三角函數(shù)解題規(guī)律及總結(jié)_5505

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)的解題技巧3、關(guān)于“托底”方法的應(yīng)用：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算或證明題中，往往需要把式子添加分母，這常用在需把含 tg （或 ctg ）與含 sin（或 cos）的式子的互化中，本文把這種添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例 5、已知： tg =3，求 sin3cos的值。sin2 sincos，帶有分母 cos ，因此，可把原式分子、分母分析：由于 tgcos各項(xiàng)除以 cos ，“造出” tg，即托出底： cos；解：由于 tg =3k2cos0sin3costg333故，原式 = coscos0sincos2tg12312coscos例 6、已知： ctg= -3

2、，求 sincos -cos 2=?分析：由于 ctgcos，故必將式子化成含有 cos的形式sinsin解： sin 2cos21sincoscos2sin coscos2sin 2cos2cos(cos)2ctgctg 2分子 , 分母同除以 sin2sinsin1(cos)21ctg 2sin3(3) 261( 3)25例7、設(shè)0x,0y，且 sin xsin ysin(x) sin(y)2236求： (ctgx3)(ctgy3) 的值3分析：此題是典型已知含正弦函數(shù)的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于 0x,0y，故 sin x0, sin y0 ，在等式兩邊22學(xué)習(xí)必備

3、歡迎下載同除以 sin x sin y ，托出分母 sin x sin y 為底，得：解：由已知等式兩邊同除以sin xsin y 得：sin(x) sin(y)sincos cossin xsincos y cos sin y36133661sin x sin ysin xsin y13 cos xsin xcos y3 sin y4sin x1sin y1 (3ctgx1)(ctgy3)143 (ctgx3 )(ctgy 3)143(ctgx3 )(ctgy3)4333“托底”適用于通過(guò)同角的含正弦及余弦的式子與含正切、余切的式子的互化的計(jì)算。由于 tgsin， ctgcos，即正切、余切

4、與正弦、余cossin弦間是比值關(guān)系，故它們間的互化需“托底”，通過(guò)保持式子數(shù)值不變的情況下添加分母的方法， 使它們之間可以互相轉(zhuǎn)化， 達(dá)到根據(jù)已知求值的目的。而 添 加 分 母 的 方 法 主 要 有 兩 種 ： 一 種 利 用 sin 2cos21 ， 把22作為分母，并不改變?cè)降闹?，另一種是通過(guò)等式兩邊同時(shí)s i nc o s除以正弦或余弦又或者它們的積，產(chǎn)生分母。4、關(guān)于形如： a cosxbsin x 的式子，在解決三角函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用：可 以 從 公 式 s i nA c o xs c o Ass i nxs i nA( x) 中 得 到 啟 示 ： 式 子a cos x

5、b sin x 與上述公式有點(diǎn)相似，如果把a(bǔ)， b 部分變成含 sinA ，cosA的式子，則形如 a cos xb sin x 的式子都可以變成含sin( Ax) 的式子，由于-1 sin( A x) 1，所以，可考慮用其進(jìn)行求極值問(wèn)題的處理，但要注意一點(diǎn)：不能直接把a(bǔ) 當(dāng)成 sinA ，b 當(dāng)成 cosA，如式子： 3 cosx4 sin x 中，不能設(shè) sinA=3 ，cosA=4，學(xué)習(xí)必備歡迎下載考慮： -1 sinA 1，-1 cosA 1，可以如下處理式子：acos xb sin xa2b2acos xbsin xa 2b2a2b2由于 (ab 2) 2(b) 21。a 2a 2b

6、 2故可設(shè)：sin Aa，則 cosA1 nsiA ，即：cos Aba 2b2a 2b 2 a cos xb sin xa 2b2 (sin A cosxcos Asin x)a 2b2 sin( Ax)無(wú)論 Ax 取何值， -1 sin(A ±x) 1，a 2b2a2b2 sin( Ax) a2b 2即：a2b2 a cosxb sin x a 2b 2下面觀察此式在解決實(shí)際極值問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用：例 1（ 98 年全國(guó)成人高考數(shù)學(xué)考試卷）求：函數(shù) y3 cos2 xsin x cos x 的最大值為（ A ）A 13B31C13D 3 122分析：xcos12 sinxcosx1 s

7、in 2x，再想辦法把2x變成含cso2 xsin22coscos2x1的式子： cos2x2 cos2x1cos2 xcos2x1 1 sin 2x2于是： y3223 cos2x31 sin 2x222(3 cos2x1 sin 2x)3222由于這里： a3,b1, 則 a 2b 2(3) 2(1 ) 212222 y 1( 3 cos 2x1 sin 2x)3222學(xué)習(xí)必備歡迎下載a3312設(shè)： sin Ab 21,則 cosAa 222 y sin Acos 2xcos Asin 2x32sin( A 2x)32無(wú)論 A-2x 取何值，都有 -1 sin(A-2x)1，故 13 y

8、1322 y 的最大值為 13 ，即答案選 A。2三、三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解題方法總結(jié)1、見(jiàn)“給角求值”問(wèn)題，運(yùn)用“新興”誘導(dǎo)公式一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間（ - 90o，90o）的公式 .sin(k + )=(-1) ksin (k Z) ；cos(k +)=(-1) kcos (k Z) ；tan(k + )=(-1) ktan (k Z) ；cot(k+ )=(-1) kcot (k Z).2 、見(jiàn)“知 1 求 5”問(wèn)題，造 Rt，用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)（3，4， 5），（ 5，12， 13），（ 7，24， 25），仍然注意“符號(hào)看象限”。3、見(jiàn)“切割”問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成“弦”的問(wèn)題。4、“見(jiàn)齊思弦”

9、 =>“化弦為一”：已知 tan , 求 sin 與 cos 的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為 1，轉(zhuǎn)化為 sin 2 +cos2.5 、見(jiàn)“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：sin( +)sin( - )= sin 2-sin 2;cos( +)cos( - )= cos 2-sin 2.6、見(jiàn)“ sin ±cos 與 sin cos”問(wèn)題，起用平方法則：(sin ±cos ) 2 =1±2sin cos =1±sin2 , 故若 sin +cos=t,( 且 t 22), 則 2sin cos=t 2-1=sin2 ; 若 s

10、in -cos =t,( 且 t 22), 則 2sin cos=1-t 2=sin2 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載7、見(jiàn)“ tan +tan 與 tan tan ”問(wèn)題，啟用變形公式 :tan +tan =tan( +)(1-tantan ). 思考： tan -tan =？8、見(jiàn)三角函數(shù)“對(duì)稱”問(wèn)題，啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系：(A0)函數(shù) y=Asin(wx+ ) 和函數(shù) y=Acos(wx+ ) 的圖象，關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且平行于 y 軸的直線分別成軸對(duì)稱；函數(shù) y=Asin(wx+ ) 和函數(shù) y=Acos(wx+ ) 的圖象，關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱；同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+ ) 和函數(shù) y=Acot(wx+ )的對(duì)稱性質(zhì)。9、見(jiàn)“求最值、值域”問(wèn)題，啟用有界性，或者輔助角公式：|sinx| 1,|cosx| 1;2.(asinx+bcos