2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)2第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值新題培優(yōu)練文含解析新

1、 - 1 - 第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 基礎(chǔ)題組練 1下列四個函數(shù)中，在(0，)上為增函數(shù)的是( ) Af(x)3x Bf(x)x23x Cf(x)1x 1 Df(x)|x| 解析：選C.對于A，當(dāng)x>0時，f(x)3x為減函數(shù)； 對于B，當(dāng)x?0，32時，f(x)x23x為減函數(shù)， 當(dāng)x?32，時，f(x)x23x為增函數(shù)；對于C，當(dāng)x(0，)時，f(x)1x 1為增函數(shù)； 對于D，當(dāng)x(0，)時，f(x)|x|為減函數(shù) 2函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是( ) A1，2 B1，0 C0，2 D2，) 解析：選A.由于f(x)|x2|x?x22x，x2，x22x，x<2.結(jié)

2、合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1，2 3已知函數(shù)f(x)x3 xa(a>0)的最小值為8，則實數(shù)a( ) A1 B2 C4 D8 解析：選B.由xa0，得xa，故函數(shù)的定義域為a，)因為函數(shù)f(x)在a，)上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(a)a38，解得a2.故選B. 4定義新運算“”：當(dāng)ab時，aba；當(dāng)a<b時，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于( ) A1 B1 C6 D12 解析：選C.由已知得，當(dāng)2x1時，f(x)x2； 當(dāng)1<x2時，f(x)x32. 因為f(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)， 所以f(x)的最大值為f(2

3、)2326. - 2 - 5函數(shù)f(x)?1x，x1，x22，x<1的最大值為_ 解析：當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)1x為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x<1時，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2. 答案：2 6設(shè)函數(shù)f(x)?1，x>0，0，x0，1，x<0，g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_ 解析：由題意知g(x)?x2，x>1，0，x1，x2，x<1.函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是0，1) 答案：0，1) 7已知函數(shù)f(x)1a1x(a>0，x>0) (1

4、)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)； (2)若f(x)在?12，2上的值域是?12，2，求a的值 解：(1)證明：任取x1>x2>0， 則f(x1)f(x2)1a1x 11a1x 2 x1x2x1x 2，因為x1>x2>0， 所以x1x2>0，x1x2>0， 所以f(x1)f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，)上是增函數(shù) (2)由(1)可知，f(x)在?12，2上為增函數(shù)， 所以f?121a212， f(2)1a1 22， - 3 - 解得a25. 8已知f(x)xx a(xa) (1)若a2，試證明f(x)在(，

5、2)上單調(diào)遞增； (2)若a>0且f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍 解：(1)證明：設(shè)x1<x2<2， 則f(x1)f(x2)x1x1 2x2x2 22（x1x2）（x12）（x22 ）. 因為(x12)(x22)>0，x1x2<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞增 (2)設(shè)1<x1<x2，則f(x1)f(x2)x1x1 ax2x2 a a（x2x1）（x1a）（x2a ）. 因為a>0，x2x1>0， 所以要使f(x1)f(x2)>0， 只需(x1a)(x2a)>0恒成立， 所以

6、a1. 綜上所述，a的取值范圍為(0，1 綜合題組練 1已知函數(shù)f(x)?3（a3）x2，x1，4aln x，x>1對任意的x1x2都有(x1x2)f(x2)f(x1)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A(，3 B(，3) C(3，) D1，3) 解析：選D.由(x1x2)f(x2)f(x1)>0，得(x1x2)·f(x1)f(x2)<0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以?a3<0，3（a3）24a，解得1a3.故選D. 2(應(yīng)用型)已知函數(shù)f(x)在0，)上為增函數(shù)，g(x)f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，則x的取值范圍是( )

7、 A(0，10) B(10，) C.?1 10，10 D.?0，1 10(10，) 解析：選C.因為g(lg x)>g(1)，g(x)f(|x|)， 所以f(|lg x|)>f(1)，所以f(|lg x|)<f(1) - 4 - 又因為f(x)在0，)上是增函數(shù)， 所以|lg x|<1，所以1<lg x<1， 所以1 10<x<10. 3已知函數(shù)y2xx 1，x(m，n的最小值為0，則m的取值范圍是_ 解析：函數(shù)y2xx 13x1x 13x 11，且在x(1，)時單調(diào)遞減，在x2時，y0；根據(jù)題意x(m，n時y的最小值為0，所以1m2. 答案：1

8、，2) 4(創(chuàng)新型)對于任意實數(shù)a，b，定義mina，b?a，ab，b，a>b.設(shè)函數(shù)f(x)x3，g(x)log2x，則函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_ 解析：依題意，h(x)?log2x，0<x2，x3，x>2. 當(dāng)0<x2時，h(x)log2x是增函數(shù)， 當(dāng)x>2時，h(x)3x是減函數(shù)， 所以h(x)在x2時，取得最大值h(2)1. 答案：1 5已知函數(shù)f(x)ax1a(1x)(a>0)，且f(x)在0，1上的最小值為g(a)，求g(a)的最大值 解：f(x)?a1ax1a， 當(dāng)a>1時，a1a>0，此時f(x)在0，1上

9、為增函數(shù)， 所以g(a)f(0)1a； 當(dāng)0<a<1時，a1a<0，此時f(x)在0，1上為減函數(shù)， 所以g(a)f(1)a； 當(dāng)a1時，f(x)1，此時g(a)1. 所以g(a)?a，0<a<11a，a1，所以g(a)在(0，1)上為增函數(shù)，在1，)上為減函數(shù)，又a1時，有a1 a1， - 5 - 所以當(dāng)a1時，g(a)取最大值1. 6已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a>0)，F(xiàn)(x)?f（x），x>0，f（x），x<0.若f(1)0，且對任意實數(shù)x均有f(x)0成立 (1)求F(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)x2，2時，g(x)f(x)kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍 解：(1)因為f(1)0，所以ab10， 所以ba1，所以f(x)ax2(a1)x1. 因為對任意實數(shù)x均有f(x)0恒成立， 所以?a>0，（a1）24a0， 所以?a>0，