復數(shù)章節(jié)復習{學生版版)02.

1、高考復習指導講義第五章復數(shù)一、考綱要求1. 理解復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念以及復數(shù)相等的概念，掌握復數(shù)的代數(shù)形 式及其運算法則，能正確地進行復數(shù)代數(shù)的運算。2. 掌握復數(shù)三角形式及其特征，三角形式與代數(shù)形式的互化能熟練運用復數(shù) 的三角形式進行復數(shù)的乘、除法及乘方、開方運算。3. 理解復數(shù)的模、輻角、輻角主值和共軛復數(shù)的概念，掌握相關性質，能運 用它們解決相關的復數(shù)問題。4. 理解復數(shù)的幾何表示及向量表示，掌握復數(shù)加法、減法、乘法的幾何意義, 并能運用它們解決一些復數(shù)問題，會計算平面上兩點間的距離。5. 掌握復平面上點的軌跡方程的復數(shù)表示形式， 會運用復數(shù)有關性質求點的 軌跡方程。6. 掌握一元二

2、次方程、二項方程在復數(shù)集上的解法，某些復系數(shù)方程和含有 參數(shù)的方程的解法；韋達定理、實系數(shù)方程的虛根成對等性質及應用。二、知識結構學習復數(shù)，要抓住概念、運算、幾何意義三個環(huán)節(jié)復數(shù)概念的最重要內容是復數(shù)的二維性，即復數(shù)是形如a+bi,(a,b R)的數(shù)。復數(shù)的二維性又決定了研究復數(shù)的基本方法是分離實部和虛部的方法。新概念、 新算法、新結論、范圍大、頭緒多是實數(shù)集合所沒有的，列表如下：i 性-i(k N)4k=1 i4k+14k+2/I i =-14k+3復數(shù)-1(1ia=c復數(shù)的實部、虛部a+bi=c+di ：二b=dL1 27=-I (1± i) =± 2 i1 -i1-i

3、共軛復數(shù)共軛虛數(shù)a+bi復數(shù)的向量表示Zi 二 Z2 =Z1 ± Z2Z1 Z2 =Z1 Z21( Z1 )(Z2 工 0)Z2乙向量、模、等向量、零向量| 乙 | - | Z2 | <| 乙土 Z2 | <|復數(shù)的模| I |=| 乙乙 | = | 乙 | | Z2 |乙I Zn I = I Z I(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i復數(shù)的加法法則復數(shù)代數(shù) 形式的四V 則運算復數(shù)加法的幾何意義(a+b-(c+di)=(a-c)+(b-d)i復數(shù)的減法法則復數(shù)減法的幾何意義復平面上兩點間的距離d= I Z1-Z2 I復數(shù)的乘法法則一(a+bi)(c+di)

4、=(ac-bd)+(ad+bc)ic di c復數(shù)的除法法則一 葺口二竽 卑+Ec£i；2+d2 c2+d2復數(shù)的一復數(shù)的輻角一復數(shù)的輻角主值代數(shù)形式與三角形式的互化a+bi=r(cos 0 +sin 0 )cos# = r (r= i a2b2)sin 日=I. rr 1 (cos 0 +isin 0 1) - r 2(cos 0 2+s in 0 2)r=r1r2 cos(0 1+ 0 2)+isin( 0 1+ 0 2)復數(shù)三角I I 形式的乘|復數(shù)的三 角形式Z=r(cos v+sin )法法則 | 復數(shù)乘法的幾何意義：將向量 a+bi逆時針旋轉 0 得(a+bi)(cos

5、0 +isin 0)棣莫佛定理r(cos 0 +sin 0 ) n=rn(cosn 0 +isin n 0)復數(shù)三角 式的除法 法則r1(cos1 sin 寸 1?) _ r “(cosE isi n) Qcos(0 1- 0 2)+isin( 0 1- 0 2):將向量a+bi順時針方向旋轉0得a bi cossin=(a+bi)(cos 0 -sin 0 )若Z=r(cos 0 +sinQ)則Z的幾次方根為 xr=n r（co 必二+isin ' 2kn）n二項方程的解法實系數(shù)一元二次方程的虛根求法三、知識點、能力點提示復數(shù)是一個重要內容，解決復數(shù)問題，通常是運用代數(shù)形式把它轉化為

6、實數(shù) 問題去解決；運用三角形式把它轉化成三角問題去解決；運用向量及其幾何形式 把它轉化為平面幾何問題或解析幾何問題去解決，有時需要運用復數(shù)本身一些特有形式如共軛運算，模運算等。復數(shù)溝通了代數(shù)、三角、幾何之間的聯(lián)系，因而 復數(shù)冋題的解法往往綜合性強且構思巧妙，方法靈活，復數(shù)運算中，求值是最常 見的，不僅要用到復數(shù)的幾種形式，而且有時需運用代數(shù)中的換元法及整體變形， 或綜合運用其他知識，如：求最值常用基本不等式，函數(shù)方法，復數(shù)還常用到數(shù) 列，二項式定理等知識。復數(shù)的運算種類雖多，但各種運算方式間有聯(lián)系，最本質的運算方式是代數(shù) 形式的運算。多樣性的運算使我們研究復數(shù)問題時有多種可考慮的途徑，以便從中

7、選擇較好的方式，運算常用的結論：1. (1+i) 2=2i,(1-i) 2=-2i(a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)2 2 2 2 2(a+bi)(a-bi)=a +b (a+bi) =a -b +2abi (a,bR)(a-bi) 2=a2-b2-2abi(a,bR)等4k4k+14k+24k+32.i=1,i =i,i =-1,i =i(b N)3. Z+ Z =2ReZ Z- Z =2ImZi(其中ReZ,lmZ分別表示復數(shù)Z的實部和虛部)2 24. Z Z = | Z| = | Z |1 I 332215. 設 w=- + i 貝U w=1,1+w+w=0, w=w=2 2

8、wZ z6. Z1_Z2=Z1 ± Z2Z1 Z2 =Z1 Z2 （1 ）= §（Z2工0）乙 乙7. I Zi 乙丨=| 乙丨丨 Z2 | Z1 I =£(Z2工0)Z2|Z28. Z=ZZ R9. Z=- Z = Z=ki(k R)Z=Z10. ri(cos0i+isin0i)r2(cos0 2+isin0 2) rk(cos 0 k+isin0 k)=認23rk cos( 0 1+ 0 2+ 0 3+ 0 k)+isin( 0 1+ 0 2+ 0 3+0 k)其中 rir23rk>0( 0 1、0 2、0 30R)這些知識點溝通了復數(shù)與實數(shù)之間的聯(lián)系，

9、將復數(shù)問題化為實數(shù)問題解決， 訓練學生的化歸思想，同時，在處理數(shù)據關系時，會根據法則，公式正確地進行 運算，而且能根據題目尋求合理、簡捷的運算途徑，培養(yǎng)學生的思維能力和運算 技能。復數(shù)的運算主要是數(shù)與式的組合變形和分解變形，很好的培養(yǎng)了學生的運 算能力。復數(shù)的幾何意義包括兩方面內容，一方面是復數(shù)與復平面上的點，復數(shù)與復 平面上從原點出發(fā)的向量間的一一對應；另一方面是加、減、乘、除、乘方、開方的幾何意義。加法的幾何意義：沒 OZj，OZ2各與復數(shù)Z1，Z2對應，以0Z"， 0Z2為邊的平行四邊形的對角線 0Z就與乙+Z2對應減法的幾何意義：沒0Z"，0Z2各與復數(shù) 乙，乙對應

10、，則圖中向量 乙z2所 對應的復數(shù)就是 乙-Z1。|乙-Z2 I的幾何意義是分別與乙，乙對應的兩點間的距離。乘法的幾何意義：設AB表示復數(shù)r(cos 0 +isin 0 )(r > 0)，把AB繞A點按逆時針方向旋轉a角，旋轉后再把所得向量的長度變?yōu)樵瓉淼膋倍(k >0)得到AC ,則AC對應的復數(shù)是r(cos 0 +isin 0 ) k(cos a +isin a )，如果把AB繞A點按順時針方 向進行同樣方式的旋轉和伸縮，那么所得向量對應的復數(shù)是r(cos 0 +isin0 ) k(cos a -isin a )除法是乘法的逆運算，除法也可表現(xiàn)為乘法的形式，乙寧Z2=Z1 (丄

11、)因此Z2除法運算的幾何意義與乘法運算的幾何意義實質相同。復數(shù)方根的幾何意義:設OZ對應的復數(shù)是 乙Z的n次方根(n >2,nN)對應于從原點出發(fā)且在原 點處n等分圓圍角的n個向量，這n個向量的模都是n n，其中一個向量的輻角 是復數(shù)Z的輻角的n分之一，圖中畫出了模為8的向量0Z所對應的復數(shù)的三次 方根ON，匝，0，其中 0N的輻角取0Z輻角的三分之一。理解復數(shù)運算的幾何意義，通過圖形來討論代數(shù)問題，掌握數(shù)形結合這一重 要的思想方法。數(shù)學是揭示客觀事物的數(shù)量和形體的本質關系和聯(lián)系的科學，從認識的角度考慮“數(shù)”與“形”是事物的兩個側面，數(shù)形結合正是從這兩個方面去認識事物 的特征。在解決數(shù)學

12、問題時，通過數(shù)形結合，可將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形相結 合，使抽象思維與形象思維相結合，通過圖形，發(fā)揮直觀對抽象的作用，實現(xiàn)抽 象概念和具體形象的聯(lián)系，可以把數(shù)量關系轉化為圖形的性質來研究， 或者把圖 形的性質問題轉化為數(shù)量關系的問題。由復數(shù)的幾何意義推導的下列結論對數(shù)形結合思想的培養(yǎng)很有幫助。1.Z1 乙工0,貝乙+Z2 | = |乙-Z2 | = 互二入i ( X R且入工0)= 對應Z2的向量OZi丄OZ22. 設P點對應的復數(shù)為乙，點Q對應的復數(shù)為乙，貝U向量PQ對應的復數(shù)是Z2-Z13. 向量PQ繞點P順時針方向旋轉角9 ( 9 >0)所得到的向量對應的復數(shù)應是(Z2-Z1)

13、 cos(- 9 )+isin(-9門而旋轉之后點Q對應的復數(shù)應是(Z2-Z1) cos(-9 )+isin(-9 門 +乙4. | Z-Z1 | = | Z-Z2 |表示以復數(shù) 乙、乙在復平面內對應的點為端點的線段垂 直平分線的方程。5. | Z-Zo | = 丫表示以Zo為復平面內對應的點Zo為圓心，半徑是丫的圓的方 程。6. | Z-Z1 | + | Z-Z2 | =2a(2a >|乙乙| )表示以 乙、Z2在復平面內對應的點 乙、乙為焦點，長軸是2a的橢圓方程。7. | Z-Z1 | - | Z-Z2 | =2a(2aV |乙乙| )表示以乙、乙在復平面內對應點 乙、Z2為焦點，

14、實軸長是2a的雙曲線方程，在復數(shù)集上的方程主要有三個問題： 復數(shù)集上方程的求解；根據方程解的情況討論參數(shù)的取值范圍；與復數(shù)集上方程有關的計算或證明。求解復數(shù)集上的方程主要有以下四種解法：設Z=x+yi(x，y R)從而轉化為關于實數(shù)x，y的方程。 若是復數(shù)集上的二次方程，則可以直接利用二次方程的求根公式，但要注 意判別式<0,則人，2="-' 一劇2a 考慮復數(shù)的幾何意義，結合圖形去分析。 以復數(shù)的模為突破口，即著眼于丨Z |,再求Z。由復數(shù)集上的方程培養(yǎng)學生分類討論，函數(shù)與方程思想的重要數(shù)學思想方法, 從而培養(yǎng)分析問題，解決問題的能力。復數(shù)的模及有關性質，一般是求模的

15、取值范圍或最值，通常有以下四種方法: 利用復數(shù)的三角形式，轉化為求三角函數(shù)式的最值問題。 利用不等式丨丨乙丨-丨乙丨丨三丨乙+乙丨三丨乙丨+1乙丨 考慮復數(shù)的幾何意義轉化為復平面上的幾何問題。 轉化為實數(shù)范圍內的最值問題。通過這些知識點，利用換元法，待定系數(shù)法，訓練學生變換與轉化思想，培 養(yǎng)邏輯思維力。四、能力訓練2，求實數(shù)m使(1)Z是實數(shù);(2)Z是純虛m - m - 621.復數(shù) Z=+(m-2m-15)im +3數(shù)；(3)Z所對應的點在復平面的第二象限；(4)Z是復數(shù)；(5)是否存在實數(shù)m使argZ=-4知識點：復數(shù)的基本概念：實數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)、復數(shù)、輻角主值，復數(shù)所 對應的點所在象

16、限。能力點：識記能力，計算能力。2. 計算 S=1-3I+5I 2-7l 3+- -991 49知識點：數(shù)列求和公式及方法，復數(shù)的四則運算。能力點：運算能力，邏輯推量能力。3. 設 f(Z)=1- z，乙=2+3I，Z2=5-I，試求:f 0-Z2)(2)f(1ZiZ2知識點：函數(shù)的有關性質，共軛復數(shù)的有關性質：Z1 _z2 =N ± N，z= z,乙)=Z 乙 乙能力點：整體思想，運算能力Z - 24. 復數(shù) Z=cosB +lsln 0 ,0 v B v n，復數(shù) W= ，求 argw 的最小值。Z+3知識點：復數(shù)的輻角主值，乘、除法法則，正切函數(shù)單調性，函數(shù)最小值的 求法，反三

17、角函數(shù)。能力點：化歸思想，邏輯推理能力，運算能力。5.已知 Z=cos 0 +Isin0 (0 v 0 v 2 n ),w=1-z31 -Z求 argw 及 I w|知識點：復數(shù)的輻角主值、模、三角變形能力點：分類討論，邏輯推理能力，運算能力。6.已知 ZZ +(3+ . 3i)Z+(3-. 3i)ZTX-+9=0 求 | 2Z-2 , 3 i |的最大值與最小值 argZ的最大值與最小值及相應的復數(shù)乙知識點：共軛復數(shù)的性質 Z+Z =2R(Z),Z- Z =2Im(Z)(Z i + Z 2)(Zi Z2)= I Z1 + Z2 II Z I =r(r 工 0)二養(yǎng)?等求復數(shù)模的最值的三種方法

18、：函數(shù)法、不等式法、幾何法、運用模、輻角主 值的幾何意義解題，復數(shù)的代數(shù)、幾何三角、整體形式間的相互轉換。能力點：數(shù)形結合思想，轉化與化歸思想，邏輯推理能力。5n,求arg(Z 1+2乙)47. 設 Zi=cos 0 +isin 0 ,Z 2=cos 0 -isin 0 的最值。知識點：復數(shù)的輻角主值，正切函數(shù)的單調性。 能力點：轉化與化歸思想，運算能力。8. 設乙=、3 +i, Z 2=r(cos 0 +isin 0 ) r >0, 0(0, n )，Zs=Zi Z2.若I Z1-Z2 | =r+1，求r和0的取值范圍。 知識點：復數(shù)的代數(shù)、幾何、三角三種形式間的互化。 能力點：函數(shù)或

19、不等式的思想方法。9. 設乙，N C, |乙| = |乙| =1,Zi、Z2在復平面內的對應點分別為 乙、乙，O 為原點。(1) 若乙-Z1=-1，求 arg 玉;Z1當b二二時，求使zn為實數(shù)時所有n；將所有等于實數(shù)的zn的倒數(shù)按原有次4序排列成一個新數(shù)列求lim (bi+b2+bn)n_jpc(3)當 OvBVn 時，求 | Z1-Z2 I + | 乙-Z3 I + + | 乙-Zn+1 I知識點：乘法的幾何意義，等比數(shù)列，極限。能力點：轉化與化歸思想，運算能力，邏輯思維能力。11. 已知Z為虛數(shù)，Z+-是實數(shù)。Z(1) 求Z對應復平面內點Z的集合。 設N=2iZ+1，求復數(shù)W所對應點P的

20、集合。(3) 設W=+ Z,求復數(shù) W所對應點Q的集合。知識點：復數(shù)的模與共軛，復數(shù)減法的幾何意義，參數(shù)方程，集合，復數(shù)的 乘、除法。能力點：數(shù)形結合思想，邏輯思維能力。12. 已知非零復數(shù) 乙，乙滿足等式2Z1(2) 設 arg Z1 = a，arg Z2=B，若 OZZ2 的重心對應復數(shù)-+ 1 * 3 4 i 求 tg( a + B )+2ZZ+Z22=0,Z1Z2與復平面上的點 A，B 時對應，O為坐標原點。(1) 試判定 OAB勺形狀(2) 若| Z1-2+i | =1，求 OAB勺面積的最大值。知識點：復數(shù)乘法的幾何意義。能力點：數(shù)形結合思想，邏輯思維與運算能力。13. 設復數(shù)Z滿

21、足2<Z+16 < 10,試求復平面上與復數(shù)Z所對應的點的軌跡。 知識點：復數(shù)的共軛的性質，復數(shù)與不等式，反三角函數(shù)，復數(shù)的幾何意義。 能力點：邏輯思維能力，分析問題與解決問題的能力。14. 已知復數(shù)Z=0- - i,W= ' +鼻i，復數(shù)ZW，Z2VW在復平面上所對應的2 2 2 2點分別為P、Q證明 OPC是等腰直角三角形(其中O為原點)知識點：復數(shù)三角形式的運算，復數(shù)的模與共軛，復數(shù)乘法的幾何意義。能力點：運算能力，邏輯思維能力。15. 設復數(shù) Z=cos 9 +isin 9 (0 v B v n =, W= _(Z并且 | W =仝,argW1+Z2v二求92知識點

22、：三角恒等變形，復數(shù)的模與共軛，復數(shù)的輻角主值。能力點：分類討論與歸納思想，邏輯思維能力。16. 等比數(shù)列乙中，已知乙=1，Z2=a+bi,Z 3=b+ai(a,b - R,a >0)(1) 求a,b的值；并將Z2表示成三角形式。(2) 求滿足乙+乙+乙=0的最小自然數(shù)n,并計算 乙乙乙的值。(3) 前100項中有多少項是實數(shù)？并求這些實數(shù)和。知識點：等比數(shù)列的性質，復數(shù)的三角表式。能力點：轉化與化歸思想，分析與解決問題的能力。17. 已知復數(shù)集合 M=Z| Z-2+i |< 2Z C n Z II Z-2-i | = | Z-4+i | 乙 C(1) 試在復平面內作集合M的圖形并

23、說明圖形的名稱。(2) 求集合M中元素Z輻角主值的取值范圍。(3) 求集合M中元素Z模的取值范圍。知識點：集合、復數(shù)減法的幾何意義，復數(shù)的輻角主值，復數(shù)的模，點到直 線的距離。能力點：數(shù)形結合思想，邏輯思維能力。18. 設復平面上有一系列向量 OZn(n=0,1,2)滿足如下關系：將OZn繞3 原點按逆時針方向旋轉-n 后,再把它的模變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到OZn .1，記OZ4對應的復數(shù)為Zn(n=0，1, 2)，若Zc=2、2+2、2i，(i為虛數(shù)單位)(1) 求乙(2) n這何值時，乙為實數(shù)？將所有為實數(shù)的乙按原有順序排列成數(shù)列 an， 寫出這個數(shù)列的通項公式。(3) 求 lim (a1+a?+a)n_知識點：等比數(shù)列的性質，極限，棣莫佛定理。能力點：分析與解決問題能力。19. 已知t R,且關于X的方程X2+2x+t=0的兩個根為復數(shù)a , B求I a | + | B |的值。知識點：二次方程的判別式，根與系數(shù)的關系。能力點：分類討論思想，函數(shù)與方程思想。20. 設關于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一個根的