群題極值點偏移

1、1、（ 2017 二模）已知ln( xm)mx0 ，（ m1）有兩個根x1 ， x2 ，求證： x1x20分析：幾何感受明顯，但有兩個地方帶m，常用的對稱函數(shù)方法失效，但注意下圖：方法一：t1x1 （ 1）故只需證明，ln( xm)x0 ，t2x2的兩根 t1t20 ，即可。下面證明：Q ln( x1m)m x10，ln( t1 m)t10ln( t1m)mt1 ，( t1 , x1 <0)記: g( x)ln( xm)mx , g，(x)1m ；令 g，(x)1xm1g( x) 在（m，m ）單調(diào)遞增；同理mg (x) 在（m又Q g(t1 )g( x1 )0，t1x1 ；同理 t2x

2、2 ， x1 x20 得 x1m ，mm ， 0）單調(diào)遞減。t1t2只要證明 ln( xm)x0 的兩根，即exxm 的兩根 t1t20 即可；設 f (x)exx ，易知f ( x) 在（，0）單調(diào)遞減，在（0，）單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù) h(x)f (x)f (x) = exe x2x ，（ x 0 ），e20 ，h( x) 在（ 0，）單調(diào)遞增h ( x) exxh(x)h(0)0 ，即 f ( x)f (x) ，f (t2 )f ( t 2 )又 f (t1 )f (t2 ) ， f (t1 )f ( t2 ) ，且 t1 ， t2 <0t1 t20，x1x20，得證。方法二：證明：m

3、x1ln( x1m) ， mx2ln( x2m)1x1x2( x1）（x2+m)mm ln( x1m)ln( x2m) ln( x1m)ln( x2 m)1(x1m)( x2 +m) ，(x1m)( x2 +m)1mm2再由x1x2x1x2x1x2ln( x1m)ln( x2m) ln( x1m)ln( x2m) ln( x1 m)ln( x2 m)ln( x1m)ln( x2m)ln( x1 m)( x2 +m)得： x1 x2mmln12 ln mm20 ，（ m>1）mmx1x202、已知函數(shù) f (x)ln x ，如果 x1x2 且 f ( x1)f ( x2 ) ，x求證： x

4、1x2 e2（方法 1）分析：已知的是相等關系所一個不等關系，已知的是函數(shù)值之間的關系所自變量之間的關系， 故考慮利用函數(shù)的單調(diào)性。 此外利用已知的相等關系將雙變量降為單變量， 從而構(gòu)造函數(shù)。證明： f , ( x)1 ln x ， x(0,)x2易得當 x(0,e) 時， f , ( x)0 ，當 x(e, ) 時， f , ( x)0f (x) 在 (0,e) 單調(diào)遞增，在 (e,) 單調(diào)遞減，且 f ( x1 )f ( x2 )0 x1ex2要證 x1x2e2 ，只要 x1e2，又易知 e2(0,e)x2x2所以只要證f ( x2 )f ( x1 )f ( e2) 即可x2構(gòu)造函數(shù) F

5、( x)f ( x) f ( e2) ， x(e,)xln e2ln x x(2ln x)ln xxxe2xe2xF , ( x)(e2x2 )(1ln x)0x2e2F ( x) 在 (e,) 單調(diào)遞增，F(xiàn) ( x)F (e)0即 f (x)e2e2f () ，從而 f ( x2 )f () ，即原結(jié)論成立，證畢。xx2（方法2）（引入?yún)?shù)、設而不求，利用齊次式將雙變量降為單變量）因為 f (x1)f (x2 ) ，所以可設ln x1ln x2mx1x2ln x1m1 x1 LL (1)ln x1mx2 L L(2)（1） +（ 2）得 ln x1ln x2m( x1x2 )L L (3)（

6、1） - （ 2）得 ln x1ln x2m( x1x2 )mln x1ln x2，帶入（ 3）得x1x2ln xln xln x1ln x2 ( xx )x1x2 (ln xln x )12x1x212x1x212x11x2ln x1x11x2x2設 tx1(0,1) ，則 ln x1ln x2t1ln t， tx2t1要證 x1 x2e2 ，只要 ln x1ln x22只要 t1 ln t2 即可，即只要 ln t2(t1) 即可（此處很重要，指對冪分離）t12(t1) ， tt1設 g(t)ln t(0,1)t1所以 g, (t)(t1)20 ，所以 g(t) 在(0,1) 單調(diào)遞增t

7、(t1)2所以 g(t)g(1)0，即 ln t2(t1)0 , 即 ln t2(t1) ，從而原結(jié)論成立，證畢t1t1注：本題變式 ln xmx 有兩個不同的實數(shù)根x1 ， x2 ，求證： x1 x2 e23、已知 f ( x)xex ，若 f ( x)xex 且， f (x1 )f ( x2 )求證： x1x224、已知函數(shù) f (x)1 x2(1a)xalnx ， a R , 有兩個不同的零點 x1, x22求證： x1 x22證明： f (x) 的定義域為 (0,)fx(x1)(xa)x，顯然 a0時，不符合題意a 0 時當 x(0, a)fx0f ( x) 單調(diào)遞減當 x(a,),f

8、x0,f ( x) 單調(diào)遞增f (x)有極小值f (a) ，且0x1x2下面證明 x1x22a構(gòu)造 F (x)f (x)f (2ax),x(a,2 a)aln (2ax) alnx2x2aFx2( xa)20x(a, 2a)x( x 2a)F (x) 在 (a,2 a) 單調(diào)遞減F ( x)F (a)0f (x)f (2 ax)f (x2 )f (2ax2 )又 f ( x)1f ( x2 )f ( x1 )f (2 a x2 )又 x1(0, a)2a x2(0, a)且 f (x) 在 (0, a) 單調(diào)遞減x12a x2x1x22a又 f (a)1 a2(1a)aalna02lna1 a

9、 1021 a設 g (a)lna12易知 g (a) 在 (0,) 單調(diào)遞增，且 g(1)0,g(2) 0由 g (a) 0易知 a1x1x22a25 、 已 知 函 數(shù) f ( x) xlnxa x2 (aR) ， 若 函 數(shù) g( x)f ( x) x 有 兩 根 極 值 點2x1, x2 ,( x1x2 )求證：112aelnx1lnx2證明： g(x)xlnxa x2x,( x0)2g (x)lnxax設 h( x)lnxax,( x0)h (x)1axx當 a0 時， h ( x)0,h(x) 在 (0,) 單調(diào) x 遞增，不符合題意當 a0時，若 x(0, 1 ), h ( x)

10、0,h( x) 在 (0,1 ) 上單調(diào)遞增1a1a若 x), h( x)0,) 單調(diào)遞減(,h( x) 在 (aah( x)h( 1 )ln 11aa依題意 h(x) 有兩根不同的零點x1 , x2 ，不妨設 0 x1x2ln 110a12ae2ae要證明112ae只要證明112即可，lnx1lnx2lnx1 lnx2下面證明：由上可知：lnx1ax1111 ( 11 )lnx2ax2lnx1lnx2ax1x2且 lnx1 lnx2a( x1 x2 )1x1x2alnx1lnx211x1x21 1)1x1x2)lnx1lnx2lnx1lnx2(x2x1(x1x1x2lnx2設 tx1 ,t(

11、0,1)故只要1(t1)2即 2tlnt t 2 10 即可x2lntt令 m(t)2tlntt21,t (0,1)m (t)2(lntt1)易知 m (t ) 在 (0,1) 單調(diào)遞增m (t)m(1)0m(t)在(0,1)單調(diào)遞減m(t )m(1)0即 2tlntt 210所以原結(jié)論得證。6、已知 aR ，函數(shù) f ( x) xaex1有兩個零點 x1 , x2 ,( x1 x2 ).（ 1）數(shù) a 的取值圍。（ 2）證明： ex1 ex2 2解析：設 texxlnt則原函數(shù)有兩個零點可轉(zhuǎn)化為lntat1 0有兩個根 t1 , t2 (t1t2 )要證明 ex1ex22只要 t1t 22

12、即可（方法一）：對數(shù)均值不等式可證t1t22 (2)a（方法二）：構(gòu)造函數(shù)先設 g (t)lntat 1(t0)可得 g(t ) 在 (0,1) 單調(diào)遞增，在 (1,) 單調(diào)遞減1aa可得 0x1x2a要證 t1t22 只要 t22x1 即可ag( 2只要 g(t2 )x1) 即可 , 又 g(t1)g (t2 )a構(gòu)造函數(shù) h(x)g (t)g( 2x)1a7、已知 f ( x)xxlnx2（1）求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間（2）若 f ( x)a 有兩個不等實根x1 , x2112求證：x2ex18、已知函數(shù) f (x) exax 有兩個零點 x1, x2( x1x2 ) 則下列說確的是（

13、）A.x1x22B.aeC.x1x21D . 有極小值點 x0 且 x1x2 2x0解析： (1)f(x)exa 有極值點 x0lna而且 f (lna )aalna0aeex1ax10x1lnalnx1(1)(2) 又ex2ax20x2lnalnx2(2)(1)(2) 得 x1x2 lnx1lnx 2x1x2x1x21x1 x22lnx1lnx2x1x22(3) x1x2 1(4) x1x2 2lnalnx1x22lna2x0下面另證 x1x22ex1ax10x2 x1x2，ex2ax20ex1設 tx2(t1)e(t1) x1tx1lntx1t 1x1x2(t1)lnt2(要證)lntt1

14、此處不宜直接令g(t)(t1)也不要轉(zhuǎn)化為只要 lnt2( t1)0 即可t1t1g(t) (t 1)lnt2(t1)0 原則是指對冪分離設 g(t)lnt2(t1)14(t 1)20t 1g (t )(t 1)2t(t 1)2tg(t) 在 (1,) 單調(diào)遞增g(t)g(1) 0所以 x1x2 2再證 x1 x21x1x2tx12t lnt1（要證）只要 lntt10 即可t1t設 h(t )t1111t0lnth ( x)tt 2t 2th(t) 在 (0,) 上單調(diào)遞減h(t )h(1)0x1 x219、已知 f ( x)x1 xlnx , 若 f (x)a 有兩個不等實根x2 , x2

15、2求證： 112x1x2e證明：設 t1 ,t0x則 g(t )1lnt2lnt ,(t0)t2t2t則 g(t)a 有兩不等實根 t1 ,t 2 ( 不妨設 t1t2 )要證112只要 t1t22 即可x1x2ee又 g (t )2(1lnt )4t2t(0, 1) 時,g (t)0, g(t ) 單調(diào)遞增1e,) 時 g (t) 0, g (t ) 單調(diào)遞減teg( 1)eg(t) maxe2方程 g(t )a 要有兩個不等實根，則ae12即ae12且 0t1t2e下面證明 t1t21a（方法1）：2 lnt12at1lnt1lnt 22a(t1t 2 ) , 4 lnt1 lnt 2 2

16、a(t1 t2 )2lnt 22at 21t1t2t1t2t1t22a4lnt 1lnt 2lnt1lnt 22t1t21得證a（方法2）：要證 t1 t22e22只要 t2t1只要 g(t2 )g(t1 )ee又 g(t1 ) g(t2 )所以只要證 g (t1)g( 2t1)2e構(gòu)造函數(shù) h(t )g(t) g(t)e以下略10、（ 2016 年新課標 i ）已知 f (x) (x2) exa( x 1)2 有兩個零點(1) 求 a 的取值圍(2)設 x1, x2 是 f ( x) 的兩個零點，證明：x1 x2211、 (2015 年中國科技大學自主招生考試) 已知函數(shù)ln xf ( x)

17、x(1)求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間和最大值(2) 設0a b , 且 abba, 證明： ab 2e , 其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)12、 (2013年卷 ) 已知函數(shù) f ( x)1x ex1x(1) 求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間(2) 證明：當 f ( x1 ) f ( x2 )(x1 x2 ) 時 , x1 x2 013、 (2011 年卷 ) 已知函數(shù)f ( x)ln xax 2(2a) x(1) 討論 f ( x) 的單調(diào)性(2) 若函數(shù) yf (x) 的圖像與 x 軸交于 A, B 兩點，線段AB 的中點的橫坐標為x0 ，證明： f ( x0 )014、已知函數(shù)f ( x)ln

18、 xax( aR)(1) 若函數(shù) f (x) 無零點，數(shù) a 的取值圍(2)若存在兩個實數(shù)x1, x2 且 x1x2 , 滿足 f ( x1 )0, f ( x2 )0 , 求證： x1 x2 e215、已知 f ( x)x ln x 的圖像上有兩點，其橫坐標為0 x1x2 1, 且 f ( x1 ) f (x2 )(1)證明： 2x1x2 1e(2)證明： 1x12x2e(3)若 x1tx2t1, 求 t 的取值圍解析： (1)f (x)1ln x , 令 f (x)0得 x1e111所以 0 x1x21 且 f (x) 在 (0,) 單調(diào)遞減，在 (, ) 單調(diào)遞增ee2e構(gòu)造函數(shù)（極值點偏移）易證x1 x2以下略e要證明 x1x21 只要 x21x1 即可（因為 x11 ,x111 x1111且， x21 )eeeee而 f (x) 在 (1 ,) 單調(diào)遞增e所以只要證明f ( x2 )f (1x1 ) 只要 f ( x1 )f (1 x1 ) 即可構(gòu)造函數(shù) g (x)f (x)f (1x), x(0, 1)2g (x) ln xln(1x)2g (x)1 2x0x(1x)g ( x) 在 (0, 1 ) 上單調(diào)遞增2且 g (1)由于 x0 時， g (x)ln( e 1) 0e故必存在 x0(0, 1)