最新一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：熱點(diǎn)探究課5　平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)題型 Word版含解析

1、 熱點(diǎn)探究課(五)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)題型命題解讀圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問(wèn)題為主這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問(wèn)或第(3)問(wèn)中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問(wèn)題的能力要求較高，通常作為壓軸題的形式出現(xiàn)熱點(diǎn)1圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的又一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系另外拋物線的準(zhǔn)線，

2、雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn)(20xx·石家莊質(zhì)檢)如圖1，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f2的直線交橢圓于p，q兩點(diǎn)，且pqpf1.圖1(1)若|pf1|2，|pf2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|pf1|pq|，求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義，2a|pf1|pf2|(2)(2)4，故a2.2分設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知pf1pf2，因此2c|f1f2|2.即c，從而b1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.5分 (2)連接f1q，如圖，由橢圓的定義知|pf1|pf2|2a，|qf1|qf2|2a，又|pf1|pq|pf2|qf2|(2a|pf

3、1|)(2a|qf1|)，可得|qf1|4a2|pf1|.又因?yàn)閜f1pq且|pf1|pq|，所以|qf1|pf1|.由可得|pf1|(42)a，8分從而|pf2|2a|pf1|(22)a.由pf1pf2知|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即(42)2a2(22)2a24c2，10分可得(96)a2c2，即96，因此e.12分規(guī)律方法1.用定義法求圓錐曲線的方程是常用的方法，同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2圓錐曲線的離心率刻畫(huà)曲線的扁平程度，只要明確a，b，c中任意兩量的等量關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，

4、它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x24y的焦點(diǎn)(1)求橢圓方程；(2)若直線yx1與拋物線相切于點(diǎn)a，求以a為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)因?yàn)閽佄锞€x24y的焦點(diǎn)為(0,1)，所以b1.4分由離心率e，a2b2c21c2，從而得a，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.6分(2)由解得所以點(diǎn)a(2,1).8分因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y1，所以圓的半徑r1(1)2，10分所以圓的方程為(x2)2(y1)24.12分熱點(diǎn)2圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題定點(diǎn)、定值問(wèn)題一般涉及曲線過(guò)定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問(wèn)題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積

5、、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問(wèn)題角度1圓錐曲線中的定值問(wèn)題(20xx·北京高考)已知橢圓c：1(ab0)的離心率為，a(a,0)，b(0，b)，o(0,0)，oab的面積為1.(1)求橢圓c的方程；(2)設(shè)p是橢圓c上一點(diǎn)，直線pa與y軸交于點(diǎn)m，直線pb與x軸交于點(diǎn)n.求證：|an|·|bm|為定值解(1)由題意得解得3分所以橢圓c的方程為y21.5分(2)證明：由(1)知，a(2,0)，b(0,1)設(shè)p(x0，y0)，則x4y4.當(dāng)x00時(shí)，直線pa的方程為y(x2)令x0，得ym，從而|bm|1ym|.直線pb的方程為yx1.8分令y0，得xn，從而|an|2xn|.所以|

6、an|·|bm|·4.10分當(dāng)x00時(shí)，y01，|bm|2，|an|2，所以|an|·|bm|4.綜上，|an|·|bm|為定值.12分規(guī)律方法1.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值2定值問(wèn)題求解的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，然后證明與參數(shù)無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的角度2圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題設(shè)橢圓e: 1(a>b>0)的離心率為e，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓e的方程；(2)設(shè)橢圓e的左頂點(diǎn)是a，若直線l：xmyt0與橢圓

7、e相交于不同的兩點(diǎn)m，n(m，n與a均不重合)，若以mn為直徑的圓過(guò)點(diǎn)a，試判定直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962427】解(1)由e2，可得a22b2，2分橢圓方程為1，代入點(diǎn)可得b22，a24，故橢圓e的方程為1.5分(2)由xmyt0得xmyt，把它代入e的方程得：(m22)y22mtyt240，設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)得：y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.8分因?yàn)橐詍n為直徑的圓過(guò)點(diǎn)a，所以aman，所以·(x12，y1)·(x22，y2)x

8、1x22(x1x2)4y1y22×40.因?yàn)閙，n與a均不重合，所以t2，所以t，直線l的方程是xmy，直線l過(guò)定點(diǎn)t，10分由于點(diǎn)t在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，所以直線l過(guò)定點(diǎn)t.12分規(guī)律方法1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)2從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意熱點(diǎn)3圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些

9、問(wèn)題(20xx·杭州調(diào)研)已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)a，b關(guān)于直線ymx對(duì)稱 圖2(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求aob面積的最大值(o為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線ab的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.2分因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b22>0.將線段ab中點(diǎn)m代入直線方程ymx，解得b.由得m<或m>.故m的取值范圍是.5分(2)令t，則|ab|·，且o到直線ab的距離為d.9分設(shè)aob的面積為s(t)，所以s(t)|ab|·d，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)，即m±時(shí)，等號(hào)成立故aob面積的最大值為

10、.12分規(guī)律方法范圍(最值)問(wèn)題的主要求解方法：(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖3所示，設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，拋物線上的點(diǎn)a到y(tǒng)軸的距離等于|af|1.(1)求p的值；圖3(2)若直線af交拋物線于另一點(diǎn)b，過(guò)b與x軸平行的直線和過(guò)f與ab垂直的直線交于點(diǎn)n，an與x軸交于點(diǎn)m.求m的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)a到焦點(diǎn)f的距離等于點(diǎn)a到直線x1的距離

11、，由拋物線的定義得1，即p2.5分(2)由(1)得，拋物線方程為y24x，f(1,0)，可設(shè)a(t2,2t)，t0，t±1.因?yàn)閍f不垂直于y軸，可設(shè)直線af：xsy1(s0)由消去x得y24sy40.故y1y24，所以b.8分又直線ab的斜率為，故直線fn的斜率為.從而得直線fn：y(x1)，直線bn：y，所以n.設(shè)m(m,0)，由a，m，n三點(diǎn)共線得，于是m2，所以m<0或m>2.10分經(jīng)推理知，m<0或m>2滿足題意綜上，點(diǎn)m的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)(2，).12分熱點(diǎn)4圓錐曲線中的探索性問(wèn)題(答題模板)圓錐曲線中的探索性問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

12、(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否成立涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題(本小題滿分12分)(20xx·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c：y與直線l：ykxa(a0)交于m，n兩點(diǎn)(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求c在點(diǎn)m和n處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)p，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有opmopn？說(shuō)明理由規(guī)范解答(1)由題設(shè)可得m(2，a)，n(2，a)，或m(2，a)，n(2，a).1分又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，c在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.3分y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，c在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2

13、)，即xya0.故所求切線方程為xya0或xya0.6分(2)存在符合題意的點(diǎn)證明如下：設(shè)p(0，b)為符合題意的點(diǎn)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直線pm，pn的斜率分別為k1，k2.8分將ykxa代入c的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.10分當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補(bǔ)，故opmopn，所以點(diǎn)p(0，a)符合題意12分答題模板第一步：分別求出曲線y在m點(diǎn)，n點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)第二步：利用點(diǎn)斜式分別寫(xiě)出在m點(diǎn)、n點(diǎn)的切線方程第三步：聯(lián)立直線ykxa與拋物線y，并寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系式第四步：由kpmkpn0，結(jié)合根與系數(shù)的

14、關(guān)系式，探索點(diǎn)p的坐標(biāo)第五步：檢驗(yàn)反思，查關(guān)鍵點(diǎn)，規(guī)范步驟溫馨提示1.(1)在第(2)問(wèn)中，不能把條件opmopn適當(dāng)轉(zhuǎn)化為k1k20，找不到解題的思路和方法，而不能得分(2)運(yùn)算能力差或運(yùn)算不細(xì)心，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤而扣分或者不得分2數(shù)學(xué)閱卷時(shí)，主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)，有則得分，無(wú)則扣分，所以解題時(shí)要寫(xiě)全關(guān)鍵步驟(1)本題的關(guān)鍵點(diǎn)一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，二是把條件中轉(zhuǎn)化為只需直線pm，pn的斜率之和為0.(2)解析幾何對(duì)運(yùn)算能力要求較高，解題時(shí)一定要細(xì)心準(zhǔn)確，否則可能是思路正確，但是運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不得分對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖4，橢圓e：1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)p(0,1)在短軸cd上，且·1.圖4(1)求橢圓e的方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p的動(dòng)直線與橢圓交于a，b兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知，點(diǎn)c，d的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，2分于是解得a2，b.所以橢圓e的方程為1.5分(2)當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ab的方程為ykx1，a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x