高中圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論） ，消去四個(gè)參數(shù)。如：（ 1 ） x2y 21(ab0) 與直線相交于A、 B，設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0 ,y0)，則有a 2b 2x0y0k0 。a2b2x2y21(a0,b0) 與直線 l 相交于 A、B，設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x0,y0)則有（ 2）b2a 2x0y0k0a2b 2（ 3）y2=2px（ p>0）與直線 l 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x 0

2、,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例題給定雙曲線。過 A（ 2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)及，求線段的中點(diǎn) P 的軌跡方程。（2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典 型 例 題設(shè)P(x,y)為 橢圓上 任 一點(diǎn)，為焦 點(diǎn)，。（ 1）求證離心率esin()；sinsin（ 2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來(lái)處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)

3、合三大曲線的定義去解。典型例題（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（ 2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、 B，且 OA OB，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t) 的表達(dá)式。（ 4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（ 1），可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式，通過解不等式求出a 的范圍，即： “ 求范圍，找不等式 ”。或者將 a 表示為另一個(gè)變

4、量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對(duì)于（ 2）首先要把 NAB 的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問題，函數(shù)思想 ”。最值問題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、 y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線 y2=2px(p>0)，過 M（ a,0）且斜率為 1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB| 2p（ 1）求 a 的取值范圍；（ 2）若線段 A

5、B 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) N，求 NAB 面積的最大值。（ 5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 L 過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上。若點(diǎn)A（ -1， 0）和點(diǎn) B（ 0，8）關(guān)于 L 的對(duì)稱點(diǎn)都在 C上，求直線 L 和拋物線 C 的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（ 2，0）和圓 C：x2+y2 =1, 動(dòng)M點(diǎn) M 到圓 C的切線長(zhǎng)與 |MQ| 的比等于常數(shù)（ >0）,N求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。OQ（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱

6、問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。 （當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來(lái)解決）典型例題已知橢圓C 的方程，試確定m 的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓 C 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來(lái)處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理。典型例題已知直線的斜率為，且過點(diǎn)，拋物線，直線與拋物線 C 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）。（ 1）求的取值范圍；（ 2）直線的傾斜角為何值時(shí)， A、 B 與拋物線C 的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中， 學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上， 如果我們能夠充分

7、利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線與圓相交于P、 Q 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值。（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于 P、Q 兩點(diǎn)，且，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系

8、方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓和0 的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 余弦，利用正、余弦的有界性， 可以解決相關(guān)的求最值的問題 這也是我們常說的三角代換法。典型例題P 為橢圓 x2y21上一動(dòng)點(diǎn)， A 為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)， B 為短軸的上端點(diǎn)，求四a2b2邊形 OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)。（5）線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB 長(zhǎng)的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則1k 2·，

9、若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算| a |過程。例求直線被橢圓所截得的線段AB 的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)， 結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， AB 是經(jīng)過的弦，若，求值| F2A|F2B| 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點(diǎn) A（ 3，2）為定點(diǎn)， 點(diǎn)F 是拋物線的焦點(diǎn)， 點(diǎn)P 在拋物線上移動(dòng)，若取得最小值，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（ 2）與直

10、線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 k tan ,0, ) 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 dAx0By0C夾角公式：A2B2tank2k11k2 k1（3）弦長(zhǎng)公式直線 ykx b 上兩點(diǎn) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 間的距離： AB1 k 2 x1 x2(1k 2 )( x1 x2 )24x1x2 或 AB11y1 y2k2（4）兩條直線的位置關(guān)系 l1l2k1k2 =-1 l1 / l2k1k2 且b1b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標(biāo)準(zhǔn)方程： x2y21(m0, n0且 mn)mn距離式方程：(xc)2y2( x c)2y22a參數(shù)

11、方程： xa cos , yb sin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程： x2y21(m n0)mn距離式方程： | ( xc)2y2(x c)2y2 | 2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？2b22b2橢圓：；雙曲線：a；拋物線：2 pa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知 F1、F2 是橢圓 x2y 21的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M 滿43足 MF1MF 22則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是（）A、雙曲線； B、雙曲線的一支； C、兩條射線； D、一條射線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式： P在橢圓上時(shí)， S F PF2b2 tan12P在雙曲線上時(shí)， S F PFb2 cot212（其

12、中 F PF,cos| PF1 |2| PF2 |24c2, PFPF2|PF |PF| cos）12|PF1| |PF2 |112(6) 、記住焦半徑公式：（1）橢圓焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)為 aex0 ; 焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為 aey0，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減” 。（2） 雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e | x0|a（3） 拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為| x1 |p ,焦點(diǎn)在2y軸上時(shí)為| y1 |p2(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）設(shè) A x , y、 B x, y2， Ma, b 為橢圓 x 2y 21 的弦 AB 中點(diǎn)則有11243x12y121 ，

13、 x22y221 ；兩式相減得 x12x22y12y220434343x1x2 x1x2y1y2y1 y2k AB =3a434b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程， 使用判別式 0 ，以及根與系數(shù)的關(guān)系， 代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn) A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到 12兩個(gè)式子，然后 1-2 ，整體消元······，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系

14、， 消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn) A、B、F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系， 根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線為 y kx b ，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓 4x2 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn) A 在 y 軸正半軸上）.5 y 280上，且點(diǎn)A（1）若三角形ABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC 的方程;（2）若角 A 為 900 ，AD 垂直 BC 于 D ，試求點(diǎn) D 的軌跡方程 .分析：第一問抓住“重心” ，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC 的斜率，從而寫出直線 BC 的方程。第二問抓住角 A 為

15、 900 可得出 ABAC，從而得 x1 x2y1 y214( y1y2 )160 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D 的軌跡方程；解：（1）設(shè)B （ x1 , y1） ,C( x2, y2 ),BC 中點(diǎn)為 ( x0 , y0 ),F(2,0)則有x12y121, x22y22120162016兩式作差有( x1x2 )( x1x2 ) ( y1y2 )( y1y2 )x0y0 k(1)20160504F(2,0)為三角形重心，所以由x1x22 ，得 x03 ，由 y1y240 得33y062 ，代入（ 1）得 k5直線 BC 的方程為 6x5 y2802)由 ABAC 得 x1x2y1

16、y214( y1y2 )160 （2）設(shè)直線 BC方 程 為ykx, 代入4x25280，得by(45k 2 )x 210bkx 5b2800x1x210kb， x1 x25b 2805k245k24y1y28k, y1 y24b 280k 2代入（ 2）式得5k24245k9b232b160 ，解得 b4(舍 ) 或 b445k 29y4y4直線過定點(diǎn)（0，4)， 設(shè) D （ x,y ）， 則91 ， 即x9x9 y 29x 232y16 0所以所求點(diǎn) D 的軌跡方程是 x 2( y16)2( 20) 2 ( y4) 。994、設(shè)而不求法例 2、如圖，已知梯形 ABCD 中 AB2 CD ，

17、點(diǎn) E 分有向線段AC 所成的比為，雙曲線過 C、D、E 三點(diǎn)，且以 A、B 為焦點(diǎn)當(dāng) 23 時(shí)，34求雙曲線離心率e 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè) Cc ,h，代入x2y 21，求得h，2a 2b2進(jìn) 而 求 得 xE, yE, 再 代 入 x2y 2 1 ， 建 立 目 標(biāo) 函 數(shù)a2b 2f (a,b,c, ) 0 ，整理 f (e,) 0 ，此運(yùn)算量可見是難上加難 .我們對(duì) h 可采取設(shè)而不求的解題策略 ,建立目標(biāo)函數(shù) f (a,b,c, )0 ，整理 f

18、(e, )0 ,化繁為簡(jiǎn) .解法一：如圖，以AB 為垂直平分線為 y 軸，直線 AB 為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系 xOy ，則 CD y 軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn) C、D，且以 A、 B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 C、D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱依題意，記 Ac,0 ，C c , h ，E x0 , y0 ，其中 c1 | AB | 為雙22曲線的半焦距，h 是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得cc2 chx02，y01211設(shè)雙曲線的方程為x2y21 ，則離心率 eca2b2a由點(diǎn) C、E 在雙曲線上，將點(diǎn) C、E 的坐標(biāo)和 ec 代入雙曲線方a程得e2h21，4b2e22h21411 b2由式得h 2e2

19、1 ，b24將式代入式，整理得e24412，4故由題設(shè)解得13e2123得，21323343e247e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,10分析：考慮 AE , AC 為焦半徑 ,可用焦半徑公式 ,AE , AC 用 E, C 的橫坐標(biāo)表示，回避 h 的計(jì)算 , 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一，AEa exE , AC aexC ，cc2 c ，又 AE3 ，由題2，代入整理xE12121AC1e1設(shè) 23得，2133343e22 4解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,105、判別式法例 3 已知雙曲線 C : y2x 21，直線 l 過點(diǎn) A 2,0 ，斜率為 k

20、，當(dāng) 0 k 122時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為 2 ，試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) B 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn)B 作與 l 平行的直線，必與雙曲線C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0 . 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l : y k( x2) 0 k 1直線 l在 l 的上方且到直線l 的距離為2把直線 l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0l ': y kx2k 222k解得 k的值解題過程略 .

21、分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}kx2x22k關(guān)于x 的方程20k1有唯一k 21轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn) M ( x,2x2 ) 為雙曲線C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M 到直線 l 的距離為：kx 2x 22k0 k 1k 212于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x 的方程 .由于 0k1，所以2x 2xkx ，從而有kx2x22kkx2x22k.于是關(guān)于 x 的方程kx2x22k2( k 21)22( k2kx) 2 ,2x2(1)2k2(k 2

22、1)2kkx0k 21 x22(k 22(k 222k1)2k x1)2k2 0,2(k 21)2kkx0.由 0k1可知：方程 k 21 x 22k2(k 21)2k x2( k21)220的二根同2k正，故 2(k 21)2kkx0 恒成立，于是等價(jià)于k 21 x 22k2(k 21)2kx2( k 21)2k220 .由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得k2 5 .5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .例 4 已知橢圓 C:和點(diǎn) P（4，1），過 P 作直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，在線段 AB 上取點(diǎn) Q，使，求動(dòng)點(diǎn) Q

23、的軌跡所在曲線的方程 .分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn) Q( x, y) 的變化是由直線 AB 的變化引起的，自然可選擇直線 AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將 x, y 與 k 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn) Q 在直線 AB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來(lái)轉(zhuǎn)化 .由 A、B、P、Q 四點(diǎn)共線，不難得到 xxB ) 2xA xB4(x A8(x A x B )，要建立 x 與 k 的關(guān)系，只需將直線 AB 的方程

24、代入橢圓C 的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APAQPBQBx4(xAxB )2xA xB8(xAxB )將直線方程代入橢圓方程，消去y ，利用韋達(dá)定理xf k利用點(diǎn) Q 滿足直線AB 的方程： y = k (x 4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到 xf k 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于x, y 的方程（不含k），則可由 yk( x4)1 解得k y 1 ，直接代入 x f k 即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過x 4程。簡(jiǎn)解：設(shè)A x1,y1,(，y2),(, )

25、，則由APAQ4 x1x x1 ，B x2Qx yPBQB可得：4x2 xx2解之得： x4(x1x2 ) 2x1 x2（1）8( x1x2 )設(shè)直線 AB 的方程為： yk( x4)1 ，代入橢圓 C 的方程，消去 y得出關(guān)于 x 的一元二次方程：2k 21 x24k(14k )x2(14k) 280（2）x1x4k (4k1)22,2k1x1 x22(14k)28.212k代入（1 ） ，化簡(jiǎn)得：x4k 3.k 2(3)與 yk( x4)1 聯(lián)立，消去 k 得： 2xy4 (x4)0.在（2）中，由64k 264k240，解得 210k210 ，結(jié)合（3）44可求得 16 210x162

26、10.99故知點(diǎn) Q 的軌跡方程為：2xy40（ 16210x16210 ）.99點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元 ，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到 . 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 .6、求根公式法例 5 設(shè)直線 l 過點(diǎn) P（0，3），和橢圓 x 2y21順次交于 A、B 兩點(diǎn)，94試求的取值范圍 .分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP =xA ，但從此后卻一PBxB籌莫展 , 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠 . 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其

27、一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程） ，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系 .分析 1:從第一條想法入手，=xA 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于xB有兩個(gè)變量 xA , xB ，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3 個(gè)變量直線AB的斜率 . 問題就轉(zhuǎn)化為如何將 xA , xB 轉(zhuǎn)化k為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程求根公式xA= f（ k）， xB = g（

28、k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量關(guān)于k 的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)，可求得 AP1 ;PB5當(dāng) l 與 x軸不垂直時(shí)，設(shè)A x1, y1, B(x2， y2 ) ，直線 l 的方程為：y kx 3 ，代入橢圓方程，消去y 得 9k 24 x254kx 450解之得x1, 227k6 9k25 .9k 24因?yàn)闄E圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱，點(diǎn) P 在 y 軸上，所以只需考慮 k0 的情形.當(dāng) k0 時(shí)， x127k69k 25 ， x227k 69k25 ，9k 249k24所以 APx1=9k29k 25 = 118

29、k= 118.PBx29k 2 9k 259k 2 9k259 2 952k由(54k) 2180 9k 240 , 解得 k 25 ，9所以11181 ，559292k綜上1AP1 .PB5分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式， 則應(yīng)該考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 k 聯(lián)系起來(lái) . 一般來(lái)說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于 APx1不是關(guān)于 x1 , x2 的對(duì)稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問題的PBx2方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1 , x2 的對(duì)稱

30、關(guān)系式 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y得到關(guān)于x 的一元二次方程韋達(dá)定理xA+ xB = f（ k），xA xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）構(gòu)造所求量與k 的關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍關(guān)于所求量的不等式簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線l 的方程為： ykx3 ，代入橢圓方程，消去 y 得9k 24 x 254kx 450（*）則x1x254k ,9k24x1 x245.9k 24令x1，則，12324k 2.x245k 2 20在（ *）中，由判別式0, 可得 k25 ，9136 ，解得從而有4324k 236 ，所以4245k 220551.55

31、結(jié)合 01得 11.5綜上， 1AP1 .PB5點(diǎn)評(píng)：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 . 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法 .解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 . 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。 以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題， 即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。 在推理過程中， 必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦， 快速提高解題能力。例 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 A, B ， O 為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF FB1， OF 1（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方