高中數(shù)學解題思路大全—用構造局部不等式法證明不等式

1、用構造局部不等式法證明不等式有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的局部不等式，逐一證明后，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。例 1. 若 a， bR*， ab 2，求證：2a12b12 3分析：由 a， b 在已知條件中的對稱性可知，只有當ab1 ，即 2a1 3 時，等號才能成立，所以可構造局部不等式。證明：2a131)· 332a1332)· (2a·2(a333同理，2b132)(b3 2a12b13 (a 2)3 (b 2) 2 333例 2.設 x1， x2 ， xn 是 n 個正數(shù)，求證：x12x22xn21xn2x2

2、x3xnx1 x2x1xn 。證明：題中這些正數(shù)的對稱性，只有當x1x2xn 時，等號才成立，構造局部不等式如下：x12x22x1 ， x22x3 2 x2 ， xn21xn2xn 1， xn2x12xn 。x2x3xnx1將上述 n 個同向不等式相加，并整理得：x12x22xn21xn2x2xnx1 x2 xn 。x3x1例 3.已知 a1， a2 ， an 均為正數(shù)，且 a1a2an 1，求證：a12a22an21a1a2 a2a3。an a12證明：因 a1 ， aa12a1a2a1，2 ， an 均為正數(shù)，故a24a1a22a2a3a2，an2ana1an 。a2a34ana14又 a

3、1a2a2 a3ana11 (a1a2 an )1 ，44422把以上各個同向不等式相加，整理得：a12a22an21a1a2an 1a1a2a2a3ana12a12a22an21。故a2a2a3a12a1an例 4.設 a， b， cR* ，且 abc1，求證：1113 。a3 (b c) b3 (c a) c3 ( a b)2（第 36 屆IMO）證明：由 a，b ，c 在條件中的對稱性知，只有當a bc 1時，才有可能達到最小值3 ，此時剛好21b c1a3 (b c)4bc。所以，可構造如下局部不等式。21b c11(b c)4bc2，a34a 3bca1ac11b 3 (ac)4ac2b4b3 ac1ab11c3 ( ab)4ab2c4c3 ab，111 a3 (bc)b3 (ca)c3 (ab)1111bcaca b(bc)(ac)a4bcab11113 313(ab)2abc22c例 5.設 a， b， cR* ，且 abc 2 ，求證：a 2b2c21。b ccaab證明：由a ，b， c在條件中的對稱性知，只有當 abc2 時，才可能達到最小值1 ，此時剛好3a 2bc。所以，可構造如下局部不等式。bc4 a 2 b c a 2 b c2