03函數(shù)的極限

1、 第一章 一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義第三節(jié)二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的極限 情形情形1：自變量趨于有限值：自變量趨于有限值 情形情形2：自變量趨于無窮大：自變量趨于無窮大把數(shù)列看作自變量為 的函數(shù))(nfxnann那么數(shù)列的極限為，就是：當(dāng)自變量 取正整數(shù)而無限增大（即 ） )(nfxnn對應(yīng)的函數(shù)值 無限接近于常數(shù) . ( )f na這里我們將引出函數(shù)極限的一般概念：在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限 .一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極

2、限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限( )21yf xxxr0.5x 觀察：函數(shù) ， 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的變化趨勢。 x 0.2 0.3 0.4 0.49 0.5 0.51 0.6 0.91f(x) 1.4 1.6 1.8 1.98 22.02 2.2 2.8 3不難看出， 越接近于 時(shí)， 就越接近于 . 我們研究的是 充分接近0.5時(shí) 的變化趨勢，而不是求 時(shí) 的函數(shù)值。 x0.52( )f xx( )f x0.5x ( )f x1.定義定義 設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 axf)(則稱常數(shù) a 為函數(shù))(xf當(dāng)0 x

3、x 時(shí)的極限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xx時(shí), 有若記作 axf)(axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 xaaax0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界這表明: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明)(lim0為常數(shù)cccxx證證:axf)(cc 0故,0對任意的,0當(dāng)00 xx時(shí) , 0cc因此ccxx0lim總有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明1)12(lim1xx證證:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2則當(dāng)10 x時(shí) , 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)1

4、2(lim1xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明211lim21xxx證證:axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí) , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明: 當(dāng)00 x證證:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時(shí)00 xxxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時(shí),00 xxx保證 .必有ox0 xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 單側(cè)極限（左極限與右極限）單側(cè)極限（左極限與右極限）左

5、極限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( axf右極限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( axf定理定理3 axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .機(jī)動

6、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限sinlimxxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 觀察： 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的變化趨勢。 sinlim0 xxxxxaaoxy)(xfy a定義定義. 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,0x,)(,axfxx有時(shí)當(dāng)則稱常數(shù)時(shí)的極限,axfx)(lim)()(xaxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:axfa)(xxxx或記作直線 y = a 為曲線)(xfy 的水平漸近線,0 xxf當(dāng))(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 a 為函數(shù)例例6. 證明. 01limxx證證:01xx1取,1x,時(shí)當(dāng)xx

7、 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .10的水平漸近線為xyyoxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直線 y = a 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :axfx)(lim,0,0x當(dāng)xx 時(shí), 有 axf)(axfx)(lim,0,0x當(dāng)xx時(shí), 有 axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21論證函數(shù)論證函數(shù) 在自變量在自變量 的某一變的某一變化過程中，函數(shù)化過程中，函數(shù) 的極限為常數(shù)的極限

8、為常數(shù) 的方法。的方法。x( )yf x（1）對于任意的正數(shù)（2）由 開始分析倒推出 （即推出（*）式要成立， 滿足的條件）（3）取 ,再用 語言( 語言) 順述結(jié)論. a( )(*)f xa( )f x00()xxxxx00()xxxxx三三. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)0lim( )xxf x定理定理1 . (函數(shù)極限的唯一性)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 與收斂數(shù)列的性質(zhì)相比較，可得到函數(shù)極限的 一些相應(yīng)性質(zhì). 它們都可以根據(jù)極限的定義， 運(yùn)用類似于證明收斂數(shù)列性質(zhì)的方法加以證明. 以下這些定理對于自變量的不同變化過程都是 成立的，以下我們僅與 的形式給出. 若若 存在，那么這極

9、限是唯一存在，那么這極限是唯一的的.0lim( )xxf x定理定理2 . ,)(lim0axfxx（函數(shù)極限的局部有界性限）機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果那么存在常數(shù)0,m 0,00 xx( ).f xm和使得當(dāng)時(shí)，有 局部局部 保號性定理：保號性定理：定理定理3. 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0時(shí)使當(dāng)xux. 0)(xf)0)(xf證證: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 xu當(dāng)時(shí), 有.)(axfa當(dāng) a 0 時(shí), 取正數(shù),a則在對應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(a則存在( a 0 ),(0 xu),(0 xux),(0 xu)0(aa0 x0 xax0 xy)(xfy o推論推論1. 若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx則. 0a)0(a證證: 用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知所以假設(shè)不真, .0a(同樣可證0)(xf的情形)思考: 若定理 2