高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)11命題北師大版1-1

1、121.1命題.2.理解四種命題及其【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解命題的概念及命題的構(gòu)成，會(huì)判斷一個(gè)命題的真假關(guān)系，掌握互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系及真假判斷口問(wèn)即導(dǎo)學(xué)'知識(shí)點(diǎn)一命題的概念思考1給出下列語(yǔ)句：若直線(xiàn)a / b,則直線(xiàn)a和直線(xiàn)b無(wú)公共點(diǎn)； 3+ 6= 7;偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng)；5能被4整除.請(qǐng)你找出上述語(yǔ)句的特點(diǎn).答案 上述語(yǔ)句有兩個(gè)特點(diǎn)：都是陳述句；能夠判斷真假梳理 (1)定義可以判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫作命題(2)分類(lèi)真命題：判斷為真的語(yǔ)句叫作真命題;假命題：判斷為假的語(yǔ)句叫作假命題.知識(shí)點(diǎn)二命題的形式思考1你能把“內(nèi)錯(cuò)角相等”寫(xiě)成“若，則”的形式嗎？答案 若兩個(gè)角為

2、內(nèi)錯(cuò)角，則這兩個(gè)角相等.思考2 "內(nèi)錯(cuò)角相等”是命題嗎？如果是命題，是真命題還是假命題？ 答案是命題，是假命題.梳理 命題的形式：“若 p,則q"，其中命題的條件是 p,結(jié)論是q.由p能推出q,則為真命題.能舉一反例即可確定為假命題 .知識(shí)點(diǎn)三 四種命題的概念思考給出以下四個(gè)命題：(1)當(dāng) x=2 時(shí)，x23x+2=0;(2)若 x23x+2= 0,則 x=2;(3)若 xw2,則 x23x+2w0;(4)若 x23x+2w0,則 xw2.你能說(shuō)出命題(1)與其他三個(gè)命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？答案 命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰好互換了 .命題(1)的

3、條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題 (4)結(jié)論的否定和條件的否定.梳理一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這兩個(gè)命題叫作互逆命題 .如果是另一個(gè)命題條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這兩個(gè)命題叫作互否命題.如果是另一個(gè)命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這兩個(gè)命題叫作互為逆否命題.把第一個(gè)叫作原命題時(shí)，另三個(gè)可分別稱(chēng)為原命題的逆命題、否命題、逆否命題知識(shí)點(diǎn)四 四種命題的關(guān)系及其真假判斷思考1原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其否命題呢？

4、答案 互逆、互否、互為逆否.思考2如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的否命題呢？它的逆否命題呢？答案 原命題為真，其逆命題不一定為真， 其否命題不一定為真， 其逆否命題一定是真命題梳理(1)四種命題的相互關(guān)系原今碑卜逆命好(2)在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題真假性相同的是逆否命題.(3)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題時(shí)，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.題型探究類(lèi)型一命題的概念例1下列語(yǔ)句：(1)也是無(wú)限循環(huán)小數(shù)；(2) x23x+2=0; (3)當(dāng)x=4時(shí)，2x>0; (4)垂直于同一條直線(xiàn)的 兩條直線(xiàn)必平行嗎？(5) 一個(gè)數(shù)不是合數(shù)就是素?cái)?shù)；(6)作ABC2'

5、;A B C' ; (7)二次函數(shù)的圖像太美了！ (8)4是集合1 , 2, 3中的元素.其中是命題的是.(填序號(hào))答案(3)(5)(8)解析 本題主要考查命題的判斷，判斷依據(jù)：一是陳述句；二是看能否判斷真假.(1)是命題,能判斷真假；(2)不是命題，因?yàn)檎Z(yǔ)句中含有變量x,在沒(méi)名變量x賦值前，我們無(wú)法判斷語(yǔ)句的真假；(3)是命題；(4)不是命題，因?yàn)椴](méi)有對(duì)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)是否平行 作出判斷；(5)是命題；(6)不是命題； 不是命題；(8)是命題.故答案為(1)(3)(5)(8).反思與感悟一般地，判定一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，要先判斷這個(gè)語(yǔ)句是不是陳述句，再看能不能判斷真假.其流

6、程圖如圖:g 硬目盧!再春運(yùn)巫/短箜耘或命一跟蹤訓(xùn)練1下列語(yǔ)句中，是命題的為 .紅豆生南國(guó)；作射線(xiàn)AR中國(guó)領(lǐng)土不可侵犯！當(dāng) xWl 時(shí)，x2 3x + 2< 0.答案解析和都不是陳述句，根據(jù)命題定義可知是命題類(lèi)型二四種命題及其相互關(guān)系命題角度1四種命題的概念例2寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假 若nr n<0,則方程 mX x+n=0有實(shí)數(shù)根；(2)弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的??；(3)若 me 0 或 n< 0,則n< 0；(4)在A(yíng)BC43,若 a>b,則/ A>ZB.解(1)逆命題：若方程 m4x+n= 0有實(shí)數(shù)卞H,

7、則 mn<0,假命題.否命題：若 m- n>0,則方程 mx- x+ n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，假命題.逆否命題：若方程 mxx+n= 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 m- n>0,真命題.(2)逆命題：若一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心， 且平分弦所對(duì)的弧，則這條直線(xiàn)是弦的垂直平分線(xiàn)，真命題.否命題：若一條直線(xiàn)不是弦的垂直平分線(xiàn)，則這條直線(xiàn)不過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧，真命題.逆否命題：若一條直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧，則這條直線(xiàn)不是弦的垂直平分線(xiàn)，真命題.逆命題：若n<0,則mco或nw0,真命題.否命題：若 m>0且n>0,則n>0,真命題.逆否命題：若n>0,則m>

8、0且n>0,假命題.(4)逆命題：在 ABC43,若/ A>/B,則a>b,真命題.否命題：在 ABO43,若a<b,則/ Aw/ B,真命題.逆否命題：在 ABC,若/ Aw/ B,則a<b,真命題.反思與感悟四種命題的轉(zhuǎn)換方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的逆命題(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題(3) 交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得命題是原命題的逆否命題 .跟蹤訓(xùn)練2 命題"若函數(shù)f(x) =log ax(a>0, awl)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則log a2<0”的逆否命題是()A.

9、若loga2<0,則函數(shù)f (x) = log ax(a>0, awi)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若loga2R0,則函數(shù)f(x) = log ax(a>0, awi)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若loga2<0,則函數(shù)f (x) = log ax(a>0, awi)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若loga2R0,則函數(shù)f(x) = log ax(a>0, awi)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)答案B解析直接根據(jù)逆否命題的定義，將其條件與結(jié)論進(jìn)行否定，再互換，值得注意的是“是減函數(shù)”的否定不能寫(xiě)成“是增函數(shù)”，而應(yīng)寫(xiě)成不是減函數(shù).命題角度 2 四種命題的相互關(guān)系例3若命題p：

10、“若x+y=0,則x, y互為相反數(shù)”的否命題為q,命題q的逆命題為r,則 r 與 p 的逆命題的關(guān)系是()A. 互為逆命題B. 互為否命題C. 互為逆否命題D. 同一命題答案 B解析 已知命題p：若x+ y=0,則x, y互為相反數(shù).命題p的否命題q為：若x+yw0,則x, y不互為相反數(shù)，命題q的逆命題為：若x, y不互為相反數(shù)，則 x+yw。，. r是p的逆否命題，. r是p的逆命題的否命題，故選 B.反思與感悟(i) 判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法利用四種命題的定義判斷；巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷，如“逆命題”與“逆否命題”中不同有“否” 一個(gè)字，是互否關(guān)系；而“逆命題”與“否命題

11、”中不同有“逆、否”二字，其關(guān)系為逆否關(guān)系 .(2) 要判斷四種命題的真假： 首先， 要熟悉四種命題的相互關(guān)系， 注意它們之間的相互性； 其次，利用其他知識(shí)判斷真假時(shí)，一定要對(duì)有關(guān)知識(shí)熟練掌握.跟蹤訓(xùn)練 3 有下列四個(gè)命題：“若x+y=0,則x, y互為相反數(shù)”的否命題；一個(gè)實(shí)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；“若x<- 3,則x2 x 6>0”的否命題；“同位角相等”的逆命題.其中真命題的個(gè)數(shù)是.答案 1解析 “若x+yw0,則x, y不是相反數(shù)”，是真命題.實(shí)數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，所以原命題是假命題“若 x>-3,則 x2x 6W0”，解不等式x 一x一6wo可得一2w xW3,

12、而x = 4>3不是不等式的解，故是假命題.“相等的角是同位角”，是假命題.類(lèi)型三等價(jià)命題的應(yīng)用例4判斷命題“已知 a, x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2<0的解集非空， 則a>1”的逆否命題的真假.解 方法一 原命題的逆否命題：已知 a, x為實(shí)數(shù)，若a<1,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+ 1)x+a2+2<0的解集為？，判斷如下：拋物線(xiàn)y=x2+(2a+1)x+a2+2的開(kāi)口向上，令 x2+(2 a+1)x+ a2+2=0,則 = (2a+1)24(a2+2) =4a7.因?yàn)閍<1,所以4a- 7<0,即關(guān)于x的不等式x2+

13、 (2a+1)x+a2+2<0的解集為？.故此命題為真命題.方法二 利用原命題的真假去判斷逆否命題的真假.因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2 + (2a+1)x+ a2+2<0的解集非空，所以(2a+1)2 4(a2+2)>0,即 4a-7>0,解得 a>y>1,4所以原命題為真，故其逆否命題為真.引申探究判斷命題“已知 a, x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+ a2+2>0的解集為R,則a<4"的逆否命題的真假.解 先判斷原命題的真假如下：因?yàn)閍, x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集為R,且拋物線(xiàn)

14、y = x2+(2a+ 1)x+a2+2的開(kāi)口向上，所以 A = (2a+1)24(a2+2) = 4a7<0,7 所以a<4.所以原命題是真命題.因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真命題.反思與感悟由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的兩個(gè)命題具有等價(jià)性，所以我們?cè)谥苯幼C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題來(lái)間接地證明原命題為真命題.跟蹤訓(xùn)練4 證明：若a24b22a+iw0,則aw2b+1.證明 “若 a24b2 2a+1 wo,則 aw2b+1” 的逆否命題為“若 a=2b+ 1,則 a24b2 2a + 1

15、=0” .a=2b+ 1,.a24b2 2a+1=(2b+1)24b22(2 b+ 1) + 1 22=4b +1 + 4b 4b 4 b 2 + 1=0.，命題“若a = 2b+1,則a24b22a+1 = 0”為真命題.由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結(jié)論正確圖當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列語(yǔ)句是命題的是()A.2 014是一個(gè)大數(shù)B.若兩條直線(xiàn)平行，則這兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)C.對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎D.a<15答案 B解析 A、D不能判斷真假，不是命題；B能夠判斷真假而且是陳述句，是命題；C是疑問(wèn)句，不是命題.2.命題“垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行”的條件是()A.兩個(gè)平面B. 一條直線(xiàn)C.

16、垂直D.兩個(gè)平面垂直于同一條直線(xiàn)答案 D解析 只要分清命題中的條件和結(jié)論即可.3.命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)”的否命題是()A.若f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)B.若f(x)不是奇函數(shù)，則f( x)不是奇函數(shù)C.若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D.若f(x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)答案 B解析否命題是既否定條件又否定結(jié)論.因此否命題應(yīng)為“若 f (x)不是奇函數(shù)，則f ( x)不是奇函數(shù)”.4 .命題“若a>b,則ac2>bc2(a, b, cC R)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.2C.3D.4答案 B解析

17、命題"若a>b,則ac2>bc2(a, b, cCR)”是假命題，則其逆否命題是假命題.該命題的逆命題為“若ac2>bc2,則a>b(a, b, cCR)”是真命題，則其否命題是真命題.故選B.5 .給出以下命題：“若x2+y2w0,則x、y不全為零”的否命題；“正多邊形都相似”的逆命題；“若m>0,則x2+xm= 0有實(shí)根”的逆否命題.其中為真命題的是.答案解析 否命題是“若x2+y2=0,則x, y全為零”，真命題.逆命題是“若兩個(gè)多邊形相似，則這兩個(gè)多邊形為正多邊形"，假命題= A=1 + 4m當(dāng)m>0時(shí)， >0,x2+xm=

18、 0有實(shí)根，即原命題為真.，逆否命題為真 .一規(guī)律與方法-,1 .可以判斷真假的陳述句是命題，命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題可以給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可.2 .任何命題都是由條件和結(jié)論卞成的，可以寫(xiě)成“若p,則q”的形式.含有大前提的命題寫(xiě)成“若p,則q”的形式時(shí)，大前提應(yīng)保持不變.3 .寫(xiě)四種命題時(shí)，可以按下列步驟進(jìn)行：(1)找出命題的條件 p和結(jié)論q；(2)寫(xiě)出條件p的否定和結(jié)論q的否定；(3)按照四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所有命題.4 .判斷命題的真假可以根據(jù)互為逆否的命題真假性相同來(lái)判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ).40 分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1. 下列語(yǔ)句中，不能成為命題的

19、是()A.5>12B.x>0C.已知a、b是平面向量，若 a，b,則a,b=0D. 三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)答案 B解析A是假命題，C D是真命題，B中含變量x,未指定x的取值范圍，無(wú)法判斷真假，故不是命題 .2. 下列說(shuō)法正確的是()A. 命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B. 語(yǔ)句“最高氣溫30時(shí)我就開(kāi)空調(diào)”不是命題C. 命題“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D.語(yǔ)句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x24x+a=0有實(shí)根”是假命題答案 D解析 對(duì)于A(yíng),改寫(xiě)成“若p,則q”的形式應(yīng)為“若有兩個(gè)角是直角，則這兩個(gè)角相等”；B 所給語(yǔ)句是命題； C 的反例可以是“用邊

20、長(zhǎng)為3 的等邊三角形與底邊為 3 ， 腰為 2 的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來(lái)說(shuō)明 . 故選 D.3 .已知命題“若ab<0,則awo或bwo”，則下列結(jié)論正確的是 ()A. 真命題，否命題：“若ab>0,貝U a>0 或 b>0”B. 真命題，否命題：“若C. 假命題，否命題：“若D. 假命題，否命題：“若答案 Bab>0,貝U a>0 且 b>0”ab>0,則 a>0 或 b>0”ab>0,貝U a>0 且 b>0”解析 “若a>0且b>0,貝U ab>0”是真命題，又“若 a>0且

21、b>0,貝U ab>0”是“若ab<0,則aw?；騜w?！钡哪娣衩}，故原命題為真命題.已知命題的否命題是“若ab>0,則a>0且 b>0”.4 . 下列命題中為真命題的是()A.命題“若x>2 016,則x>0”的逆命題B.命題“若xy=0,則x= 0或y= 0”的逆否命題C.命題"若*2+*-2=0,則x=1"D.命題“若x2>1,則x R1”的逆否命題答案 B解析 A選項(xiàng)，“若x>2 016,則x>0”的逆命題為“若 x>0,則x>2 016”是假命題；B選項(xiàng),“若xy = 0,則x=0或y

22、 = 0”的逆否命題為“若 xwo且yw0,則xyw0”是真命題；C選 項(xiàng)，由x2 + x2=0,得x=1或x=2,故C是假命題；D選項(xiàng)，“若x2>1,則x>1”是 假命題，故其逆否命題是假命題 .5 .若命題p的否命題為q,命題p的逆否命題為r,則q與r的關(guān)系是()B.互否命題D.以上都不正確A.互逆命題C.互為逆否命題答案 A6 .已知命題“若a, b, c成等比數(shù)列，則 b2=ac"，在它的逆命題、否命題、逆否命題中， 真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 命題“若a, b, c成等比數(shù)列，則 b2=ac”是真命題，故其逆否命題是真命題.該命

23、題的逆命題為“若 b2=ac,則a, b, c成等比數(shù)列”是假命題，故其否命題也是假命題，故選B.7 .下列命題：(1)若"a2<b2,則a<b”的逆命題；(2) “全等三角形面積相等”的否命題；(3) “若a>0,則ax22ax+a+3>0的解集為R”的逆否命題；(4) “若、/3x(xw0)為有理數(shù), 則x為無(wú)理數(shù)”.其中正確的命題是()A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4)答案 A解析 對(duì)于(1),逆命題是“若 a<b,則a2<b2"，易知是假命題；對(duì)于(2),否命題是“若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形的

24、面積不相等”，易知是假命題;對(duì)于(3),結(jié)論成立的條件是a= 0或-2a 24a a+3 <0故a > 0,原命題與其逆否命題真假性相同，所以(3)正確；對(duì)于(4),若x為有理數(shù)，則M3x必為無(wú)理數(shù)，因?yàn)?43x為有理數(shù)，故x為無(wú)理數(shù)，則(4)正 確，故選A.二、填空題8 .已知命題：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.若把上述命題改為“若p,則q”的形式，則p是,q 是.答案 一個(gè)點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上這個(gè)點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等9 .已知命題p的逆命題是“若實(shí)數(shù)a, b滿(mǎn)足a= 1且b=2,則a+b<4"，則命題p的否命題是.答案 若實(shí)數(shù)a, b滿(mǎn)足a+bR4,則awl或b2解析 由命題 p 的逆命題與其否命題互為逆否命題可得.10 .在命題“若拋物線(xiàn) y=ax2+bx+ c的開(kāi)口向下，則x| ax2+bx