用因式分解法解一元二次方程

1、大拇指教育學科教師輔導教案學員編號：年 級：八年級課 時 數(shù)：學員姓名：輔導科目：數(shù)學學科教師：張老師授課類型： 同步/ 專題/能 力模塊進行組 合同步： 平行四邊行專題：特殊的平行四邊形能力：教學目標星級授課日期及時 段教學內容用因式分解法解一元二次方程【學習目標】1會用因式分解法解某些一元二次方程2能夠根據(jù)方程的特征，靈活運用一元二次方程的各種解法求方程的根【主體知識歸納】1因式分解法 若一元二次方程的一邊是 0，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，例如，x2 90，這個方程可變形為 （ x 3）（ x 3） 0，要（ x 3）（ x3）等于 0，必須并且只需 （ x3）等于 0或（ x 3

2、）等于 0， 因此，解方程 （x3）（ x3） 0就相當于解方程 x30 或 x30 了，通過解這兩個一次方程就可得到 原方程的解這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法2因式分解法其解法的關鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程其理論根據(jù)是：若A·B 0 A0或 B0【基礎知識講解】1只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是 0的時候， 才能應用因式分解法解一元二次方程分解因式時，要根據(jù)情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法2在一元二次方程的四種解法中， 公式法是主要的，公式法可以說是通法， 即能解任何一個一元二次 方程但對某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡便

3、，有的用因式分解法簡便因此，在 遇到一道題時， 應選擇適當?shù)姆椒ㄈソ?配方法解一元二次方程是比較麻煩的， 在實際解一元二次方程時， 一般不用配方法而在以后的學習中，會常常用到因式分解法，所以要掌握這個重要的數(shù)學方法【例題精講】例 1 ：用因式分解法解下列方程：2（1）y27y60； （2） t （2t 1）3（2t1）； （3）（2 x1）（ x 1） 1解：（1） 方程可變形為 （ y 1）（ y6）0，y10或y60， y1 1， y2 61（2）方程可變形為 t（2t1）3（2t1）0，（2t1）（ t3）0，2t10 或 t 30， t 1 ，t222（3）方程可變形為 2x23x0x

4、（2 x3） 0，x0 或 2x303 x 1 0， x2 2說明： （1） 在用因式分解法解一元二次方程時， 一般地要把方程整理為一般式， 如果左邊的代數(shù)式能夠 分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出 這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了（2）應用因式分解法解形如 （ x a）（ xb）c的方程，其左邊是兩個一次因式之積，但右邊不是零，所 以應轉化為形如 （xe）（ xf ） 0的形式，這時才有 x1 e， x2 f ，否則會產生錯誤，如 （3） 可能產生如下 的錯解：原方程變形為： 2x11 或 x11 x11， x2 2（3）在

5、方程 （2） 中，為什么方程兩邊不能同除以 （2t 1） ，請同學們思考？例 2 ：用適當方法解下列方程：（1）3 （1 x） 2 27 ；（2） x26x190；（3）3x24x1；（4） y2152y；（5）5x（x3）（x3）（x 1）0；22（6）4（3 x1） 225（x2） 2剖析：方程 （1） 用直接開平方法，方程 （2） 用配方法，方程 （3） 用公式法，方程 （4） 化成一般式后用因式 分解法，而方程 （5） 、 （6） 不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了解： （1）（1 x） 9 ，（x1） 3，x1± 3 ，x11 3 ，x21 3 2 2 2 2 2（

6、2）移項，得 x26x19，配方，得 x26x（3）219（3）2，（x3）228，x3±2 7 ， x 1 3 2 7 ， x2 3 2 7 2（3）移項，得 3x24x 10， a 3， b 4，c 1，x( 4) ( 4) 2 4 3 ( 1)232732 7 2 7 x 1， x 233（4）移項，得 y22y150，把方程左邊因式分解，得 （ y5）（ y 3） 0； y5 0 或 y 30， y15，y2 3（5）將方程左邊因式分解，得 （x3）5x（x1）0，（x3）（4 x1）0， x30 或 4x 1 0， 3， 1 x1 3， x2 422（6）移項，得 4（3

7、x 1） 2 25（ x 2） 20， 2（3x1）25（ x2）20， 2（3 x1）5（x2）·2（3 x1）5（x2）0， （11 x8）（ x12） 0，11x80 或 x 12 0， x1 8 ，x21211說明： （1） 對于無理系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過要注意二次根式的化簡（2） 直接因式分解就能轉化成兩個一次因式乘積等于零的形式， 對于這種形式的方程就不必要整理成一 般式了例 3: 解關于 x 的方程： （ a2b2） x2 4abx a2 b2解： （1） 當 a2b20，即 a b時，方程為 4abx 0當 ab0時， x為任意實數(shù)當 a b 0時

8、， x022（2） 當a2b20，即 ab0且 ab0時，方程為一元二次方程分解因式，得（ab）x（ab） （ a b） x （ ab） 0， a b 0 且 a b 0 ，b aa b x1， x2a ba b說明：解字母系數(shù)的方程，要注意二次項系數(shù)等于零和不等于零的不同情況分別求解本題實際上是 分三種情況，即 a b0； a b 0； a b例 4: 已知 x2xy2y20，且 x0， y 0，求代數(shù)式22x2 2xy 5y2 的值x2 2xy 5y2剖析：要求代數(shù)式的值， 只要求出 x、y的值即可， 但從已知條件中顯然不能求出， 要求代數(shù)式的分子、 分母是關于 x、y 的二次齊次式，所以

9、知道 x 與 y 的比值也可由已知 x2 xy2y20 因式分解即可得 x 與 y 的比值22解：由 x2 xy 2y2 0，得（ x 2y）（ xy）0，x2y0或 xy0，x2y或 xy當 x 2y 時，x 22xy5y2(2y)22 2y y5y2 5y 25x 22xy5y 2(2y)22 2y y5y213y213當 xy 時，x 2 2xy 5y222x2 2xy 5y 2( y)2 2 ( y) y 5y 22y21( y)2 2 ( y) y 5y4y 22說明：因式分解法體現(xiàn)了“降次”化歸”的數(shù)學思想方法，它不僅可用來解一元二次方程，而且在解元高次方程、二元二次方程組及有關代

10、數(shù)式的計算、證明中也有著廣泛的應用【同步達綱練習】1選擇題（1） 方程（ x16）（ x 8） 0的根是 （ ）16，A x1 16，x28 x2 8 (2) 下列方程 4x23x10，5x27x20，13x215x20 中，有一個公共解是Bx116，x2 8Cx1 16，x28Dx11 A x2(3) 方程 5x( x3) 3( x 3)解為(Bx2Cx1Dx 13Ax1 ， x2 35B3x5C3x1 ， x2 35D x1 x2 3(4) 方程( y5)( y2)1的根為( A y15， y2 2B案都不對22(5) 方程( x 1) 24( x 2) 2 0的根為 ( ) y5Cy2D

11、以上答A x11， x2 5B x1 1， x2 5Cx1 1， x2 5Dx11， x2 5(6) 一元二次方程 x25x0 的較大的一個根設為 m， x2 3x20 較小的根設為 n，則 mn 的值為 ( )A1B2C 4D4(7)已知三角形兩邊長為4和 7，第三邊的長是方程x216x55 0 的一個根，則第三邊長是()A5B 5 或 11C6D11(8)方程 x2 3| x1| 1 的不同解的個數(shù)是 ( )A0B1C2D32填空題(1) 方程 t(t3)28 的解為2(2) 方程(2x1)23(2x1)0的解為 (3) 方程(2 y 1) 2 3(2 y1) 2 0的解為 2(4) 關于

12、 x的方程 x2(mn)xmn0的解為 (5) 方程 x(x 5 ) 5 x 的解為 3用因式分解法解下列方程：2 2 2(1) x212x 0；(2)4 x21 0；(3) x27x；2(4) x24x 210；(5)( x1)( x3) 12；2(6)3 x22x 10；2(7)10 x2x 30；2(8)( x 1) 24( x 1) 2104用適當方法解下列方程：（1） x24x 30；2(4) x22x 30；(2)( x2) 2256；2(5) (2 t 3) 2 3(2 t3)；(3) x2 3x10；22(6) (3 y) 2 y2 9；(7)(1 2 )x (1 2 )x 0 ；(8) 5 x2(5 2 1)x 10 0；(9)(x5)22(x5) 805解關于 x 的方程：22(1) x24ax 3a212a；22(2)x2 5xk22kx5k 6；(3) x22mx 8m20；(4)22x2 (2 m 1) xm2 m 06已知 x23xy4y2 0（