=（10.3+10.4+10）=10，s甲2=（10.210）2+（10.110）2+（10.110）2=0.03，s乙2=（10.310）2+（10.410）2+（1010）2=0.06.由上述結(jié)果分析，甲臺機床加工這種零件穩(wěn)定，較合適.探究創(chuàng)新9.有一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及

17、各組的頻數(shù)如下：12.5，15.5），6；15.5，18.5），16；18.5，21.5），18；21.5，24.5），22；24.5，27.5），20；27.5，30.5），10；30.5，33.5），8.（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計數(shù)據(jù)小于30.5的概率.解：（1）樣本的頻率分布表如下：分 組頻 數(shù)頻 率12.515.560.0615.518.5160.1618.521.5180.1821.524.5220.2224.527.5200.2027.530.5100.1030.533.580.08合 計1001.00（2）頻率分布直方圖如下圖.（3）數(shù)據(jù)大于

18、等于30.5的頻率是0.08，小于30.5的頻率是0.92.數(shù)據(jù)小于30.5的概率約為0.92.探究：解決總體分布估計問題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除組距得組數(shù)）；（2）分別計算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應的估計.注意直方圖與條形圖的區(qū)別.思悟小結(jié)1.用樣本估計總體，除在整體上用樣本的頻率分布估計總體分布外，還可以用平均值和方差對總體進行估計，即用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)；用樣本方差s2去估計總體的方差2，進一步對總體的分布作出判斷.2.進行幾次實驗，得到樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn，設(shè)c是任意常數(shù)，k為任意的正數(shù)，作變換yi=（xic）（i=