平行線分線段成比例定理

1、1l2l3l?F?E?D?C?B?AEFDEBCABDFDEACABDFEFACBCl1l2l3平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所得的線段對(duì)應(yīng)成比例 如圖已知l1l2l3 求證或或?L3?L2?L1?M?F?E?D?B?A?C?NABS ABMBCS BCMAMS ABMMNS BMNABAMBCMNABBEBCEF 定理的證明過(guò)A點(diǎn)作AN DF，交l2于M，交l3于N 點(diǎn)，連接 BN 、CM（如圖(1-2）l1l2l3AM =DE MN=EF在ACN中，有BMCN SBCN= SBMN 亦即 平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所得的線段對(duì)應(yīng)成比例 v“對(duì)應(yīng)”是數(shù)學(xué)的基本

2、概念，】v圖1-1中，v在l1l2l3的條件下，可分別推出如下結(jié)論之一：v（1）簡(jiǎn)稱(chēng)“上比下”等于“上比下”v（2）簡(jiǎn)稱(chēng)“上比全”等于“上比全”v（3?簡(jiǎn)稱(chēng)“下比下”等于“下比下”v把這個(gè)定理運(yùn)用于三角形中就得到它的重要推論。?L3?L2?L1?M?F?E?D?B?A?C?NA BB EB CE F因?yàn)?l1l2l3 所以 如何理解定理結(jié)論中“所得線段對(duì)應(yīng)成比例”呢？ab基本圖形：“A”字形L1L2L3ABCDEFABBEBCEFab基本圖形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）FABBEBCEFabL1L2L3ABCDEFGABBEBCEF平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,所得的線

3、段對(duì)應(yīng)成比例.全全下下上上ABBEBCEF! 注意注意:應(yīng)用平行線分線段成比例定理得到的應(yīng)用平行線分線段成比例定理得到的比例式中比例式中,四條線段與兩直線的交點(diǎn)位置無(wú)關(guān)四條線段與兩直線的交點(diǎn)位置無(wú)關(guān)!平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理 : 三條平行線截兩條三條平行線截兩條 直線直線, 所得的線段對(duì)應(yīng)成比例所得的線段對(duì)應(yīng)成比例. 平移平移BACABFECDM(D)EF平移平移ABC平移平移ABCEDNFDF(E)全全下下上上l2l3l1l3推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例.ABCDEl2ABCDEl1ab平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線

4、所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等。L1L2L3ABCDEFABBEBCEF平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何聯(lián)系？ABCDEFABCDEF1 1當(dāng)當(dāng)BCAB1 1當(dāng)當(dāng)BCABFEBACD已知:如圖,DE/BC,DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、EBCDEACAEABAD求證：DE/BCACAEABADEF/ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD例例1 已知：如圖已知：如圖 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4。求。求BC。321/lll練習(xí)：已知：如圖，練習(xí)：已知：如圖， ，AB= a, BC= b, EF=c. 求求DE。321/l

5、ll1l2l3lEFDBAC1l2l3lDCBEAF例 2 如圖,ABC中,DF/AC,DE/BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的長(zhǎng).FACB分析:運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論分別列出比例式求解.解DE/BC3264ACAEABADDF/ACCBCFABAD316,832CFCF即38316-8BFDE例3 如圖,ABC中,DE/BC,EF/CD. 求證:AD是AB和AF的比例中項(xiàng).FEBACD分析: 分別在ABC及ADC中利用平行線分線段成比例定理的推論證明AEACADABDE/BCABC,中在AEACAFADEF/CDADC,中在AFADADABAD2=ABAF,即AD

6、是AB和AF的比例中項(xiàng)EFDEBCAB（平行線分線段成（平行線分線段成比例定理）。比例定理）。三三 練習(xí)練習(xí)全全下下上上！EFBCDEABDFACEFBCDFACEFBCDEAB證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?21/lllDFEFACBC（平行線分線段成（平行線分線段成比例定理）。比例定理）。因?yàn)橐驗(yàn)镈FACEFBCDEAB已知：如圖，已知：如圖， ， 求證：求證： 。321/lll1l2l3lEBADCFEFDEBCAB（平行線分線段（平行線分線段成比例定理）。成比例定理）。設(shè)設(shè)AB=X，則，則BC=8X即：即：516AB516X DFDEACAB（平行線分線段成（平行線分線段成比例定理）。比例定理）

7、。即：即：3228AB516AB方法二方法二 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?21/lll方法一方法一 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?21/lll32X-8X已知：如圖，已知：如圖， ，AC=8，DE=2，EF=3，求求AB。321/lll3l2l1lACDBEF作業(yè)1 1、已知、已知ABAB、CDCD為梯形為梯形ABCDABCD的底，對(duì)角線的底，對(duì)角線ACAC、BDBD的的交點(diǎn)為交點(diǎn)為O O，且，且AB=8AB=8，CD=6,BD=15CD=6,BD=15，求，求OBOB、ODOD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。2、如圖，在如圖，在ABC中，作平行于中，作平行于BC的直線交的直線交AB于于D，交交AC于于E，如果，如果BE和和CD相交于相交于O，AO和和DE相交于相交于F，AO的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線和BC交于交于G。證明：（證明：（1） （2）BG=GCFEDFGCBG3、如圖，梯形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，EFAD，假設(shè)EF作上下平行移動(dòng)，ADBCEF：，EBAE2321) 1 (求證如果ADBCEF：，EBAE32532)2(求證如果。，nmEBAE，可以得到