絕對(duì)值不等式專題

1、絕對(duì)值不等式專題題目:簡單絕對(duì)值不等式研究進(jìn)階重點(diǎn):對(duì)不等式性質(zhì)的深入研究難點(diǎn):多絕對(duì)值符號(hào)不等式內(nèi)容一、對(duì)于下例我們通常采取幾何意義”法例1.求解關(guān)于x的不等式：1<|x-2|<3分析：將不等式的幾何意義翻譯如下：求數(shù)軸上到2這點(diǎn)距離絕對(duì)大于 1又小于等于3的顯然畫出數(shù)軸我們有:原不等式的解集-1,1) U (3,5。同樣使用幾何意義方法分析可以方便解決的問題還有下例這樣的雙絕對(duì)值不等式：例2:求解關(guān)于 x的不等式：|x+10|+|x-2|>4分析：用幾何意義翻譯如下：求數(shù)軸上到-10與到2的距離和小于 4的點(diǎn)看數(shù)軸-10, 2將數(shù)軸分成3部分，各點(diǎn)到這兩點(diǎn)距離之和以-10

2、 , 2區(qū)間上的取值最小，為12。因此我們知道不等式左側(cè)的最小值為12,恒大于4,由此我們有：原不等式的解集為Ro深入一步我們會(huì)想這樣的問題：如果現(xiàn)在左側(cè)是三個(gè)絕對(duì)值符號(hào)(或更多)，這樣的不等式我們能不能解呢？答案是肯定的，對(duì)于處理絕對(duì)值符號(hào)的基本方法：分區(qū)間確定符號(hào)在這里仍然有效，無非是n個(gè)一次零點(diǎn)將數(shù)軸分成n+1段，逐段討論。當(dāng)然這里n較大時(shí)討論的計(jì)算量也隨之加大。那我們有沒有簡單直接的方法呢？首先我們有如下共識(shí)：不等式 f(x)>0的解集是函數(shù)y=f(x)圖象在x軸上方對(duì)應(yīng)的x的集合。 進(jìn)而：不等式 f(x)>m(m 6 R)的解集是函數(shù) y=f(x)圖象在直線y=m上方對(duì)應(yīng)

3、的x的集合。當(dāng)然,f(x)<m情形類似，只 是考慮在直線y=m下方的x。所以求解不等式|x-x1| + |x-x2| + |x-x3|+|x-xn|>m其中xi(i=1,2,n)是常數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化成了，求作左側(cè)函數(shù)圖象的問題。這里我們不妨作出幾個(gè)草圖，從中觀察一些規(guī)律。函數(shù) yi=|x-2|V草圖：1函數(shù) y2=|x-2|+|x+1|草圖：函數(shù) y3=|x-2|+|x+1|+|x-1|.U草圖：1函數(shù) y4=|x-2|+|x+1 |+|x-1 |+|x+2|草圖：函數(shù) y5=|x-2|+|x+1 |+|x-1 |+|x+2|+|x-3|草圖：1簡單觀察上述函數(shù)與其草圖，加上對(duì)這些圖

4、象外觀的思考,函數(shù) y=|X-X i| + |x-x 2|+|X-Xn|的圖象宏觀上看呈”型我們不難發(fā)現(xiàn)如下的一些規(guī)律:當(dāng)n=2k (k 6 Z+)時(shí)，圖象為 平底”型，即在一個(gè)區(qū)間上取最小值；當(dāng)n=2k+1 (k Z+或k=0)圖象為 尖底”型，即在某個(gè)點(diǎn)取最小值。在相鄰兩個(gè)xi和xj之間圖象為線段，我們稱之為分段線性所以，求不等式的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化成”型圖象與直線y=m相互關(guān)系的問題。對(duì)于不等式y(tǒng)>m,若方程y=m有兩個(gè)根，則解集仍滿足所得大于在兩邊，小于在中間 ”的規(guī)律。對(duì)于多絕對(duì)值符號(hào)不等式的研究我們暫告段落，看下面一個(gè)例子：2請(qǐng)-I例3:求解關(guān)于x的不等式：|耳|<32Z分析

5、一：將絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的分式上當(dāng)作一個(gè)整體來分析， 轉(zhuǎn)化為最簡絕對(duì)值不等式|X|<3,故有：2r-l-3<*<3,而這是一個(gè)分式不等式組，對(duì)其求解我們沒有研究過。分析二：|， 尸 <3將之視為多絕對(duì)值問題，將數(shù)軸按0,金分成三段:原不等式解集x<-1或x>5 分析三：當(dāng)x/0時(shí),|x|>0不等式兩邊同乘|x|2x-1|<3|x|兩邊平方(2x-1)2<(3x)2(2x-1-3x)(2x-1+3x)<0畫二次函數(shù)草圖：1二次不等式解集即原不等式解集為：x|x<-1或X>5 。本周練習(xí)1 .求解下列不等式：|x-2|+|x+2|&

6、lt;10|x-3|-|x+3|>2£32 .如果關(guān)于的不等式|ax+1| £曲解集是：<x4，求a, bo3 .解關(guān)于x的不等式|ax-2|<4 o二.解絕對(duì)值不等式例1：解不等式卜7 + k +2M分析和解：為了去掉不等式左端的絕對(duì)值符號(hào)，我們應(yīng)首先找到使每個(gè)絕對(duì)值等于零的X值，解 |x-1|=0 得 x=1 ,解 |x+2|=0 得 x=-2 o.,-2(1,/.當(dāng)工)對(duì)，有x-2,這時(shí)工一 1和工斗？都是正數(shù)；當(dāng)-2工附，有t 和工4 2州;當(dāng)W-2時(shí),1和t + 2都有負(fù)數(shù) 于是我們有如下的解法：Q注工3的,康不等式化為工 一 1 + 工 4 2

7、<5其解為1 <式？(2謂-2 4式1時(shí)，原不等式化為1一 h十工十25其解為-2 W(3造工-2時(shí)原不等式化為1 jt - x - 2(5其解為- 3 < x < -2綜合上述，不等式|x-1|+|x+2|<5的解是-3<x<2。小結(jié)：含有兩個(gè)和兩上以上絕對(duì)值式子的不等式的解法是：1、找零點(diǎn)，分區(qū)間；2、在每個(gè)區(qū)間上解去掉絕對(duì)值符號(hào)的不等式；3、把各個(gè)區(qū)間上的解拼在一起（即求它們的并集），就得到原不等式的解。例2:求|X-1|+|X+2|的最小值。分析和解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，|X-1|就是數(shù)軸上表示 X點(diǎn)到表示1點(diǎn)的距離;2就是數(shù)軸上表示X的點(diǎn)P和表

8、示-2的點(diǎn)A的距離與這個(gè)表示X的點(diǎn)P和表示1的點(diǎn)B的距離之和。易知，表示-2的點(diǎn)A與表示1的點(diǎn)B的距離是3,當(dāng)表示X的點(diǎn)P落在線段AB的外部（即 點(diǎn)P在B點(diǎn)的右側(cè)或 P點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)）時(shí)，P、A距離與P、B的距離之和大于 A、B的距離； 當(dāng)點(diǎn)P東落在線段 AB的內(nèi)部時(shí)，P、A的距離與P、B的距離之和恰好等于 A、B的距離。 對(duì)數(shù)軸上任意一點(diǎn) P總有PA+P用AB ,當(dāng)P在線段AB內(nèi)部（包括端點(diǎn)）時(shí)取等號(hào)。-1|+ |x+ 2最小值是3,當(dāng)且僅當(dāng)T 4及，時(shí),卜-1卜卜+ 2| - 3小結(jié)：解含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基本思路是想辦法去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào) 的不等式。去掉絕對(duì)值的方法

9、很多，我們講了以下兩種：1、根據(jù)絕對(duì)值的意義|x-a|就是數(shù)軸上表示 x的點(diǎn)P與表示a的點(diǎn)A之間的距離。2、根據(jù)去掉絕對(duì)值符號(hào)的法則：正數(shù)和零的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反 數(shù)。即當(dāng)了一4 2阿卜一 -x-a當(dāng);r（附, - 4 - a- x在解決具體的問題時(shí)，可從上述兩種方法中選取對(duì)某個(gè)題來說是較方便的一種，無論哪種 方法，與數(shù)軸相聯(lián)系，都會(huì)使問題或它的解變得直觀，有利于思考。絕對(duì)值不等式練習(xí):1、解不等式2、解不等式3、解不等式4、解不等式|z| 2 2|3工-2卜4卜 10| + |x- 2,4卜一3|葉7k2答案或提示:3、全體實(shí)數(shù)I40X4、無解解一元二次不等式【教學(xué)目的

10、】：熟悉一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)之間的自然聯(lián)系，并利用 這種聯(lián)系會(huì)討論含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解集問題?！局攸c(diǎn)】：掌握含有字母系數(shù)的一元二次不等式的求解問題?！倦y點(diǎn)】：分類討論的原則及方法的掌握。因一元二次不等式的解集與一元二次方程及二次函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)，則解一元二次不等 式的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以利用判別式和函數(shù)的圖象進(jìn)行。本節(jié)主要討論含有字母系數(shù)的一元二次不 等式的求解問題，并通過對(duì)實(shí)例的分析解答，歸納出解決系數(shù)含有字母的一元二次不等式的求 解方法步驟。例1、解關(guān)于x的不等式+3”叫分析：本題所給不等式的形式雖表面上是一元二次不等式的一般形式，但未必一定是一元二次不等式，因

11、a未限定，若a=0時(shí),便不是一元二次不等式了 ，因此分為4 . 0和”。兩大類,當(dāng)叱。時(shí)為一元二次不等式，利用判別式并結(jié)合圖形便可獲得解集。解：a>0可分為3種情形:(1)當(dāng)A>0；工>。時(shí)對(duì)于方程°的兩個(gè)根(2)當(dāng)0 = £:不等式的解集為:土2g三w土彳三_時(shí)r對(duì)于方程曰V +以+白。J CK ='有兩個(gè)相等實(shí)根， 此時(shí),不等式的解集為:卜康)0A<00/ - 4北 0時(shí)，對(duì)于方程；不等式的解集為：KWRa>0時(shí)所對(duì)應(yīng)的圖象如下:a< 0也分為三種情形:(4)當(dāng)限<0|A>0 =«0隊(duì)4Go時(shí)對(duì)于櫻.十取

12、20的兩個(gè)根。-由士 n/Z2a,不等式的解集M誓，¥)(5)當(dāng)r<o b2 -4ac K 0時(shí)，結(jié)合圖象可得:不等式的解集為a<0所對(duì)應(yīng)的圖象如下:a=0時(shí)，不等式可化為：bx< c若b>0時(shí)，不等式解集為:白工0時(shí),不等式解集為若若b=0時(shí)，不等式變?yōu)?0> c。當(dāng)c>0時(shí)，不等式解集為xwR當(dāng)時(shí),不等式解集為0。評(píng)述：1、解一元二次不等式要習(xí)慣于結(jié)合二次函數(shù)的圖象，這樣可簡化求解過程采用它來 驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。2、若a=0時(shí)則轉(zhuǎn)化成含有字母系數(shù)的一元一次不等式型的不等式的求解問題，此時(shí)，不可 輕易下結(jié)論，認(rèn)認(rèn)真真地對(duì)待每一個(gè)字母取值的分類。例

13、2、解關(guān)于x的不等式 2* 4 2ax °解：若"；一二土 =-4a = 4式a - 1)4時(shí)求二糧,2(1)當(dāng)a a - 1) R。a占 M8一0匕,(4 -1)a - 1)工厘十 J曄 1) I.不等式的解集為二0 = c：；:0 =廠甌根知:不等式的解集為>|工.1厘0<0 =n口<1時(shí)，方程無實(shí)根| a （a -不等式的解集為五時(shí)求二眼2 =吧叵三 - m （色一 0 > 口+也（0一 °:不等式的解集為笈。十仙 一 I） /口一殺（。- D<五<若a=0時(shí)，不等式為：1 >0為絕對(duì)不等式，解集為 了E反。評(píng)述：因

14、本題中系數(shù)只含有一個(gè)字母，因此在確定不等式的解集時(shí)一定要先確定出字母的 取值范圍。例3、解關(guān)于x的不等式磯"+工，）分析：先將所給不等式化成一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后，看看能否分解因式，若能, 則先分解因式。因?yàn)槿裟芊纸庖蚴降脑?，?duì)于一元二次方程的判別式為大于等于零。解：原不等式可化為分解因式 J，-相應(yīng)方程的兩根為 a與口,。若/戊d -就。O 金(也 - 1)0O迂?；虮?a = d O a =?；蛟?14ys O 0由1:當(dāng)厘0或白1時(shí),解集為3或J胤當(dāng)a=0或1時(shí)，解集為M " U或"1當(dāng).一.,一一.1 ,而且能分解因式，這給解評(píng)論：這是一個(gè)比較特殊

15、的一元二次不等式，即二次項(xiàng)系數(shù)為 題帶來很大方便。歸納：總結(jié)上面實(shí)例，歸納出討論一般含有字母系數(shù)：一元二次方程解集基本步驟：(1)定型：化成標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)定開口:看最高次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍；(3)根的判別式：若能分解因式的話，則可以不考慮判別式，因此時(shí)的判別式必大于等于令；(4)比較根的大??；(5)結(jié)合圖象寫出解集。注意：解含有字母系數(shù)：一元二次不等式，必定要伴隨著分類討論，而分類討論”是學(xué)生難以把握的，因此，在使用中要反復(fù)重申分類討論”的基本原則，其一是能不分就不分；其二是若不分類則無法進(jìn)行下去。使分類討論問題變成一種非常自然而然的解題程序。£ £例4：已知ax2+2x+

16、c0的解為-3 x飛,試求a,c,并解不等式-cx2+2x-a0。£ £解：解為口 x5的不等式是1 1 1 1 '(x- 2 )(x+ 3 )<0 ,即 x2- x_ 6 <q兩邊同乘以(-12)得:-12x 2+2x+2>0 o該不等式與ax2+2x+c>0同解，將這兩個(gè)不等式比較系數(shù)后得:a=-12,c=2 o不等式-cx2+2x-a>0,IP-2x2+2x+12>0 o 解得-2<x<3。例5:設(shè)不等式ax2+bx+c>0的解集是x|a<x<b(0<a<b),試求不等式cx2+bx

17、+a<0的解集。分析：如圖，因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集是xa<x<b,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以推斷，拋物線y=ax 2+bx+c的開口向下，并且與x軸相交于x=a與x=b兩點(diǎn)。解：因?yàn)閍x2+bx+c>0的解集是x|a<x<b(0<a<b),所以a<0,并且a,b是方程ax2+bx+c=0的兩 個(gè)正根，于是有b ca+b=- a >0, ab= 口 >0 ；并可推得b>0,c<0 o11_« + #_b 1 1_ 1 _a1S 邛c>0, & f 切 a>0。£ 1J_ £故“步恰好是方程cx2+bx+a=0的兩個(gè)正根，并且0<,期o故不等式cx2+bx+a<