全等三角形全章復(fù)習(xí)講義

1、全等三角形專題一 全等三角形基本性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)1】能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（兩個(gè)三角形全等是指兩個(gè)三角形的大小和形狀完全一樣，與他們的位置沒(méi)有關(guān)系。）【知識(shí)點(diǎn)2】?jī)蓚€(gè)三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做 對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角?！局R(shí)點(diǎn)3】 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（由定義還可知道，全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線和高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等）【例題1】如圖，已知圖中的兩個(gè)三角形全等，填空：(1) AB與 是對(duì)應(yīng)邊，BC與 是對(duì)應(yīng)邊， CA與 是對(duì)應(yīng)邊；(2)A與 是對(duì)應(yīng)角，ABC與 是對(duì)應(yīng)角，BAC與 是對(duì)應(yīng)角【方法總結(jié)】在兩個(gè)

2、全等三角形中找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的方法。(1)有公共邊的，公 共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(2)有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；(3)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；(4)在兩個(gè)全等三角形中，最長(zhǎng)的邊對(duì)最長(zhǎng)的邊，最短的邊對(duì)最短的邊，最大的角對(duì)最大的角，最小的角對(duì)最小的角?！揪毩?xí)1】 如圖，圖中有兩對(duì)三角形全等，填空：(1)BOD ； (2)ACD .【例題2】已知圖2中的兩個(gè)三角形全等，則度數(shù)是（ ）A.72° B.60° C.58° D.50°【例題3】如圖，ABCC1A1B1若，且，則 【練習(xí)1】如圖，30°，則的度數(shù)為（ ）CABA 20° B3

3、0° C35° D40°【練習(xí)2】如圖，ABD繞著點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到EBC， 且ABD90°。（1）ABD和EBC是否全等？如果全等，請(qǐng)指出對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角。（2）若AB3cm,BC5cm,你能求出DE的長(zhǎng)嗎？（3）直線AD和直線CE有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由專題二 全等三角形的判定 - （以圖形常見(jiàn)類型為標(biāo)準(zhǔn)）三角形全等的判定方法1、如圖：ABC與DEF中 2、如圖：ABC與DEF中 ABCDEF（ SSS ） ABCDEF（ SAS ）3、如圖：ABC與DEF中 4、如圖：ABC與DEF中 ABCDEF（ ASA ） ABCDEF

4、（ AAS ）5、如圖：RtABC與RtDEF中， 90° RtABCRtDEF（ HL ）【題型一】公共邊類型的全等三角形圖形1 圖形2 圖形3 A B C D D C B A 注意隱含條件ADAD 隱含條件ABBA 隱含條件ACCAA B C D B C A DD 【例1】 在中，AB=AC,AD平分BAC，求證：【針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知：如圖BDCD,12,求證：BC.2. 如圖，已知：，. 求證：. 3. 已知：在中，M在BC上，D在AM上，（如圖）求證：4. 如圖所示，已知，E是AC上一點(diǎn). 求證：. 5. 如圖，在中,M在BC上，D在AM上，ABAC , DBDC 。求證：

5、MBMC6.【例2】如圖, ABCDCB, ACBDBC,求證：ACDB.A B C DD 【針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知：（如圖）. 求證：2. 如圖：ACBC,ADBD,ADBC,CEAB,DFAB,垂足分別是E,F，求證：CEDF.C D A E F B 【例3】已知：如圖，ABCD，ABCD求證：ADBC【題型二】邊加減類型的全等三角形圖形1 圖形2 圖形3 圖形4 A D B E F C (1) A BB F E D C (2) A B E F D C (3) A B F E C D (4) BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE

6、=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE 【例4】已知點(diǎn)B,E,C,F在同一條直線上，ABDF,ACDE,BECF. 求證：AD.A D B E C F 【例5】如圖，已知：求證：.【例6】如圖，已知：.求證：（1）;(2)AEDF. 【例7】已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AFDC，ABDE，BCEF，BCDEFA求證：ABCDEF【針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知A,B,C,D在同一條直線上，ABCD，DEAF，且DEAF，求證：AFCDEB.2. 已知B,E,F,D在同一條直線上，ABCD, BD,BFDE.求證：（1）AECF, (2) A

7、ECF，(3) AFECED3. 已知：如圖，ABDC,ACDB,BECE.求證：AEDE.【題型三】公共角類型的全等三角形右圖中全等的三角形有 寫(xiě)出他們所有的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角 【例7】如圖，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求證：PD=PE.【針對(duì)訓(xùn)練】1. 如圖，已知：，.求證：.2、已知：如圖，PMPN，MN求證：AMBNAEDBCO123. 如圖，已知：BECD，BC，求證：12。4. 已知：如圖，ABAC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BECDACBDEF5. 已知：如圖ABC中，BDAC，CEAB，BD、CE交于O點(diǎn)，且BDCE求證：OB

8、OC.6. 如圖，已知點(diǎn)D、E分別是線段AB、AC上的點(diǎn)，ABAC，ADAE.求證：CDEBED.【題型四】對(duì)頂角類型的全等三角形圖形1 圖形2 【例8】如圖1，已知：AB=CD，AD=CB.求證：B=D.【針對(duì)訓(xùn)練】已知：如圖，ACBD，ADAC，BCBD 求證：ADBC；【例9】如圖，兩條直線AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直線EF過(guò)點(diǎn)O且分別交AB、CD于點(diǎn)E,F，求證：OE=OFD F C O A E B 【針對(duì)訓(xùn)練】1、如圖4，ABDE，AB=DE，1=2.求證：BG=DF.2.如圖已知：AB=CD，AD=BC，O是BD中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線分別交DA和BC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn).

9、求證：AE=CF. DFCOBAE【題型五】旋轉(zhuǎn)類型的全等三角形圖形1 圖形2 圖形3 圖形4 【例10】已知：如圖(1)，AB=AD，BC=DE，1=2.求證：(1)AC=AE； (2) CAE=CDE.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，點(diǎn)E在ABC的外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F，若1=2 =3，AC=AE，求證：AB=AD。2.已知：如圖，ABAD，ACAE，12求證：BCDE【例11】已知：如圖(2)，E=F=90°，B=C，AE=AF，給出下列結(jié)論：1=2；BE=CF；CANABM；CD=DN.其中正確的結(jié)論是_.【例12】如圖，已知AB=AD， B=D，1=2，證明：BC=D

10、E【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點(diǎn)O.求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .2.如圖，已知：，.求證：點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn).【例13】已知A、C、B共線，ACD和BCE為等邊三角形，直線BD、AE交與F，AE、CD相較于點(diǎn)M， BD、AE相較于點(diǎn)N。如圖1， 求證：AE=BD 求AFB的度數(shù) 求證：CM=CN 求證：MNAB 求線段BF、EF、CF的關(guān)系【題型六】大山型的全等三角形【例14】已知：如圖，ABCD,EDBD，AB=CD，BC=DE，求證：ACCE.【針對(duì)訓(xùn)練】1、已知：如圖，在MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且M

11、QNQ求證：HNPM.2已知：如圖，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求證：EDAC3. 已知，如圖14，在ABC中，ADBC，AD=BD，E是AD上一點(diǎn)，ED=CD，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AC于F， 求證：BE=AC，BEAC.4.已知，如圖7， AD為ABC的高， E為AC邊上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD. 求證：（1）BEAC；（2）若把條件BF=AC和結(jié)論BEAC互換，那么這個(gè)命題成立嗎？5.如圖，將兩個(gè)一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三點(diǎn)共線，ABCB，EBDB，ABCEBD90°），連接AE、CD，試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你

12、的結(jié)論C E B A F D 6.如圖所示：在ABC和DBC中，ACB=DBC=,E是BC的中點(diǎn)，EFAB,垂足為F，且AB=DE. （1）求證：BD=BC; （2）若BD=8cm，求AC的長(zhǎng).【題型七】以等腰直角三角形為背景的全等三角形【例15】如圖，在ABC中，ACB90°，ACBC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，求證：EFAEBF（2）如圖，將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探究直線l在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系A(chǔ)DBD；ADBD；ADBD【題型八】角的平分線的性質(zhì)1如圖，C

13、DAB，BEAC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB=OC求證1=22如圖，OC是AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PDOA交OA于D，PEOB交OB于EF是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF求證DF=EF3如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF求證：AD是ABC的角平分線4如圖, 在ABC中, A90°, BD平分B, DEBC于E, 且BEEC, (1)求ABC與C的度數(shù)；(2)求證：BC2AB. 【題型九】倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短法1在ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊的中線，則AD的長(zhǎng)的取值范圍是（ ）.A.1<<

14、;4 B.3<<5 C.2<<3 D.0<<52AD是ABC中BC邊上的中線，AB=4，AC=6，則AD的取值范圍是 .3如圖,ABD和ACE是ABC外兩個(gè)等腰直角三角形,BAD=CAE=900.（1）判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系;（2）探索DC與BE的夾角的大小.（3）取BC的中點(diǎn)M，連MA，探討MA與DE的位置關(guān)系。4如圖，四邊形ABCD中，ADBC，E是CD上一點(diǎn)，且AE、BE分別平分BAD、ABC. （1）求證：AEBE； BCEAD（2）求證：E是CD的中點(diǎn)； （3）求證：AD+BC=AB.5如圖ABC中，A=500，AB>AC，D、E分別在AB、AC上，且BD=CE,BCD=CBE，BE、CD相交于O點(diǎn)，求BOC的度數(shù).6ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF，E在AB邊上，F(xiàn)在AC邊上，判斷并證明BE+CF與EF的大??？.7已知：如圖，在ABC中，A=90°，AB=AC，1=2， 求證：BC=AB+ADA21CBD（分別用截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法各證一次）8已知，如圖，在正方形ABCD中AB=AD，BD90°（1）如果BEDFEF，求證：EAF45°；FA平分DFE（2）如果EAF45°，求證：BEDFEFFA平分DFE（3）如果點(diǎn)