橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的課件

1、 動手實(shí)驗(yàn)動手實(shí)驗(yàn)問問 題題 在我們動手實(shí)驗(yàn)中，哪些量始終沒有變？哪些量在變？（1）當(dāng)兩個圖釘位置確定后，它就不會再變動了 。（2）雖然鉛筆頭分別到兩個圖釘?shù)木嚯x在不停的變化。（3）但鉛筆頭分別到兩個圖釘?shù)木嚯x之和始終沒有改變， 是等于細(xì)繩的長。1. 橢圓的定義橢圓的定義的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓2F1F、的距離的和等于的距離的和等于常數(shù)常數(shù)( ( 大于大于 ) ) 21FF平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) 這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)， 兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距焦距.OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM2. 求橢圓

2、的方程求橢圓的方程解：解：取過焦點(diǎn) 12FF、的直線為x軸，線段 1 2FF的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 設(shè)M(x，y)是橢圓上的任一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c0），橢圓上的點(diǎn)與兩個定點(diǎn) 12FF、的距坐標(biāo)分別為（c，0）， （c，0），離之和為2a（a0），則 12FF，的由條件 122MFMFa，得 2222()()2xcyxcya，OxyMF1F2取過焦點(diǎn) 12FF、的直線為x軸，線段 1 2FF的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 設(shè)M(x，y)是橢圓上的任一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c0），橢圓上的點(diǎn)與兩個定點(diǎn) 12FF、的距離之和為2a（a0），則 坐標(biāo)分

3、別為（c，0）， （c，0），12FF，的2222()()2xcyxcya，由條件 122MFMFa，得 整理得 22222222()()acxa yaac，由橢圓的定義得2a2c0，即ac0，所以220ac ，設(shè) 222(0)acbb，則 222222b xa ya b，等式兩邊同時除以 22a b ，得 222210 xyabab ( )OxyMF1F2)0( 12222babxay012222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸：軸：焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸：軸：1oFyx2FM1 12 2yoFFMx3. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方

4、 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F(c，0)F(0，c)a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系C 2 2 = =a 2 2 b 2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM共同點(diǎn)共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在 坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1 ；.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a,b,c關(guān)系； 橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定即焦點(diǎn)在分母大的哪個軸上。方程特征方程特征2x2y不同點(diǎn)不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在 軸的橢圓 項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在 軸的橢圓 項(xiàng)分母較大.xy222cab例例1已

5、知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為8，橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為10求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 2229bac ，由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2222153xy ，即 221259xy 想一想想一想 將例1中的條件“橢圓的焦點(diǎn)在x軸上”去掉，其余的條件不變，你能寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？ 例例2求下列橢圓的焦點(diǎn)和焦距 22154xy ；（1） （2） 22216xy例例2求下列橢圓的焦點(diǎn)和焦距 22154xy ；（1） （2） 22216xy解解 （1）因?yàn)?4，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且 2254ab，故 2221

6、cab ，因此 c = 1，2c = 2 所以，橢圓的焦點(diǎn)為 12( 10)(10)FF ，、，焦距為2 例例2求下列橢圓的焦點(diǎn)和焦距 22154xy ；（1） （2） 22216xy（2）將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，為 221816xy 因?yàn)?68，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，并且 22168ab，故 2221688cab 因此 2 224 2cc，所以，橢圓的焦點(diǎn)為 12(0, 2 2)(0,2 2)FF、，焦距為4 21已知橢圓的焦點(diǎn)為12(0, 2)(0,2)FF 、，橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為8求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2寫出下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距 2214924xy ；（1） （2） 22464xy2211216xy .1212( 5,0)(5