Ch12.1-3(機(jī)械波)

1、復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù)1. 回復(fù)力：回復(fù)力：kxF 2. 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：0222 xdtxd 且且 由系統(tǒng)決定由系統(tǒng)決定3. 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：)cos( tAx二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征1. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)為周期振動(dòng)；簡(jiǎn)諧振動(dòng)為周期振動(dòng)；2. 狀態(tài)由狀態(tài)由 A， 決定；決定；3. 由本身性質(zhì)決定由本身性質(zhì)決定, A、 由振動(dòng)系統(tǒng)和初始由振動(dòng)系統(tǒng)和初始條件共同確定。條件共同確定。由初始條件確定振幅和初相位：由初始條件確定振幅和初相位： cos0Ax sin0Av 三、旋轉(zhuǎn)矢量法三、旋轉(zhuǎn)矢量法 AxO 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能：) (si

2、n2122 tkAEk 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的勢(shì)能：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的勢(shì)能： );(cos2121222 tkAkxEppkEEE 221kA 四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量)( 002200 xvarctgvxA 六、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振六、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振五、五、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1. 同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)()()(21txtxtx )cos( tA)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAarctg 2. 同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振

3、動(dòng)的合成同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍 拍頻：拍頻： = 2 - - 13. 垂直方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成垂直方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中常見(jiàn)的波，它聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中常見(jiàn)的波，它對(duì)應(yīng)一種物質(zhì)波。波即可以是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳遞而非物對(duì)應(yīng)一種物質(zhì)波。波即可以是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳遞而非物質(zhì)的自身運(yùn)動(dòng)，也可以是物質(zhì)本身的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，甚至質(zhì)的自身運(yùn)動(dòng)，也可以是物質(zhì)本身的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，甚至把波直接看作一種粒子。把波直接看作一種粒子。 各種類(lèi)型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例各種類(lèi)型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳如，

4、聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時(shí)可以直接把它看作粒子播，至于光波有時(shí)可以直接把它看作粒子 光子光子的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。 機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械波。下面以機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械波。下面以機(jī)械波為例介紹波的一些物理概念。機(jī)械波為例介紹波的一些物理概念。但它們都有類(lèi)似的波動(dòng)方程。但它們都有類(lèi)似的波動(dòng)方程。Mechanical Wave第十二章第十二章 機(jī)機(jī) 械械 波波2. 彈性波產(chǎn)生的條件：彈性波產(chǎn)生的條件： (1). 要有振源要有振源(波源波源) (2). 要有傳播振動(dòng)的媒質(zhì)要有傳播振動(dòng)的媒質(zhì)3. 橫波和縱波橫波和縱波 Transversal Wave

5、 and Longitudinal Wave橫波：橫波：傳播方向與振動(dòng)方向垂直傳播方向與振動(dòng)方向垂直 (繩上波繩上波) String縱波：縱波：傳播方向與振動(dòng)方向平行傳播方向與振動(dòng)方向平行 (空氣中聲波空氣中聲波) Gas波動(dòng)波動(dòng)是是振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)的傳播，各介質(zhì)不隨波前進(jìn)。的傳播，各介質(zhì)不隨波前進(jìn)。任一波任一波例如，水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來(lái)進(jìn)行例如，水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來(lái)進(jìn)行研究。研究。彈性力：彈性力： 有正彈性力（壓、有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正體和氣體彈性介質(zhì)中只有正彈性力而沒(méi)有切彈性力。彈性力而沒(méi)有切

6、彈性力。由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)一、基本概念一、基本概念 1. 彈性波：機(jī)械振動(dòng)在彈性波：機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)中的傳播中的傳播Mechanical Wave Generation and Propagation12-1 機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播縱波縱波橫波橫波(1) 波面：波面：t 時(shí)刻相位相同的點(diǎn)組成的面（波陣面）時(shí)刻相位相同的點(diǎn)組成的面（波陣面） 平面波平面波平面平面球面波球面波球面球面波線波線波面波面波面波面波線波線(3) 波前：某時(shí)刻在最前面的波面波前：某時(shí)刻在最前面的波面(2) 波射線：沿波的傳播方向作的射線波射線：沿波的傳播方向作的射線在各向同

7、性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。4. 波的幾何描述波的幾何描述波面、波線、波前波面、波線、波前 Wave Surface，wave line，wave front 波陣面是：波陣面是：（2）后振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)）后振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)落后一段時(shí)間。落后一段時(shí)間。二、平面簡(jiǎn)諧波二、平面簡(jiǎn)諧波 Plane Harmonic Wave1. 簡(jiǎn)諧波：簡(jiǎn)諧波：(簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間的傳播簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間的傳播) 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 2. 描述簡(jiǎn)諧波的物理量描述簡(jiǎn)諧波的物理量（1）波速）波速 u：Wave Velocity 取決于媒質(zhì)（與頻取決于媒質(zhì)

8、（與頻率無(wú)關(guān)）率無(wú)關(guān)） 波速波速 單位時(shí)間某種一定的振動(dòng)狀態(tài)（或振單位時(shí)間某種一定的振動(dòng)狀態(tài)（或振動(dòng)動(dòng)相位）所傳播的距離稱(chēng)為波速相位）所傳播的距離稱(chēng)為波速 ，也稱(chēng)之相速，也稱(chēng)之相速 。uBD_12右行波右行波1右行波右行波左右左右行波行波1左右左右行波行波（1）每個(gè)質(zhì)元在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而）每個(gè)質(zhì)元在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而波動(dòng)以一定的速度由近及遠(yuǎn)傳播。波動(dòng)以一定的速度由近及遠(yuǎn)傳播。 B. 固體中固體中橫波：橫波： Gu 縱波：縱波： Yu 其中：其中： G 切變彈性模量切變彈性模量 Y 楊氏彈性模量楊氏彈性模量 媒質(zhì)的密度媒質(zhì)的密度（2） 波長(zhǎng)波長(zhǎng)（Wave Length）：波傳播

9、過(guò)程中，同一）：波傳播過(guò)程中，同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為 2 的兩質(zhì)元間的距離。的兩質(zhì)元間的距離。 A. 液體、氣體中（僅有縱波）液體、氣體中（僅有縱波） Bu B 液體或氣體的容變彈性模量液體或氣體的容變彈性模量 媒質(zhì)的密度媒質(zhì)的密度應(yīng)力與應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)變 反映了波的空間周期性。反映了波的空間周期性。（4）頻率（）頻率（Frequency）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的次數(shù)，或單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)推進(jìn)的距離中所包含的完次數(shù)，或單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)推進(jìn)的距離中所包含的完整波長(zhǎng)的數(shù)目。整波長(zhǎng)的數(shù)目。T1 （5）幾個(gè)關(guān)系式）幾個(gè)關(guān)系式 Tu （3）波的周期）波的周期T

10、（Period）：）：波傳過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)的時(shí)波傳過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)的時(shí)間，或一個(gè)完整的波通過(guò)波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間間，或一個(gè)完整的波通過(guò)波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間叫做波的周期叫做波的周期 T 。 與振源的振動(dòng)周期相同，與振源的振動(dòng)周期相同，反映了波的時(shí)間周期性。反映了波的時(shí)間周期性。 t = t - - t 時(shí)刻時(shí)刻 O 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳播到點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳播到 p 點(diǎn)：點(diǎn)：12-2 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波 Plane Harmonic Wave一、波函數(shù)（波動(dòng)表達(dá)式）：一、波函數(shù)（波動(dòng)表達(dá)式）： 各質(zhì)點(diǎn)的位移各質(zhì)點(diǎn)的位移 (y) 與平衡位置與平衡位置 (x) 及時(shí)間及時(shí)間 t 的關(guān)系的關(guān)系) ,(txyy 1

11、. 波函數(shù)的建立波函數(shù)的建立xypuOx y 表示各質(zhì)點(diǎn)在表示各質(zhì)點(diǎn)在 Y 方向方向上的位移，上的位移，A 是振幅，是振幅， 是角頻率或叫圓頻率，是角頻率或叫圓頻率， 0 為為 O 點(diǎn)在零時(shí)刻的相位。點(diǎn)在零時(shí)刻的相位。O 點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)動(dòng)傳到點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)動(dòng)傳到 p 點(diǎn)需用時(shí)間點(diǎn)需用時(shí)間 uxt )cos(0 tAyBD_12設(shè)：設(shè)： 坐標(biāo)系如圖；波速坐標(biāo)系如圖；波速 u。 媒質(zhì)不吸收能量媒質(zhì)不吸收能量且各向同性；且各向同性； O 點(diǎn)（原點(diǎn)）振動(dòng)表達(dá)式：點(diǎn)（原點(diǎn)）振動(dòng)表達(dá)式： 重點(diǎn)！重點(diǎn)！)( cos) ,(0 uxtAtxy2)( cos) ,(0 xtAtxy 22 TTuk； 22 T。 uuT

12、 定義定義 k 為為波數(shù)波數(shù)因此下述幾式等價(jià)：因此下述幾式等價(jià)：也即也即 p 點(diǎn)的相位落后于點(diǎn)的相位落后于 O 點(diǎn)相位：點(diǎn)相位： 。 x2T/2 Tu/ 0)( tt恰好為恰好為 t 時(shí)刻時(shí)刻 p 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。所以所以 p 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：xypuOx這就是這就是右行波右行波的波方程。的波方程。)(cos) ,(0 uxtAtxy(3) 波函數(shù)的幾種不同的形式：波函數(shù)的幾種不同的形式：)(2cos) ,(0 xTtAtxy)(2cos) ,(0 uxtAtxy)(2cos) ,(0 xutAtxy注意：注意：y有兩個(gè)有兩個(gè)自變量自變量! 這些即為波的表達(dá)式（波函這些

13、即為波的表達(dá)式（波函數(shù)），常稱(chēng)為波動(dòng)方程數(shù)），常稱(chēng)為波動(dòng)方程。； 22 T uuT 因此下述幾式等價(jià)：因此下述幾式等價(jià)：2. 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義(1) 當(dāng)當(dāng) x 給定時(shí)，設(shè)給定時(shí)，設(shè) x = x0，則有：，則有：)(cos00 uxtAy)cos( tA其中其中ux00 表示表示 x0 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況（振動(dòng)方程的（振動(dòng)方程的曲線曲線）。）。(2) 當(dāng)當(dāng) t 給定，設(shè)給定，設(shè) t = t0，則有：，則有：)(cos0 uxtAy 即即 y = y(x)，表示，表示 t = t0 時(shí)刻時(shí)刻的波形圖。的波形圖。( ( t0 時(shí)刻的波的照片時(shí)刻的波的照片 ) )注意：注

14、意：波形圖與振動(dòng)曲線的區(qū)別。波形圖與振動(dòng)曲線的區(qū)別。ytOy波形曲線波形曲線xO(3) 當(dāng)當(dāng) x、t 均變化，均變化，y = y(x, t) 表示不同時(shí)刻，不同表示不同時(shí)刻，不同平衡位置處各質(zhì)元的位移。平衡位置處各質(zhì)元的位移。 在在 t 時(shí)間內(nèi)，整個(gè)波形以速度時(shí)間內(nèi)，整個(gè)波形以速度 u 向前推進(jìn)了向前推進(jìn)了x = ut，波函數(shù)描述了波形波函數(shù)描述了波形（相位）（相位）的傳播。的傳播。傳播速度傳播速度為為 u。 u 也稱(chēng)為相速度。也稱(chēng)為相速度。xyO波波的的傳傳播播方方向向時(shí)時(shí)刻刻的的波波形形 1t時(shí)時(shí)刻刻的的波波形形tt 1xtux xyO波波的的傳傳播播方方向向時(shí)時(shí)刻刻的的波波形形 1t時(shí)時(shí)

15、刻刻的的波波形形tt 1xtux )(cos)(011111 uxtAtxy，)(cos)(022222 uxtAtxy，)(cos011 utuxttA)(cos011 tuxttA)(cos011 uxtA)(111txy， (4) 由波函數(shù)得，波速由波函數(shù)得，波速 u 實(shí)際是振動(dòng)相位傳播速度實(shí)際是振動(dòng)相位傳播速度01111)( uxtxt處處質(zhì)質(zhì)元元的的振振動(dòng)動(dòng)相相位位時(shí)時(shí)刻刻011)( uxxtt處處質(zhì)質(zhì)元元的的振振動(dòng)動(dòng)相相位位時(shí)時(shí)刻刻22xt若若兩兩處處相相位位相相等等，則則011)( uxt011)( uxxtttxu 振動(dòng)相位以波速振動(dòng)相位以波速 u 傳播，故傳播，故 u 又稱(chēng)為

16、波的又稱(chēng)為波的 相速度。相速度。0 uxt(5). 由波函數(shù)可求得各質(zhì)元的振動(dòng)速度、位移、加由波函數(shù)可求得各質(zhì)元的振動(dòng)速度、位移、加 速度速度tyv )(sin0 uxtA22tya )(cos02 uxtA由此可知，波函數(shù)描述波動(dòng)狀態(tài)。由此可知，波函數(shù)描述波動(dòng)狀態(tài)。注意：注意：v 和和 u 的不同。的不同。3. 沿沿 x 軸負(fù)向傳播的情況軸負(fù)向傳播的情況已知：已知：)cos(0 tAy左行波左行波的波函數(shù)：的波函數(shù)：)(cos),(0 uxtAtxy)(2cos),(0 utxAtxypxyuOx也即也即 p 點(diǎn)的相位超前于點(diǎn)的相位超前于 O 點(diǎn)相位：點(diǎn)相位：所以所以 p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，點(diǎn)的運(yùn)

17、動(dòng)方程，也也就是就是左行波左行波的波方程：的波方程： xux2 p 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)傳到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)傳到 O 點(diǎn)需用點(diǎn)需用時(shí)間：時(shí)間： uxt 例題例題1 如圖，一平面波在介質(zhì)中以速度如圖，一平面波在介質(zhì)中以速度 u=20m/s 沿沿 x 軸負(fù)方向傳播，已知軸負(fù)方向傳播，已知 A 點(diǎn)振動(dòng)方程為：點(diǎn)振動(dòng)方程為： y = 3cos4t (SI) (1) 以以 A 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波動(dòng)方程點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波動(dòng)方程(波函數(shù)波函數(shù))； (2) 以距以距 A 點(diǎn)點(diǎn) 5m 處的處的 B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程。方程。uBAx解：解：(1) 若以若以 A 為原點(diǎn)，則有：為原點(diǎn)，則有：ty 4cos3

18、0 x 處處 t 時(shí)刻的振動(dòng)，與時(shí)刻的振動(dòng)，與 A 處處 t+x/u 時(shí)刻時(shí)刻的振動(dòng)相同，因而的振動(dòng)相同，因而 x 處的振動(dòng)為：處的振動(dòng)為：)(4cos3uxty )( )20(4cos3SIxt x 處質(zhì)元的振動(dòng)，與處質(zhì)元的振動(dòng)，與 A 處處uxxtA 時(shí)刻的振動(dòng)相同時(shí)刻的振動(dòng)相同故：故：)(4cos3uxxtyA )20520(4cos3 xt )()20(4cos3SIxt 要點(diǎn)：要點(diǎn)：抓住沿波的傳播方向上各點(diǎn)相位依次落后。抓住沿波的傳播方向上各點(diǎn)相位依次落后。(2) 以以 B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) A 處坐標(biāo)為處坐標(biāo)為 xA，t 時(shí)刻時(shí)刻A 點(diǎn)振動(dòng)方程為：點(diǎn)振動(dòng)方程為：ty

19、A 4cos3 例題例題2 一平面余弦波，波線上各質(zhì)元的振幅和角頻一平面余弦波，波線上各質(zhì)元的振幅和角頻率分別為率分別為 A 和和，波沿，波沿 x 軸正向傳播，波速為軸正向傳播，波速為 u ，設(shè)某一瞬時(shí)的波形如圖所示，并取圖示瞬時(shí)為計(jì)時(shí)設(shè)某一瞬時(shí)的波形如圖所示，并取圖示瞬時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。求：起點(diǎn)。求：(1) 分別以分別以 O 和和 P 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出該波的波函數(shù)；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出該波的波函數(shù)；(2) 確定在確定在 t = 0 時(shí)刻，距點(diǎn)時(shí)刻，距點(diǎn) O 分別為分別為 x =/8 和和x = 3/8 兩處質(zhì)元振動(dòng)速度的大小和方向。兩處質(zhì)元振動(dòng)速度的大小和方向。解：解：(1) 取取 O 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)

20、，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) O 點(diǎn)振動(dòng)方程為：點(diǎn)振動(dòng)方程為：)cos(00 tAy其中其中A， 為已知，現(xiàn)求為已知，現(xiàn)求 0，由圖知，由圖知，t = 0 時(shí)，時(shí)，yxx Pouy 8 83 0cos00 Ay00sin Av 0 故：故：20 于是可得：于是可得：)2cos( tAyO波函數(shù)為：波函數(shù)為：2)(cos uxtAy若取若取 P 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：) cos( tAyP由波形圖可知，由波形圖可知，t = 0 時(shí)刻：時(shí)刻：cos0 Ay A sin0 Av 0 因此因此 = 。則有：。則有：)cos( tAyPyOyOyO

21、yO因而有：因而有：)(cos uxtAy 由此可知，原點(diǎn)的選取決定了波函數(shù)的初相，應(yīng)明由此可知，原點(diǎn)的選取決定了波函數(shù)的初相，應(yīng)明確原點(diǎn)的位置。確原點(diǎn)的位置。另解：另解：2)(cos43 uxtAy243)(cos uuxtA223)(cos uxtA)(cos uxtA1. 建立坐標(biāo)系，選取計(jì)時(shí)起點(diǎn)；建立坐標(biāo)系，選取計(jì)時(shí)起點(diǎn)；2. 求某點(diǎn)的振動(dòng)方程；求某點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 求質(zhì)元的振動(dòng)速度求質(zhì)元的振動(dòng)速度x 處：處：2)(sin uxtAtyv22sin xtA: ,8/ 0,得得代代入入以以 xt Av22 沿沿 y 軸負(fù)向軸負(fù)向: ,8/3 0,得得代代入入以以 xt Av22 沿沿

22、 y 軸正向軸正向步驟：步驟：3. 由波的傳播規(guī)律，以及傳播方向，某點(diǎn)的由波的傳播規(guī)律，以及傳播方向，某點(diǎn)的振動(dòng)情況，求波線上任意振動(dòng)情況，求波線上任意 x 點(diǎn)的振動(dòng)情況。點(diǎn)的振動(dòng)情況。例題例題3 已知已知 A 點(diǎn)振動(dòng)方程為：點(diǎn)振動(dòng)方程為：cos tAy求下列情況下的波函數(shù)。求下列情況下的波函數(shù)。Pxyx)1(Au)(cos uxtAy)(cos ulxtAyPxyx) 2(Alu)(cos ulxtAyPxyxAL)4(無(wú)無(wú)半半波波損損失失求求反反射射波波方方程程)2(cos uxLtAyPxyx)3(Aul二、平面波的波動(dòng)方程二、平面波的波動(dòng)方程 Wave Equation of Plan

23、e Wave)(sin),(0 uxtAttxyyv)(cos),(0222 uxtAttxyya 222022221)(costyuuxtuAxy 222221tyuxy 波動(dòng)的波動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 將平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)對(duì)時(shí)間和對(duì)將平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)對(duì)時(shí)間和對(duì) x 分別求二階分別求二階偏導(dǎo)數(shù)，有：偏導(dǎo)數(shù)，有：推廣：推廣：2222222221tuzyx 任何物理量任何物理量 滿足上式，則以波動(dòng)形式傳播。滿足上式，則以波動(dòng)形式傳播。12-3 波的能量波的能量 Energy of Wave波的傳播過(guò)程：波的傳播過(guò)程： （1）振動(dòng)狀態(tài)的傳播）振動(dòng)狀態(tài)的傳播(相位相位)（2）能量的傳播）能量的傳

24、播一、一、 行波的能量行波的能量以弦上橫波為例，其波函數(shù)為：以弦上橫波為例，其波函數(shù)為：)(cos0 uxtAyxyOABx y 取取 AB 段為研究對(duì)象，段為研究對(duì)象，為弦的質(zhì)量線密度。為弦的質(zhì)量線密度。(1) AB 段的動(dòng)能段的動(dòng)能221mvEk 2)( 21tyx )(sin210222 uxtxA(2) AB 段的勢(shì)能段的勢(shì)能彈性勢(shì)能應(yīng)為張力彈性勢(shì)能應(yīng)為張力 T 在線元伸長(zhǎng)的過(guò)程中所作的功，在線元伸長(zhǎng)的過(guò)程中所作的功，即：即：)(xlTEp 22)()(yxl 2/12)(1 xyx )(2112 xyx代入上式，得：代入上式，得：)(212xyxTEp 2)(21xyxT x 很小很

25、小2)(21xyxT )(sin2102222 uxtuxATl T TyOuy x x)(sin210222 uxtxA利用了利用了 Tu (3) 總機(jī)械能總機(jī)械能E pkEE )(sin0222 uxtxA(4) 能量密度：?jiǎn)挝惑w積中的能量（能量密度：?jiǎn)挝惑w積中的能量（ 為質(zhì)量密度）為質(zhì)量密度）VEw xSE )(sin0222 uxtA(5) 平均能量密度（對(duì)平均能量密度（對(duì) t 求平均）求平均） TwdtTw01 TdtuxtAT00222)(sin1 2221 A )(sin210222 uxtxAEp(6) 特點(diǎn)特點(diǎn))(sin210222 uxtxAEk(A) Ek， Ep 相位，

26、大小均相同。相位，大小均相同。(注意與振動(dòng)能量相區(qū)別注意與振動(dòng)能量相區(qū)別) 動(dòng)能、勢(shì)能動(dòng)能、勢(shì)能 同時(shí)達(dá)到最大值、最小值。同時(shí)達(dá)到最大值、最小值。xyab形變最大，振動(dòng)形變最大，振動(dòng)速度最大速度最大形變最小形變最小 0，振動(dòng)速度最小振動(dòng)速度最小 0 重點(diǎn)！重點(diǎn)！ 與彈簧振子能量不同，總機(jī)械能并不是常量，與彈簧振子能量不同，總機(jī)械能并不是常量，它隨它隨 t 變化。變化。 能量以速度能量以速度 u 傳播。能量的傳播速度和傳播傳播。能量的傳播速度和傳播方向與波的傳播速度和傳播方向總相同。方向與波的傳播速度和傳播方向總相同。)(sin (B)0222 uxtxAE(C) 波的傳播過(guò)程也是能量的傳播過(guò)程

27、。波的傳播過(guò)程也是能量的傳播過(guò)程。 行波行波 （與（與駐波駐波區(qū)別）區(qū)別）二、二、 波的能流密度與波的強(qiáng)度波的能流密度與波的強(qiáng)度 (1) 能流（能流（Energy Flow） 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一截面的能量稱(chēng)為波通過(guò)截面的能量稱(chēng)為波通過(guò)該截面的能流，或叫能通量。該截面的能流，或叫能通量。wStuW w 為截面所在位置的能量密度為截面所在位置的能量密度所以，能流為：所以，能流為：)(sin0222 uxtASuwSutWP顯然能流是隨時(shí)間周期性變化的。但它總為正值。顯然能流是隨時(shí)間周期性變化的。但它總為正值。 設(shè)波速為設(shè)波速為 u，在，在 t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波速截面時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波速截面S 的能量：的能量：S tu u 平均能流平均能流 (2) 平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱(chēng)為平平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱(chēng)為平均能流均能流wSuP (3)能流密度：能流密度：通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積單位面積 的平均能流稱(chēng)為平均能流密度，通常稱(chēng)為的平均能流稱(chēng)為平均能流密度，通常稱(chēng)為能流密能流密 度或波的強(qiáng)度度或波的強(qiáng)度。uAwuSPI2221 換句話說(shuō)，能流密度換句話說(shuō)，能流密度是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波速方向的單位截面于波速方向的單位截面的平均能量。的平均