離散數(shù)學(xué)(1.1命題及其表示方法)

1、v邏輯：是研究推理的科學(xué)。公元前四世紀邏輯：是研究推理的科學(xué)。公元前四世紀由希臘的哲由希臘的哲學(xué)家亞里斯多德首創(chuàng)。作為一門獨立科學(xué)，十七世紀，學(xué)家亞里斯多德首創(chuàng)。作為一門獨立科學(xué)，十七世紀，德國的萊布尼茲德國的萊布尼茲(Leibniz)給邏輯學(xué)引進了符號給邏輯學(xué)引進了符號, 又稱又稱為數(shù)理邏輯為數(shù)理邏輯(或符號邏輯或符號邏輯)。 邏輯邏輯可分為：可分為：1. 形式邏輯（通過數(shù)學(xué)方法）形式邏輯（通過數(shù)學(xué)方法） 數(shù)理邏輯數(shù)理邏輯 2. 辯證邏輯辯證邏輯 指引進一套符號體系的方法。指引進一套符號體系的方法。 辯證邏輯辯證邏輯是研究反映客觀世界辯證發(fā)展過程的人類思是研究反映客觀世界辯證發(fā)展過程的人類思

2、維的形態(tài)的。維的形態(tài)的。v形式邏輯形式邏輯是研究思維的形式結(jié)構(gòu)和規(guī)律的科是研究思維的形式結(jié)構(gòu)和規(guī)律的科學(xué)，它撇開具體的、個別的思維內(nèi)容，從形學(xué)，它撇開具體的、個別的思維內(nèi)容，從形式結(jié)構(gòu)方面研究概念、判斷和推理及其正確式結(jié)構(gòu)方面研究概念、判斷和推理及其正確聯(lián)系的規(guī)律。聯(lián)系的規(guī)律。v數(shù)理邏輯數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究推理的形式結(jié)構(gòu)是用數(shù)學(xué)方法研究推理的形式結(jié)構(gòu)和推理的規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的創(chuàng)始人和推理的規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的創(chuàng)始人Leibniz，為了實現(xiàn)把推理變?yōu)檠菟愕南敕?，為了實現(xiàn)把推理變?yōu)檠菟愕南敕?，把?shù)學(xué)引入了形式邏輯。其后，又經(jīng)多人努把數(shù)學(xué)引入了形式邏輯。其后，又經(jīng)多人努力，逐漸使得數(shù)理邏輯成為

3、一門專門的學(xué)科。力，逐漸使得數(shù)理邏輯成為一門專門的學(xué)科。v從廣義上講，數(shù)理邏輯包括四論、兩演從廣義上講，數(shù)理邏輯包括四論、兩演算算即集合論、模型論、遞歸論、證明即集合論、模型論、遞歸論、證明論和命題演算、謂詞演算，但現(xiàn)在提到數(shù)論和命題演算、謂詞演算，但現(xiàn)在提到數(shù)理邏輯，一般是指命題演算和謂詞演算。理邏輯，一般是指命題演算和謂詞演算。本書也只研究這兩個演算。本書也只研究這兩個演算。2021-11-18 1.1.1 命題（命題（Proposition) 1.1.2 命題的表示方法命題的表示方法 1.1.3 命題的分類命題的分類2021-11-181.1.1 命題命題 數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理（

4、數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理（inference),而而推理的前提和結(jié)論都是表達判斷的陳述句，因而表達推理的前提和結(jié)論都是表達判斷的陳述句，因而表達判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位?；靖拍罨靖拍?命題：能夠判斷真假的陳述句。命題：能夠判斷真假的陳述句。 命題的真值：命題的判斷結(jié)果。命題的真值只取兩個命題的真值：命題的判斷結(jié)果。命題的真值只取兩個 值值:真（真（用用T(true)或或1表示表示）、假（）、假（用用F(false)或或0表示表示） 。 真命題：判斷為正確的命題，即真值為真的命題。真命題：判斷為正確的命題，即真值為真的命題。 假命題：判斷為錯誤的命

5、題，即真值為假的命題。假命題：判斷為錯誤的命題，即真值為假的命題。2021-11-18因而又可以稱因而又可以稱命題是具有唯一真值的陳述句。命題是具有唯一真值的陳述句。判斷命題的兩個步驟判斷命題的兩個步驟： 1 1、是否為陳述句；、是否為陳述句； 2 2、是否有確定的、唯一的真值。、是否有確定的、唯一的真值。 例例：判斷下列句子是否為命題。：判斷下列句子是否為命題。 (1). 100是自然數(shù)。是自然數(shù)。 T (2). 太陽從西方升起。太陽從西方升起。 F (3). 3+3=8 . F(4). How do you do ? 疑問句，疑問句，不是命題不是命題(5). 明年的十月一日是晴天。明年的十

6、月一日是晴天。是命題，其真值到是命題，其真值到明年明年 十月一日方可知道。十月一日方可知道。(6). x+39 不是命題不是命題(7). 我正在說謊。我正在說謊。是悖論是悖論(8). 1+101=110 二進制中為真，十進制中為假。二進制中為真，十進制中為假。(9). 如果太陽從西方升起，那么如果太陽從西方升起，那么2是奇數(shù)是奇數(shù)。T(10). 國足能殺入國足能殺入2006世界杯當(dāng)且僅當(dāng)世界杯當(dāng)且僅當(dāng)2+2=4。F(11). 今天天氣多好??！今天天氣多好啊！ 感嘆句，感嘆句，不是命題不是命題(12). 請你關(guān)上門！請你關(guān)上門！ 祁使句，不祁使句，不是命題，是命題， (13). 別的星球上有生物

7、。別的星球上有生物。 是命題，客觀上能判斷真是命題，客觀上能判斷真 假。假。說明：說明：（1）只有）只有具有確定真值具有確定真值的的陳述句陳述句才是命題。一才是命題。一 切沒有判斷內(nèi)容的句子，無所謂是非的句子，切沒有判斷內(nèi)容的句子，無所謂是非的句子， 如如感嘆句、祁使句、疑問句等都不是命題。感嘆句、祁使句、疑問句等都不是命題。（2） 因為因為命題只有兩種真值，所以命題只有兩種真值，所以“命題邏輯命題邏輯”又稱又稱 “二值邏輯二值邏輯”。 (3) “具有確定真值具有確定真值”是指客觀上的具有，與我們是否是指客觀上的具有，與我們是否知道它的真值是兩回事。如上例中的（知道它的真值是兩回事。如上例中的

8、（5）和（）和（13）。）。1.1.2 命題的表示方法命題的表示方法 在本書中，用大寫英文字母在本書中，用大寫英文字母A,B,P,Q或帶下標的字或帶下標的字母母P1,P2,P3 , ,或數(shù)字或數(shù)字(1),2, ,等表示命題，稱之為等表示命題，稱之為命題標識符。命題標識符。 例如：例如： P：羅納爾多是球星。：羅納爾多是球星。 Q：5是負數(shù)。是負數(shù)。 P3：明天天氣晴。明天天氣晴。 (2)：太陽從西方升起。：太陽從西方升起。 皆為符號化的命題，其真值依次為皆為符號化的命題，其真值依次為T、F、T或或F、F。 命題標識符又有命題常量、命題變元和原子變元命題標識符又有命題常量、命題變元和原子變元之分

9、。之分。命題常量命題常量：表示確定命題的命題標識符。：表示確定命題的命題標識符。命題變元命題變元：命題標識符如僅是表示任意命題的位置標：命題標識符如僅是表示任意命題的位置標 志，就稱為命題變元。志，就稱為命題變元。原子變元原子變元：當(dāng)命題變元表示原子命題時，該變元稱為：當(dāng)命題變元表示原子命題時，該變元稱為 原子變元。原子變元。命題變元也用命題變元也用A,B,P,Q,P1,P2,P3 , , 表示。表示。1.1.3 命題的分類：命題的分類：簡單簡單/原子命題：原子命題：不能分解為更簡單的陳述語句的命題不能分解為更簡單的陳述語句的命題(如如上例中的命題上例中的命題)。復(fù)合命題：復(fù)合命題：由簡單命題通過由簡單命題通過聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)而成的命題。聯(lián)結(jié)而成的命題。 聯(lián)結(jié)詞就是復(fù)合命題中的運算符。聯(lián)結(jié)詞就是復(fù)合命題中的運算符。 注意注意：（1）一個符號）一個符號(如如P), 它表示的是命題常量還是命題變它表示的是命題常量還是命題變元，一般由上下文來確定。元，一般由上下文來確定。（2）命題變元可以表示任意命題，它不能確定真值，）命題變元可以表示任意命題，它不能確定真值，故命題變元不是命題。這與故命題變元不是命題。這與“變數(shù)變數(shù)x不是數(shù)不是數(shù)”是一樣是一樣的道理。的道理。小結(jié)：