棒球最佳擊球點(diǎn)(最終)

1、棒球最佳擊球點(diǎn)研究摘要本文對(duì)棒球的“最佳擊球點(diǎn)”進(jìn)行了研究，并在此基礎(chǔ)上分析了在球棒中添 加軟木填充物、不同球棒材質(zhì)相對(duì)于普通木質(zhì)球棒的擊打效果。針對(duì)問題(1),首先對(duì)球棒外形進(jìn)行兒何簡(jiǎn)化抽象描述，得到球棒的兒何描 述方程。然后以球-棒碰撞系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用動(dòng)量守恒定理、角動(dòng)量守恒定 理以及恢復(fù)系數(shù)建立了剛體動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而提出最佳擊球點(diǎn)的計(jì)算方法，得出 普通木質(zhì)球棒的“最佳擊球點(diǎn)”在距離球棒柄段66厘米處。針對(duì)問題(2),本文從添加填充物引起的球棒質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化出 發(fā)，分析了添加軟木填充物對(duì)擊球效果的影響，得到“填充軟木塞降低棒球的速 度”的結(jié)論。問題(3)中，根據(jù)不同材質(zhì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)

2、動(dòng)慣量和恢復(fù)系數(shù)不同，研究了不同材 質(zhì)對(duì)擊球效果的影響，得到“鋁質(zhì)”球棒能顯著提高擊球效果，并會(huì)導(dǎo)致體育“裝 備競(jìng)賽”的誤區(qū)，因此棒球協(xié)會(huì)禁止鋁棒的使用是合理的。鑒于球棒擊球時(shí)存在機(jī)械振動(dòng)這一客觀事實(shí)，本文最后提出了利用接觸力學(xué) 和波動(dòng)力學(xué)理論分別對(duì)碰撞模型的改進(jìn)模型。通過建立接觸力學(xué)的Henz模型和 振動(dòng)力學(xué)的橫向振動(dòng)梁模型，分別從能量傳遞和振動(dòng)主振型的固有頻率兩個(gè)方面 定性的對(duì)不同材質(zhì)的球棒對(duì)球速的影響進(jìn)行了分析，得出鋁制球棒更有利于擊出 高速球的結(jié)論。關(guān)鍵詞：最佳擊球點(diǎn) 動(dòng)力學(xué)模型 Henz模型 橫向振動(dòng)梁模型一、問題重述棒球運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)含了豐富的物理學(xué)原理，棒球棒上的“最佳擊球點(diǎn)”就是一個(gè)

3、 典型的例子。請(qǐng)查找資料，建立數(shù)學(xué)模型，解決以下問題：(1) 每一個(gè)棒球手都知道在棒球棒比較粗的部分有一個(gè)擊球點(diǎn)，這里可以把 打擊球的力量最大程度地轉(zhuǎn)移到球上?；诹氐慕忉尰蛟S可以確定棒球棒的最 末端就是最佳擊球點(diǎn)，但是實(shí)際中并不是這樣的。構(gòu)建模型，解釋最佳擊球點(diǎn)棒 球棒的最末端的原因。(2) 有一些棒球手相信在最佳擊球點(diǎn)填充軟木塞可以提高打擊效果(在球棒 頭部挖一個(gè)圓柱狀槽，填充軟木塞或者橡皮)。進(jìn)一步擴(kuò)展模型確定或否定該結(jié) 論。解釋為什么棒球聯(lián)盟否定這種做法。(3) 球棒的撞擊效果可能與材質(zhì)有關(guān)系，構(gòu)建模型以預(yù)測(cè)木質(zhì)和金屬球棒的 不同打擊效果。解釋這是否是聯(lián)盟禁止金屬球棒的原因。二、問題

4、分析“擊球”是一個(gè)典型的碰撞問題。題目要求構(gòu)建模型解釋“最佳擊球點(diǎn)”為 何不在球棒最末端，在最佳擊球點(diǎn)填充軟木塞是否可以提高打擊效果，不同材質(zhì) 的球棒是否會(huì)產(chǎn)生不同的打擊效果。首先需要明確的是“最佳擊球點(diǎn)”的含義。 題目中稱“可以把打擊球的力量最大程度地轉(zhuǎn)移到球上”的擊球點(diǎn)為“最佳擊球 點(diǎn)”。力量的轉(zhuǎn)移不容易量化，但球的離開速度可以作為其外在表現(xiàn)加以測(cè)量。 這樣，尋找“最佳擊球點(diǎn)”就是尋找能使球的擊出速度最大的擊球點(diǎn)。在最佳擊 球點(diǎn)添充軟木塞會(huì)產(chǎn)生如下變化：改變球棒質(zhì)心、改變球棒重量、改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 進(jìn)而影響擊球效果。不同材質(zhì)球棒的區(qū)別主要有：密度不同、質(zhì)量不同導(dǎo)致的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量不同；材料不同導(dǎo)致

5、的恢復(fù)系數(shù)不同、彈性系數(shù)不同進(jìn)而影響擊球效果。將球、棒視為剛體，可以建立“球-棒”系統(tǒng)為研究對(duì)象建立經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模 型進(jìn)行分析。己有研究表明，在撞擊瞬間手對(duì)棒施加的力對(duì)球棒的影響不大， 可以近似為球棒是“自由端”。利用“動(dòng)量守恒定理”、“角動(dòng)量守恒定理”以及 “恢復(fù)系數(shù)”等研究撞擊位置與球離開速度的關(guān)系，從而找到“最佳擊球點(diǎn)”并 分析填充軟木塞、改變材料對(duì)擊球效果的影響。經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型用恢復(fù)系數(shù)來表示碰撞瞬間動(dòng)能的突變，這樣得到的結(jié)果是 粗糙的?？紤]球、棒碰撞時(shí)發(fā)生的形變，使用接觸力學(xué)的理論，改進(jìn)動(dòng)力學(xué)模型, 可以得到更精確的結(jié)果。球棒在擊球過程中可看做一個(gè)一端固定一端自由的振動(dòng)梁，因此可利用振

6、動(dòng) 力學(xué)的知識(shí)列出球棒在擊球過程中滿足的微分方程，進(jìn)而求解該微分方程，得出 球棒的振動(dòng)方程。通過不同材質(zhì)的相關(guān)參數(shù)的不同得到木質(zhì)球棒與鋁制球棒之間 的振動(dòng)差異，進(jìn)而定性的解釋木棒與鋁棒在擊球過程中體現(xiàn)出的不同特點(diǎn)。三、模型假設(shè)與約定1、球在飛行過程中不自旋。2、球棒擊球時(shí)，球的速度方向與球棒軸線正交。3、球棒形狀、尺寸、重量相同。v符號(hào)說明符號(hào)含乂e恢復(fù)系數(shù)CJM重心位置 轉(zhuǎn)動(dòng)慣屋 球棒重量五、理論力學(xué)模型的建立與求解5.1球棒外形的抽象描述模型文獻(xiàn)表明，木質(zhì)棒球球棒的一般規(guī)格為：表1棒球球拍的物理參數(shù)參數(shù)數(shù)值棒長(zhǎng)L0.855m棒重M0.885kg木質(zhì)密度Q649kg/m3木質(zhì)楊氏模量E1.8

7、14x10】°“/屛最大半徑Z7cm最小半徑片2.5cm重心位置C距較小端面0.564m球棒為一種旋轉(zhuǎn)體，沿軸線的截面如下:球棒重量：M = p-V = p-+ -7tr2H-inirh + 7rrL-x)(1)3-3"r2 "依據(jù)質(zhì)心的定義，質(zhì)心兩側(cè)球棒所受重力對(duì)重心力矩平衡：M宀初(2)=匸 q g 龍才(C 一 x)dx+J： Q g 廿(C 一 x)dx= f '： p g 7rr (x - C)dx+f Q g 托亡(x 一 C)dx式中廠為積分變量x的函數(shù)，有：空二1 = 口x2 _召 x-x1由(1) (2)式，帶入數(shù)據(jù)得:不=0.3459乙

8、=0.6423這樣，棒球各部分的半徑長(zhǎng):0.025r(x)=匕 + (x-xj = 0.025 + 0.152(x-0.3459)0.070球棒外形簡(jiǎn)化模型的確定，為不同材質(zhì)、材質(zhì)不均勻(如填充軟木塞)的球 棒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解提供了方便。5. 2最佳擊球點(diǎn)的剛體動(dòng)力學(xué)模型分析擊球手的擊球動(dòng)作可知，擊球瞬間存在兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)：手臂和球棒以身 體重心軸為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)、球棒以手腕為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。以身體重心所在軸B為坐標(biāo)原點(diǎn)，球棒軸線為x軸，軸線垂直方向?yàn)閥軸建 立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)球棒質(zhì)心坐標(biāo)C,身體重心坐標(biāo)B,手持點(diǎn)坐標(biāo)擊球點(diǎn)坐標(biāo)P,球 棒近身端坐標(biāo)入°。間距離為/?, WC間距離為CP間距離為S。

9、示意圖 如下：圖2擊球過程抽象圖碰撞瞬間，球、棒間的作用力遠(yuǎn)大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以 球-棒系統(tǒng)為研究對(duì)象，y軸方向上有動(dòng)量守恒：+ m2ul =+ itiLu2(3)其中耳為球的質(zhì)量，、為球棒質(zhì)量，嶺為球的初速度，冬為球的離開速度,©為擊球前棒的質(zhì)心速度，心為擊球后棒的質(zhì)心速度。設(shè)球棒擊球前后的角速度分別為©、貝嘰"i = ©(R + H), u2 = cd2(R + H)(4)恢復(fù)系數(shù)£為碰撞接觸點(diǎn)碰撞前相對(duì)接近速度除以碰撞后相對(duì)遠(yuǎn)離速度， 即：e =丄一z=(5)-v1 + 他 + ©S以身體重心軸為軸建立球-棒系

10、統(tǒng)的角動(dòng)量守恒方程，以球棒質(zhì)心為軸，球- 棒系統(tǒng)無外力矩，因此角動(dòng)量守恒，即：片片(S +R+/)+丿© =7#2(S+ /? + /) +丿馬(6)由（3）、（4）、（5）、（6）可得擊打后的球速表達(dá)式為:=I，_ 丿(1+ £)兒-©(S + H + /?) _ 1-J + mS + R + H)2其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:X對(duì)S求導(dǎo)得:d一丿(1 + £)(丿 + “ (S + H + /?)') - 2“x/ (1 + e)(v -叫(S + H + R)dS(J + mS + H + R)2)2令蕓=。得最佳擊球點(diǎn)位置。統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)表明，棒球擊球瞬間的

11、運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如下:表2擊球瞬間的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)數(shù)值277m/s©17.288rad/s計(jì)算得最佳擊球點(diǎn)位置為距棒手柄端點(diǎn)70cm處。改變擊球點(diǎn)位置，得到棒球撞擊后的離開速度曲線如下圖:圖3擊球點(diǎn)位置與球離開速度的關(guān)系5. 3球棒填充物的影響分析棒球手在最佳擊球點(diǎn)添充的軟木塞一般為直徑1英寸(2.54cm) , 10英寸 (25.4cm)深的圓柱體。軟木塞密度260320kg/m3,密度幅度較大，主要由各地區(qū)樹皮的密度決定，一般不超過340 kg/m3,小于木質(zhì)球棒的密度649kg/mJ。 因此，在球棒中填充軟木會(huì)帶來以下變化：(1) 球棒質(zhì)量變小，慣性減小，可增加球棒的可控性(b

12、atcoimol) o(2) 球棒質(zhì)心向手握點(diǎn)靠近，可使擊球時(shí)球棒的角動(dòng)量減小，進(jìn)而影響擊球效 果。(3) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小，進(jìn)而影響最佳擊球點(diǎn)及最大球速。下面從以上三個(gè)方面量化分析填充物對(duì)擊球效果的影響。質(zhì)量減小量：AM =(p-px)Vs質(zhì)心改變距離：C = C-C'在建立的坐標(biāo)系中，原質(zhì)心橫坐標(biāo)C = 56.4。設(shè)填充后質(zhì)心橫坐標(biāo)為C',根 據(jù)質(zhì)心定義，在質(zhì)心左右兩側(cè)重力矩平衡，有：£ pgx)(C'-x)dx = d pg7Vx)(x-C')dx+pgtvx) - r;) + psg7rr;lx 由此式可計(jì)算填充后質(zhì)心坐標(biāo)為C，。球員擊球時(shí)，以身體

13、重心軸為轉(zhuǎn)軸揮棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：八J %成也+二回(成-尸)+門對(duì)皿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小量：AJ = J-J'利用問題(1)所建模型易知，球棒填充軟木塞后的最佳擊球點(diǎn)及球的最大 離開速度的計(jì)算只需修正公式中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。即：_、，/(l+e)W-卯2-177求導(dǎo)易得球的最大離開速度及對(duì)應(yīng)的最佳擊球點(diǎn)。最大離開速度改變量：Av = v2 - v2代入軟木塞密度下限A/ = 260 kg/m3，軟木塞密度上限d=320kg/m可以 得到塞入軟木塞的影響效果區(qū)間：10150.10.20.30.40.50.60.70.80.9球棒上擊球位置x2 0-2 2 2 2 m m m m m m35302520表3

14、球棒填充物影響結(jié)果項(xiàng)目度AMACAJAvpsu = 320 kg/m340gO.Olc/n0.02kg - nrlAm/spsl = 260 kg/m346gO.Olc/n0.03kg 存1.6m/ s圖4不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下球的離開速度隨擊球點(diǎn)的變化表4不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下球的最大離開速度J0.1630.1730.1830.1930.2030.213最大擊球速度點(diǎn)0.5960.6170.6380.6600.6820.702最大速度31.51732.08532.64533.19833.74434.283結(jié)果分析：通過以上結(jié)果可知，在球棒中添加填充物對(duì)擊球效果并不能產(chǎn)生 積極影響，主要原因是由于球棒變輕，球

15、棒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，使碰撞能量傳輸效率 變低。但是，這種做法的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在對(duì)球棒更好的控制能力，加速快，可以 延長(zhǎng)反應(yīng)時(shí)間。5.4不同材料的球棒對(duì)擊球效果的影響金屬球棒與木質(zhì)球棒的主要區(qū)別有：密度不同、質(zhì)量不同導(dǎo)致的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同；材料不同導(dǎo)致的恢復(fù)系數(shù)不同、 彈性系數(shù)不同。利用經(jīng)典理論力學(xué)模型，假設(shè)兩種球棒的外形與前面的抽象模型 相同，從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、恢復(fù)系數(shù)的角度研究?jī)煞N材質(zhì)的球棒的性能，易得球的最大 離開速度為：丿(1+£)«-%2_ 1_ 77扁F查閱相關(guān)資料得到鋁棒的恢復(fù)系數(shù)，積分求得鋁棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將木棒和金 屬棒的代表值代入上式，可得擊球點(diǎn)與球速的關(guān)系圖如下：木棒與鋁

16、棒的棒球球速比較302520151000.10.20.30.40.50.60.70.80.9擊球點(diǎn)位置5圖5木質(zhì)球棒與鋁質(zhì)球棒的球速比較粗略的建模結(jié)果顯示，用鋁棒擊球較木棒很容易打出乂高乂遠(yuǎn)的高飛球。體 育競(jìng)技的宗旨在于提高棒球運(yùn)動(dòng)員本身的身體素質(zhì)和技巧，而不是搞體育裝備競(jìng) 賽，所以正規(guī)比賽是不允許使用金屬棒的。六、模型擴(kuò)展6.1接觸力學(xué)模型經(jīng)典力學(xué)的碰撞模型中，通過使用恢復(fù)系數(shù)來體現(xiàn)動(dòng)能的突變。進(jìn)一步地研 究球與棒的碰撞問題就必須考察碰撞時(shí)的接觸過程。Hertz的接觸理論可以很好 的解釋碰撞中的接觸過程，并解答其中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，是球棒振動(dòng)的初值問題。球與球棒的碰撞是一個(gè)中速撞擊（V <

17、;500/77/5 ）問題，對(duì)此可有如下假設(shè)叫（1）碰撞的兩物體表面都是連續(xù)的，并且是非協(xié)調(diào)接觸（2）小應(yīng)變條件，即接觸面半徑遠(yuǎn)小于物體尺寸UyR）（3）碰撞的兩物體都可被看做是一個(gè)彈性半空間（4）接觸面無摩擦（5）撞擊速度與彈性波速相比很小接觸力學(xué)中己經(jīng)證明，在中速撞擊問題中，由于撞擊速度與彈性波速相比很 小，用準(zhǔn)靜態(tài)方法求解彈性撞擊問題是正確的，即使塑性形變發(fā)生，解法依然在 相當(dāng)精度內(nèi)是正確的。因此可以把動(dòng)態(tài)的碰撞過程分解為一系列靜態(tài)彈性接觸過 程，獨(dú)立地運(yùn)用Hertz接觸理論求解。根據(jù)Hertz接觸理論，球與圓柱體接觸，接觸面為橢圓，而球與平面的接觸 面為圓，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將球棒假設(shè)為四棱

18、體，文獻(xiàn)表明，這種改變引起的誤差較 小。兩個(gè)相互接觸的無摩擦彈性旋轉(zhuǎn)體之間所形成的接觸圓上的壓強(qiáng)分布一定 滿足如下形式：則：接觸圓內(nèi)法向位移:U3-r2 + r2 cos2 0)d0(2a2 -r2r<a幾：接觸圓圓心壓強(qiáng)，是接觸圓上的壓強(qiáng)最大值 a :接觸圓半徑/；：接觸圓某點(diǎn)到接觸圓圓心的距離分析球棒的碰撞過程：設(shè)球的質(zhì)量為加，半徑為心，初速度為,球棒質(zhì)量為M,長(zhǎng)L。球棒受手 的握力作用，并假設(shè)球棒與手的接觸面為窄帶狀，設(shè)q為擊球后球的加速度，冬 為桿的碰撞端切向加速度，4為桿的質(zhì)心加速度，0為桿的角加速度。設(shè)球?qū)U 的碰撞力碰撞力大小為斤，壓縮形變量為手對(duì)桿的接觸力為&，壓

19、縮形變量 為11#圖6旋轉(zhuǎn)體的接觸面整個(gè)碰撞過程中，有運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：aia2= <'(t)v ci2 =ac+ PSq =%_H0 = _5；(t)根據(jù)牛頓定律、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理，有:-Fl = maY< F + F)= MacFR + H + S)-F2R = J p=>乩話（-丄-丄-心HTS竺一丄1（t>1 m MJ- J M&曠討ZH+S）丄）七（型+丄）Jt） 1 JM - J M人與4，匚與的函數(shù)關(guān)系可由Hertz接觸力學(xué)中的公式?jīng)Q定:4 (t)=2(t)=R。+ ln(r2-r2)+0. 814(8)2(1-心7tEe7tEe

20、2(1-必“:材料泊松比,此為0.25球與桿的碰撞力：結(jié)合式(P)可得球與桿接觸處的最大彈性形變:式代入式中,并代入?yún)?shù)，可得：3無產(chǎn)-kj%F+k4_1 _1K、= 3.46x1 Oh “乜；心=769x10"3s-2；/C3 =2.18xl0105-2;lmax =6.20xl0-5/«在碰撞結(jié)束后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：bnV0=-bnV my-dy(i)y-6:=_/譏_評(píng)爲(wèi)+ *M肱0=_乩_ $+送八其中V表示球的末速。IV故碰撞前后的能量損耗為：結(jié)論：碰撞前后的系統(tǒng)能量損耗與桿的質(zhì)量、壓縮形變的一階導(dǎo)數(shù)的平方成 正比。在球棒中添加填充物時(shí)，會(huì)使壓縮形變的一階導(dǎo)數(shù)增大

21、，因此不能產(chǎn)生預(yù) 期的好的擊球效果。使用鋁棒，會(huì)引起球棒質(zhì)量減少，導(dǎo)致系統(tǒng)能量損耗降低， 從而具有較好的擊球效果。6. 2振動(dòng)力學(xué)模型在球與棒的撞擊過程中，二者的相對(duì)速度大小約為60nVs,為中速碰撞問 題，利用經(jīng)典力學(xué)理論計(jì)算碰撞中的能量損失偏差較大。為了研究碰撞過程中能 量傳遞情況要利用彈性力學(xué)中的Timoshenk梁理論來建立模型，求出碰撞過程中 能量損失。在人手握棒時(shí)，棒的另一端為自由端，則棒在受到求球沖擊后可簡(jiǎn)化為一 個(gè)一端固定一端自由橫截面積一定的梁，如下圖所示圖7簡(jiǎn)化梁模型示意圖建立上圖所示坐標(biāo)系，設(shè)y(x,t)為梁上距離原點(diǎn)X處的截面在時(shí)刻/的橫向 位移,p(x,t)表示單位長(zhǎng)

22、度的梁上分布的外力，加(x,f)表示單位長(zhǎng)度上分布的外 力矩。記梁的密度為梁的橫截面積為A ,梁的楊氏模量為截面對(duì)梁中 性軸的慣性矩為丿。選取梁中的微段dx進(jìn)行受力分析，設(shè)0、M分別是截面上的剪力和彎矩。 根據(jù)牛頓定理可以得出微段況T的慣性力F1為：d'yF = pAdx-dr根據(jù)力平衡方程有：d2ydQpAdx - + (0 + dx) -QA- pdx = 0dt2dx化簡(jiǎn)得：dQd2y=p-pA(10)dxdTd2 ydO又由力矩平衡pAdx + Q + -dx)-QA-pdx = 0方程(略去咼階小量) drdx得：dMM + Qdx- mdx - (M Hdx) = 0-dx

23、化簡(jiǎn)得：dMQ =+ M(11)由(10)、(11)兩式可得：& Mdmd'y=+ 丁=卩一(12)OXoxot乂根據(jù)材料R力學(xué)的平截面假設(shè)有：d1 yM = EJ (13)dx2將(13)式代入(式得:&d2yd2ydr (EJ ) + pA= “(x,/)-加(圮 t)difdx'dTdx上式即為在球棒所在平面內(nèi)建立二維坐標(biāo)得出歐拉-伯努利梁的震動(dòng)微分方 程。假設(shè)球棒為等假面梁，根據(jù)振動(dòng)力學(xué)的知識(shí)有：EJ = c(14)C為棒的彈性模量，為一常數(shù)。此時(shí)上述方程可寫為：d yd'ydc- + pA= p(x,t)-一fn(x.t)(15)dxdTdx球

24、棒的固有頻率與主振型當(dāng)歐拉-伯努利梁方程為其次微分方程時(shí)，可計(jì)算得到方程的通解，進(jìn)而得 到梁振動(dòng)的主振型和固有頻率令(15)式中/心昇)=0可得梁的橫向h由振動(dòng)的振動(dòng)微分方程:+ pA = 0梁的主振動(dòng)方程可假設(shè)為:y(x, t) = Y (x)b sin(曲 + (p) (7)將上式代入振動(dòng)微分方程的:(cYn)11- aypAY = 0 由于C為常數(shù)，所以上式可化簡(jiǎn)為：其中:利用分離變量法可得上式求解，得方程的通解為：X(x) = De，Px + D 嚴(yán) + DePx + De'PxAOB即：Y(x) = ct cos(0.Y)+ c、sin(0x) + cch(fix) + cs

25、h(/3x)將(7)式代入上式得梁的主振型為：y(x) = (C cos(0x) + C sin(0x) + Cch/3x) + C4sh(/3x)b sm(X + (p)(16)當(dāng)球棒的一端固定一端自由時(shí)，邊界條件可表示為:y(o)= o(17)廠(0) = 0(18)yi)= o(19)Ym(l) = 0(20)將(17)、(18)邊界條件代入式(16)得：G + c4 = o于是有：c產(chǎn)£將(19)、(20)邊界條件代入式(16)得G cos(0/) + ch(pi) + C, (sin(0Z) += 0(C sin(/7/)-必(0/) - C (cos(0/) + c/?(

26、/?/) = 0可得cos(0/) + chpl) sin(0/) + sh(/3l)=0 sin(0/) - sh(pl) 一 cos(0/) + ch(/3l)即有：cos(/7/)c/?(/7/) = -1上式的前三個(gè)根為：0丿=1.875pzl = 4.6940J = 7.855當(dāng)冷3時(shí), 1 pl«(/ )7t I = 4,5每個(gè)不同的1可以確定一個(gè)K(x),它們是Y(x)的分量即為各階振型，各階振型固有頻率為:/ = 1,2,3色=(0廳r =(芻 =sm(ZV)-必)'C 1 cos)+ C(0丿)各階主振型可表示為：y (x) = Cj cos(x) - ch(x) + r (sin(0/) -sh(x) i = 1,2 式中幾為慣性極矩，當(dāng)物體形狀為圓柱體時(shí)Ip=OAD D為圓柱體直徑。當(dāng)物體為空心圓筒時(shí)，人,=0.KD；-D”,其中2為圓筒外半徑，0為圓筒內(nèi) 半徑；J手為介質(zhì)中機(jī)械縱波波速V，A為棒橫截面面積，I為棒長(zhǎng)，p為介質(zhì) 密度。下圖給出了梁的振動(dòng)的前三階主振型的圖像：圖8梁的振動(dòng)主振型結(jié)論：利