最新北京市朝陽(yáng)區(qū)高三3月綜合練習(xí)一模數(shù)學(xué)理試卷含答案

1、 北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)（理）考試第i卷（選擇題愛(ài)共40分）一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集為實(shí)數(shù)集,集合,則（a）（b）（c）（d）【答案】【解析】本題考查集合的運(yùn)算.集合,集合.所以或,所以,故選.2.復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（a）第一象限（b）第二象限（c）第三象限（d）第四象限【答案】【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與坐標(biāo)表示.由得,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第一象限,故選.3.直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則的傾斜角大小為（a）（b）（c）（d）【答案】【解析】本題考查直線的參數(shù)方程及傾斜角.由可

2、以得到直線的方程為.所以直線的斜率為,傾斜角為,故選.4.已知為非零向量,則“”是“與夾角為銳角”的（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件（c）充分必要條件（d）既不充分也不必要條件【答案】【解析】本題考查平面向量數(shù)量積與夾角的關(guān)系.為非零向量 夾角為銳角故選.5.某單位安排甲、乙、丙、丁名工作人員從周一到周五值班,每天有且只有人值班,每人至少安排一天且甲連續(xù)兩天值班,則不同的安排方法種數(shù)為（a）（b）（c）（d）【答案】【解析】本題考查排列組合.甲連續(xù)天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四種情況,剩下三個(gè)人進(jìn)行全排列,有種排法因此共有種排法,故選.

3、6.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積等于（a）（b）（c）（d）【答案】【解析】本題考查三視圖還原和錐體體積的計(jì)算摳點(diǎn)法:在長(zhǎng)方體中摳點(diǎn),1.由正視圖可知:上沒(méi)有點(diǎn);2.由側(cè)視圖可知:上沒(méi)有點(diǎn);3.由俯視圖可知:上沒(méi)有點(diǎn);4.由正（俯）視圖可知:處有點(diǎn),由虛線可知處有點(diǎn),點(diǎn)排除.由上述可還原出四棱錐,如右圖所示,.故選.7.廟會(huì)是我國(guó)古老的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng),又稱“廟市”或 “節(jié)場(chǎng)”.廟會(huì)大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行.廟會(huì)上有豐富多彩的文化娛樂(lè)活動(dòng),如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一顆金蛋,如果有獎(jiǎng)品,則“中獎(jiǎng)”）.今年春節(jié)期間,某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約來(lái)到某廟會(huì),每人均獲得砸一顆金

4、蛋的機(jī)會(huì).游戲開始前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果如下:甲說(shuō):“我或乙能中獎(jiǎng)”;乙說(shuō):“丁能中獎(jiǎng)”;丙說(shuō):“我或乙能中獎(jiǎng)”;丁說(shuō):“甲不能中獎(jiǎng)”.游戲結(jié)束后,這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng),且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的,則中獎(jiǎng)的同學(xué)是（a）甲（b）乙（c）丙（d）丁【答案】【解析】本題考查學(xué)生的邏輯推理能力.由四人的預(yù)測(cè)可得下表:中獎(jiǎng)人預(yù)測(cè)結(jié)果甲乙丙丁甲乙丙丁1. 若甲中獎(jiǎng),僅有甲預(yù)測(cè)正確,符合題意2. 若乙中獎(jiǎng),甲、丙、丁預(yù)測(cè)正確,不符合題意3. 若丙中獎(jiǎng),丙、丁預(yù)測(cè)正確,不符合題意4. 若丁中獎(jiǎng),乙、丁預(yù)測(cè)正確,不符合題意故只有當(dāng)甲中獎(jiǎng)時(shí),僅有甲一人預(yù)測(cè)正確.

5、選8.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,其中,則所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為（a）（b）（c）（d）【答案】【解析】本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算,線性規(guī)劃.設(shè),則 所有點(diǎn)構(gòu)成圖形如圖所示（陰影部分）故選第卷（非選擇題愛(ài)共110分）二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入則輸出的值為【答案】【解析】本題考查程序框圖.初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次時(shí),所以輸出10.若三個(gè)點(diǎn)中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的漸近線方程為.【答案】【解析】本題考查雙曲線圖象與漸近線方程.由于雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故在雙曲線上,代入方程解得,又因?yàn)?所以漸近

6、線方程為11.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為【答案】【解析】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)由圖得,即最小正周期又因?yàn)?且,解得由圖得時(shí),又因?yàn)?所以的零點(diǎn)即的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)則,解得因?yàn)?得到所以零點(diǎn)為12.已知點(diǎn)若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),則面積的最小值為.【答案】【解析】本題考查直線與圓位置關(guān)系.將圓化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程圓心,半徑因?yàn)?所以要求面積最小值,即要使圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小而圓心到直線的距離為所以所以的最小值為13.等比數(shù)列滿足如下條件:數(shù)列的前項(xiàng)和.試寫出滿足上述所有條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】（答案不唯一）【解析】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.例:,則 ,則,則1

7、4.已知函數(shù)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值是若函數(shù)的圖象上有且只有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,則的取值范圍是【答案】【解析】本題考查函數(shù)綜合應(yīng)用.當(dāng)時(shí),令,當(dāng),即時(shí)取等號(hào)即當(dāng)時(shí),令又因?yàn)閯t 圖象僅有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱即的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)圖象與僅有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí),.設(shè)其關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為由（1）可知近似圖象如圖所示當(dāng)與僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),綜上,的取值范圍是三、解答題（共6小題,共80分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程）15.（本小題滿分13分）在中,已知,.（）若,求的面積;（）若為銳角,求的值.【解析】（）由正弦定理得,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以,所以.（）由（）知,因?yàn)闉殇J角,所以.所以16.（本小題滿分1

8、4分）如圖,在矩形中,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).將沿折起到,使得平面平面（如圖）.（）求證:;（）求直線與平面所成角的正弦值;（）在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（）如圖,在矩形中,為中點(diǎn),為的中點(diǎn),由題意可知,平面平面平面平面,平面平面平面,（）取中點(diǎn)為,連結(jié)由矩形性質(zhì),可知由（）可知,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立坐標(biāo)系在中,由,則,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為則,令,則所以設(shè)直線與平面所成角為所以直線與平面所成角的正弦值為.（）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面設(shè)由,所以,若平面,則所以,解得所以.17.（本小題滿分13分）某地區(qū)高考實(shí)行新方案,規(guī)定:語(yǔ)文

9、、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目,若一名學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.某學(xué)校為了了解高一年級(jí)420名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表:性別選考方案確定情況物理化學(xué)生物歷史地理政治男生選考方案確定的有8人884211選考方案待確定的有6人430100女生選考方案確定的有10人896331選考方案待確定的

10、有6人541001（）估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？（）假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨(dú)立的.從選考方案確定的8位男生隨機(jī)選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機(jī)選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率;（）從選考方案確定的8名男生隨機(jī)選出2名,設(shè)隨機(jī)變量求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（）設(shè)該學(xué)校選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生為（人）所以該學(xué)校選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生為人.（）該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率為（）由題意知的所有可能取值為所以的分布列為12期望為.18.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí),（

11、i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（）若,求證:.【解析】（）當(dāng)時(shí),定義域?yàn)椋╥）所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,切線斜率為所以切線方程為（ii）令,所以在上單調(diào)遞減,且所以當(dāng)時(shí),即所以當(dāng)時(shí),即綜上所述,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.()方法一:,即設(shè)設(shè)所以在小于零恒成立即在上單調(diào)遞減因?yàn)樗?所以在上必存在一個(gè)使得即所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減所以因?yàn)樗粤畹靡驗(yàn)?所以,因?yàn)?所以恒成立即恒成立綜上所述,當(dāng)時(shí),方法二:定義域?yàn)榱俗C明,即只需證明,即令則令,得令,得所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以即,則 令因?yàn)?所以所以恒成立即所以綜上所述,即當(dāng)時(shí),19.（本小題滿分14分）已知

12、橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).（）求橢圓的方程;（）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與直線的斜率互為相反數(shù).若直線與橢圓交于兩點(diǎn)且均不與點(diǎn)重合,設(shè)直線與軸所成的銳角為,直線與軸所成的銳角為,判斷與的大小關(guān)系并加以證明.【解析】（）由題可得,解得.所以橢圓的方程為.（）結(jié)論:,理由如下:由題知直線斜率存在,設(shè).聯(lián)立,消去得,由題易知恒成立,由韋達(dá)定理得,因?yàn)榕c斜率相反且過(guò)原點(diǎn),設(shè),聯(lián)立消去得,由題易知恒成立,由韋達(dá)定理得,因?yàn)閮牲c(diǎn)不與重合,所以直線存在斜率,則所以直線的傾斜角互補(bǔ),所以.20.（本小題滿分13分）已知集合是集合的一個(gè)含有個(gè)元素的子集.（）當(dāng)時(shí),設(shè)（i）寫出方程的解;（ii）若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.（）證明:對(duì)任意一個(gè),存在正整數(shù)使得方程至少有三組不同的解.【解析】（）（）方程的解有:（）以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正,則:列出集合的從小到大個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差:;中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）:4,