基本不等式試題

1、基本不等式 題一、選擇題1若a，br，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()aa2b2>2ab bab2 c.> d.22若a1，則a的最小值是()a0 b2 c. d33若x0，f(x)3x的最小值為()a12 b12 c6 d64函數(shù)yx(0x2)的最大值是()a. b. c1 d25某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()a60件 b80件 c100件 d120件6點(diǎn)(x，y)在直線x3y20上移動(dòng)時(shí)，z3x27y3的

2、最小值為()a. b32 c6 d97某工廠第一年產(chǎn)量為a，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則()ax bx cx dx8已知正數(shù)a，b滿足4ab30，使得取最小值的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)是()a(5，10) b(6，6) c(10，5) d(7，2)9不等式9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()a2 b4 c6 d810已知x>0，y>0，且xy8，則(1x)(1y)的最大值為()a16 b25 c9 d3611若x，y是正數(shù)，則的最小值是()a2 b. c4 d.12給出下列語句：若a，b為正實(shí)數(shù)，ab，則a3b3a2bab2；若a，b，

3、m為正實(shí)數(shù)，ab，則；若，則ab；當(dāng)x時(shí)，sin x的最小值為2，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()a0 b1 c2 d3二、填空題13已知x>0，y>0，lg xlg y1，則z的最小值為_14函數(shù)f(x)lg x(0x1)的最大值是_，當(dāng)且僅當(dāng)x_時(shí)取等號(hào)15若對(duì)任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_16已知ab0，則a2取最小值時(shí)b的值為_三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)(1)已知x0，求y2x的最大值；(2)已知x2，求yx的最小值；(3)已知0x，求yx(12x)的最大值18(本小題滿分12分)過點(diǎn)p(2，1)的直

4、線l分別交x軸，y軸的正半軸于a，b兩點(diǎn)，求aob的面積s的最小值19.(本小題滿分12分)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為8.(1)求的最小值；(2)求a216b24ab的最小值20.(本小題滿分12分)是否存在常數(shù)c，使得不等式c對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立？證明你的結(jié)論參考答案與解析1【解析】選d.特值法：取ab1可排除a、b、c選項(xiàng)2【解析】選d.因?yàn)閍1，所以a10，a(a1)1213，當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a2時(shí)，等號(hào)成立，故選d.3【解析】選a.因?yàn)閤0，所以f(x)3x2 12，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x2時(shí)取等號(hào)4【解析】選b.因?yàn)?x2，所以011，所以yx

5、2·2，當(dāng)且僅當(dāng)1，即x1時(shí)，等號(hào)成立，故選b.5【解析】選b.因?yàn)樯a(chǎn)x件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和為800·x，所以平均每件費(fèi)用y20，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)x80件時(shí)，ymin20.6【解析】選d.因?yàn)閤3y2，所以z3x33y32×3239.當(dāng)且僅當(dāng)x3y即x1，y時(shí)取等號(hào)7【解析】選b.a(1x)2a(1a)(1b)，從而(1x)2(1a)·(1b)，所以x.8【解析】選a.(4ab)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立故選a.9【解析】選b.a1a12(1)2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為(1)2，于是(1)29恒成立，所以a4，故選b.10【解析

6、】選b.(1x)(1y)25，因此當(dāng)且僅當(dāng)1x1y即xy4時(shí)，(1x)(1y)取最大值25，故選b.11【解析】選c.1124.當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，式子取得最小值4.12【解析】選c.本題中作差變形后可得：a3b3a2bab2(ab)2(ab)，由于a，b為正實(shí)數(shù)，ab，所以(ab)2(ab)0，即正確；對(duì)于用賦值法很容易判斷其錯(cuò)誤，如a1，b2，m1，符合條件但結(jié)論不正確；對(duì)于，利用不等式的性質(zhì)，在不等式兩邊同時(shí)乘c2，不等號(hào)的方向不改變，故正確；對(duì)于，利用基本不等式成立的條件“一正，二定，三相等”的第三點(diǎn)不成立，取不到“”，故錯(cuò)誤綜合得正確的有，兩個(gè)，從而選c.13【解析】由已知條件lg xl

7、g y1，可得xy10.則22，故2，當(dāng)且僅當(dāng)2y5x時(shí)取等號(hào)又xy10，即x2，y5時(shí)等號(hào)成立【答案】214【解析】因?yàn)?x1，所以lg x0，所以lg x0，f(x)lg x24.當(dāng)且僅當(dāng)lg x，即lg x±2時(shí)，取“”又因?yàn)閘g x0，所以lg x2，此時(shí)x.【答案】415【解析】因?yàn)閤0，所以x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立)，所以，即的最大值為，故a.【答案】16【解析】因?yàn)閍b0，所以0b(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)bab，即b時(shí)等號(hào)成立，所以，所以a2a2232，當(dāng)且僅當(dāng)a2，即a4時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b2.【答案】217【解】(1)因?yàn)閤0，所以x4，所以y2242，所以當(dāng)且僅當(dāng)x

8、(x0)，即x2時(shí)，ymax2.(2)因?yàn)閤2，所以x20，所以yxx22224.所以當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)，即x3時(shí)，ymin4.(3)因?yàn)?x，所以12x0，所以y×2x·(12x)，所以當(dāng)且僅當(dāng)2x12x，即x時(shí)，ymax.18【解】設(shè)直線l的方程為y1k(x2)(顯然k存在，且k0)令y0，可得a；令x0，可得b(0，12k)因?yàn)閍，b都在正半軸上，所以20且12k0，可得k0.所以saob|oa|·|ob|(12k)2k2224，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k時(shí)，saob取得最小值4.19【解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，作直線l0：axby0，平移l0，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)a(1，4)時(shí)，zmaxaxbya4b8.(1)因?yàn)閍0，b0，則(a4b)·(54)，當(dāng)且僅當(dāng)2，即a，b時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.(2)因?yàn)閍4b8，a0，b0，所以a4b24，所以ab4.又因?yàn)閍216b232，所以a216b24ab321616，當(dāng)且僅當(dāng)a4b4，即a4，b1時(shí)取等號(hào)，所以a216b24ab的最小值為16.20【解】當(dāng)xy時(shí)，由已知不等式得c.下面