CH 1 信號及其描述

1、第第1 1章章 信號及其描述信號及其描述Signal and Its Description1.0 序（序（Introduction）1.1 信號的分類（信號的分類（Signal Classification）1.2 信號的描述（信號的描述（Signal Description）1.3幾種典型信號的頻譜（幾種典型信號的頻譜（Several Typical Signals Spectrum）信號信號（signal）：隨時間或空間變化的物理量。）：隨時間或空間變化的物理量。信號是信號是信息的載體信息的載體，信息是信號的內(nèi)容信息是信號的內(nèi)容。依靠信號實現(xiàn)電、光、聲、力、溫度、壓力、流量等的傳輸依靠信

2、號實現(xiàn)電、光、聲、力、溫度、壓力、流量等的傳輸電信號易于變換、處理和傳輸，電信號易于變換、處理和傳輸，非電信號非電信號 電信號電信號。信號分析與處理信號分析與處理（signal analysis and processing）不考慮信號的具體物理性質(zhì)，將其不考慮信號的具體物理性質(zhì)，將其抽象為變量之間的函數(shù)關(guān)系抽象為變量之間的函數(shù)關(guān)系，從數(shù)學(xué)上加以分析研究，從中得出具有普遍意義的結(jié)論。從數(shù)學(xué)上加以分析研究，從中得出具有普遍意義的結(jié)論。序序1.0 1.0 序序（Introduction）信號無處不在信號無處不在通信通信 古老通信方式：烽火、旗語、信號燈。古老通信方式：烽火、旗語、信號燈。 近代通信

3、方式：電報、電話、無線通訊。近代通信方式：電報、電話、無線通訊。 現(xiàn)代通信方式：計算機網(wǎng)絡(luò)通信、視頻電視傳播、現(xiàn)代通信方式：計算機網(wǎng)絡(luò)通信、視頻電視傳播、衛(wèi)星傳輸、移動通信。衛(wèi)星傳輸、移動通信。序序1.1 1.1 信號的分類信號的分類 （Signal Classification）非平穩(wěn)隨機信號非各態(tài)歷經(jīng)信號各態(tài)歷經(jīng)信號平穩(wěn)隨機信號非確定性信號一般非周期信號準周期信號非周期信號一般周期信號諧波信號周期信號確定性信號 信號信號1.1.1. 1.1.1. 分類法一：確定性信號和非確定性信號分類法一：確定性信號和非確定性信號 確定性信號確定性信號：能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖像表達能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或

4、圖像表達的信號稱為確定性信號。的信號稱為確定性信號。 )cos()(0tmkAtx信號的分類信號的分類mx(t)0 x(t) 0 0Atk周期信號周期信號(period signal)：依一定的時間間隔周而復(fù)始、重：依一定的時間間隔周而復(fù)始、重復(fù)出現(xiàn)；無始無終。復(fù)出現(xiàn)；無始無終。)/(0mk周期周期：滿足上式的滿足上式的最小最小T 值。值。頻率頻率(frequency)：周期的倒數(shù)，周期的倒數(shù)，f = 1/T，單位：（，單位：（Hz 赫茲）赫茲）圓頻率圓頻率/角頻率角頻率：頻率乘以頻率乘以2 f, 即即 =2 f =2 /T 實際應(yīng)用中，實際應(yīng)用中，n 通常取為正整數(shù)。通常取為正整數(shù)。數(shù)學(xué)表達

5、：數(shù)學(xué)表達：信號的分類信號的分類), 2, 1()()(0nnTtxtxT0 = 2 / 0 =1/ f0(a) 正弦信號：正弦信號：(b) 一般周期一般周期信號信號：x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 tx(t)t0tT0Ax(t)00)sin()(00tAtx信號的分類信號的分類這種頻率單一的正弦或余弦信號稱為這種頻率單一的正弦或余弦信號稱為諧波信號諧波信號。諧波諧波(harmonious)信號信號常用特征參量：均值、絕對均值、均常用特征參量：均值、絕對均值、均 方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率）方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率） 描述。描述

6、。一般周期信號一般周期信號（如周期方波、周期三角波等）由多個乃至無（如周期方波、周期三角波等）由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后存在公共周期。后存在公共周期。準周期信號準周期信號(quasi-periodic signal)也由多個頻率成分疊加而也由多個頻率成分疊加而成，但成，但不存在公共周期（本質(zhì)上不屬于周期信號）不存在公共周期（本質(zhì)上不屬于周期信號）。信號的分類信號的分類一般一般非周期信號非周期信號是在有限時間段存在，或隨著時間的增加是在有限時間段存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號，又稱為瞬變非周期

7、信號。而幅值衰減至零的信號，又稱為瞬變非周期信號。ttAtAtx31sin9sin)(例：準周期信號例：準周期信號信號的分類信號的分類x(t)ttx(t)一般非周期信號（瞬變信號）一般非周期信號（瞬變信號）：在在有限時間段存在有限時間段存在，或隨，或隨時間的增加幅值衰減至零。時間的增加幅值衰減至零。ttxtsine)(信號的分類信號的分類非確定性信號非確定性信號又稱為隨機（又稱為隨機（random）信號，是無法用）信號，是無法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達的信號。如：明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達的信號。如：加工零件的尺寸加工零件的尺寸機械振動機械振動環(huán)境的噪聲等環(huán)境的噪聲等 根據(jù)是否滿足平穩(wěn)隨機過程的條件，非

8、確定性信號又可以分根據(jù)是否滿足平穩(wěn)隨機過程的條件，非確定性信號又可以分為：為：平穩(wěn)隨機信號平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號 信號的分類信號的分類t0 x(t)隨機信號：白噪聲隨機信號：白噪聲t0 x(t)隨機信號：隨機信號：疊加白噪聲的正弦信號疊加白噪聲的正弦信號非確定性信號。非確定性信號。具有不重復(fù)性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不具有不重復(fù)性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預(yù)估性。一樣）、不確定性、不可預(yù)估性。采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。l 隨機信號隨機信號信號的分類信號的分類模擬信號（信號的幅值與均）連續(xù)信號一般連續(xù)信號（

9、）一般離散信號（）離散信號數(shù)字信號（信號的幅值與獨立變量連續(xù)獨立變量連續(xù)獨立變量離散獨立變量離）散均 1.1.2 1.1.2 分類法二：連續(xù)信號和離散信號分類法二：連續(xù)信號和離散信號t0連續(xù)信號連續(xù)信號t0離散信號離散信號信號的分類信號的分類1.1.31.1.3分類法三：能量信號和功率信號分類法三：能量信號和功率信號 如周期信號、準周期信號、隨機信號等。如周期信號、準周期信號、隨機信號等。)()(2txtPdttxdttPtE)()()(2dttxtE)()(2ttxttttPttd )(1),(2121221l 信號的瞬時功率：信號的瞬時功率：l 信號能量：信號能量：l 能量（有限）信號：能

10、量（有限）信號：l 功率（有限）信號功率（有限）信號： 信號在有限區(qū)間信號在有限區(qū)間（t1, t2）上的平均功率上的平均功率： 如各類瞬變信號。如各類瞬變信號。信號的分類信號的分類 信號的時域描述信號的時域描述 以時間為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征，以時間為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征， 反映信號幅值隨時間變化的關(guān)系反映信號幅值隨時間變化的關(guān)系。 波形圖：時間為橫坐標的幅值變化圖。波形圖：時間為橫坐標的幅值變化圖。 優(yōu)點優(yōu)點：形象、直觀。：形象、直觀。 缺點缺點：不能明顯揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（頻率組成關(guān)系）。：不能明顯揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（頻率組成關(guān)系）。1.2 1.2 信號的描述信號

11、的描述 （Signal Description） 分時域描述與頻域描述兩大類方法分時域描述與頻域描述兩大類方法 。 信號的頻域描述信號的頻域描述 應(yīng)用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換，對信號進行變換（分應(yīng)用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換，對信號進行變換（分解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系。 頻譜圖：以頻率為橫坐標的幅值、相位變化圖。頻譜圖：以頻率為橫坐標的幅值、相位變化圖。l 幅值譜：幅值幅值譜：幅值- -頻率圖頻率圖l 相位譜：相位相位譜：相位- -頻率圖頻率圖 頻域描述抽取信號內(nèi)在的頻率組成及其幅值和相角的大頻域描述抽取信號內(nèi)

12、在的頻率組成及其幅值和相角的大小，描述更簡練、深刻、方便。小，描述更簡練、深刻、方便。信號的描述信號的描述 信號時域與頻域描述的關(guān)系信號時域與頻域描述的關(guān)系 時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換，時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換， 兩者蘊涵的信息相同。兩者蘊涵的信息相同。 時域描述與頻域描述各有用武之地。時域描述與頻域描述各有用武之地。 將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域稱為將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域稱為頻譜頻譜(specrtrum)分析分析， 屬于信號的變換域分析。屬于信號的變換域分析。 采用頻譜圖描述信號，需要同時給出采用頻譜圖描述信號，需要同時給出幅值譜幅值譜(amplitude spect

13、run)和和相位譜相位譜(phase spectrum)。信號的描述信號的描述 狄里赫利（狄里赫利（Dirichet）條件：）條件： 在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。 在一在一個個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。 在一在一個個周期內(nèi)，信號絕對可積，即周期內(nèi)，信號絕對可積，即 1.2.1 1.2.1 周期信號的描述周期信號的描述（1 1）三角函數(shù)展開式）三角函數(shù)展開式 （傅里葉級數(shù)法）（傅里葉級數(shù)法） Tttttx00d| )(|信號的描述信號的描述)sincos()(0010tnbt

14、naatxnnn其中其中則可以展開為則可以展開為信號的描述信號的描述ttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000傅里葉系數(shù))3sin()2sin()sin()sin()(032021010010nnnntAtAtAAtnAAtx22nnnbaAnnnbaarctan式中式中進一步，可以改寫為進一步，可以改寫為信號的描述信號的描述 例：方波信號的描述例：方波信號的描述 時域描述時域描述)02()20()(, 3, 2, 1),()(000tTATtAtxnnTtxtxT0T0T02T020tx(t)信號

15、的描述信號的描述 頻域頻域tnnAtttAtxn00000) 12sin(12145sin513sin31sin4)(002T，4A 4A34A50A()03050003050 ()/2幅值譜幅值譜相位譜相位譜信號的描述信號的描述x(t)0tT0周期方波信號的合成周期方波信號的合成信號的描述信號的描述周期方波信號的時、頻域描述周期方波信號的時、頻域描述 信號的描述信號的描述例：周期性三角波的傅里葉級數(shù)例：周期性三角波的傅里葉級數(shù) , 3, 2, 1),()()20(2)02(2)(00000nnTtxtxTttTAAtTtTAAtx0T0/2-T0/2Ax(t)t. . . . .信號的描述信

16、號的描述解：解：2d)2(2d)(12/0002/2/00000AttTAATttxTaTTT2/00002/2/00000dcos)2(4dcos)(2TTTnttntTAATttntxTa), 6, 4, 2(0), 5, 3, 1(42sin422222nnnAnnA0sin)(22/2/0000TTndttntxTb信號的描述信號的描述), 5, 3, 1(cos142)(1022ntnnAAtxn因此，有：因此，有：1022)2sin(142ntnnAA4A 24A92 4A2520A()03050003050 () A 22信號的描述信號的描述（2）復(fù)指數(shù)展開式）復(fù)指數(shù)展開式)ee

17、(2jsin)ee(21cossinjcos00000jj0jj000jtntntntntntntntntnee )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnnnnbabaatx所以：所以：)sincos()(0010tnbtnaatxnnn歐拉公式歐拉公式信號的描述信號的描述令：令：)ee()(00jj10tnntnnnCCCtxtnnnC0je00/200/201( )TTCax t dtT0( )jntnnx tC e(n=0,1,2,）信號的描述信號的描述其中：其中：000/2/201( )2TjntnnnTajbCx t edtT000/2/201( )2TjntnnnTaj

18、bCx t edtT000/2/201( )TjntnTCx t edtT故用統(tǒng)一的公式描述傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為：故用統(tǒng)一的公式描述傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為：證明？nnnnnCCCCjeImjRe按實頻譜和虛頻譜形式按實頻譜和虛頻譜形式 幅頻譜和相頻譜形式幅頻譜和相頻譜形式 22)(Im)(RennnCCCnnnCCReImarctan幅頻譜圖：幅頻譜圖：| Cn | - 實頻譜圖：實頻譜圖： CnR - 虛頻譜圖：虛頻譜圖： CnI - 相頻譜圖：相頻譜圖： n - nnnnCC,信號的描述信號的描述例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。 解：解：)

19、ee(21cos00jj0ttt)ee(2jsin00jj0tttC-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, ）信號的描述信號的描述1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜 幾點結(jié)論幾點結(jié)論 l 復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜雙邊譜（ 從從 - 到到 +

20、），三角函數(shù)形式的頻譜為三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜單邊譜（ 從從 0 到到 + ）。）。l 兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系：兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系： 00, 2/aCACnnl 雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù) nnnnCC,l 一般周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)傅里葉展開式的實頻譜一般周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)傅里葉展開式的實頻譜 總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。 信號的描述信號的描述綜上所述，綜上所述，周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點如下：如下： 周期信號的頻譜是周期信號的頻譜是離散譜離散譜； 每個譜線只出現(xiàn)在基波

21、頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的諸分量頻率的公約數(shù)公約數(shù)； 一般周期信號一般周期信號展開成傅里葉級數(shù)后，在頻域上是無展開成傅里葉級數(shù)后，在頻域上是無限的。工程上常見的周期信號，其諧波幅值隨諧波次限的。工程上常見的周期信號，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小數(shù)的增高而減小 在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。的諧波分量。信號的描述信號的描述1.2.2 非周期信號的描述非周期信號的描述 瞬變信號例瞬變信號例參見下頁參見下頁 頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于

22、有公共周期，是公共周期，是周期信號周期信號。 當信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是當信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是準周期信號準周期信號。 一般非周期信號是指瞬變信號。一般非周期信號是指瞬變信號。信號的描述信號的描述非周期信號 準周期信號 信號中各簡諧成分 的頻率比為無理數(shù) 具有離散頻譜 瞬變信號 在一定時間區(qū)間內(nèi) 存在或隨時間的增 長衰減至零準周期信號x(t)0tx(t)0t瞬變信號I0tx(t)瞬變信號IItAtAtx31sin9sin)(ttxtsine)(（1）傅里葉變換）傅里葉變換 （fourier transform）非周期信號可以看成是周期非周期信號可以看成

23、是周期T0 趨于無窮大的周期信號。趨于無窮大的周期信號。 02000 TT譜線無限靠近，變?yōu)檫B續(xù)譜譜線無限靠近，變?yōu)檫B續(xù)譜 。譜線長度：譜線長度：0nC22j0000e )(1TTtnndttxTC 此時根據(jù)傅里葉級數(shù)展開所表示的譜線失去意義。此時根據(jù)傅里葉級數(shù)展開所表示的譜線失去意義。 信號存在就必然含有一定的能量，無論信號怎樣分解，其信號存在就必然含有一定的能量，無論信號怎樣分解，其所含總能量應(yīng)當不變。所含總能量應(yīng)當不變。 無論周期增大到何種程度，信號能量沿頻率域的分布特征無論周期增大到何種程度，信號能量沿頻率域的分布特征總存在，即非周期信號的頻譜依然存在總存在，即非周期信號的頻譜依然存在

24、。 信號的描述信號的描述設(shè)周期信號設(shè)周期信號x(t)在一周期內(nèi)的傅里葉級數(shù)表示為在一周期內(nèi)的傅里葉級數(shù)表示為ntnnCtx0je)(其中：其中： 22j0000e )(1TTtnndttxTCT0時，時， = 0 0，n 0 ，Cn0。但但 Cn T0 存在：存在：ttxttxTCtTTtTnTde )(de )(limlimj22j00000dttxCTCXtnTnTj00e )(2limlim)(00信號的描述信號的描述Cn表示表示n 0（即（即 ）處的頻譜值，而）處的頻譜值，而 反映了單位頻反映了單位頻帶的頻譜值（帶的頻譜值（ 0為譜線間隔），稱為非周期信號的為譜線間隔），稱為非周期信號

25、的頻譜密頻譜密度度(spectrum density)函數(shù)函數(shù)，簡稱，簡稱頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)，它反映了信號，它反映了信號能量沿頻域的分布狀況。能量沿頻域的分布狀況。若以若以 的值為高、以間隔的值為高、以間隔 0為寬畫一個小矩形，為寬畫一個小矩形，則該小矩形的面積等于則該小矩形的面積等于 = n 0頻率處的頻譜值頻率處的頻譜值Cn(n 0)。0nC0nC信號的描述信號的描述de)de)(21e)d)(2de )de)(1limelim)(limjjjjjj2/2/0j00000000tttttnntnTTTtnnnTTttxtetxttxTCtx Cn信號的描述信號的描述ttxXtde)()(jd

26、)(21)(j teXtx傅里葉變換（傅里葉變換（FT） 傅里葉逆變換（傅里葉逆變換（IFT） f 2以以代入得代入得ttxfXftde )()(2jffXtxftde )()(2j記為：記為：x(t)X()FTIFT信號的描述信號的描述用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為 )()()(Imj)(Re)(fjefXfXfXfX22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imarctan)(fXfXf非周期信號的幅頻譜非周期信號的幅頻譜 和周期信號的幅頻譜和周期信號的幅頻譜 很相很相似，但是兩者量綱不同。似，但是兩者量綱不同。 為為信號幅值的量綱。信號幅值

27、的量綱。 為為信號單位頻寬上的幅值信號單位頻寬上的幅值，是頻譜密度函數(shù)。工程測試，是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。中為方便，仍稱為頻譜。 )( fXnCnC)( fX信號的描述信號的描述)2(0)2(1)(TtTttw例：矩形窗函數(shù)的頻譜例：矩形窗函數(shù)的頻譜 222j2jdede)()(TTftfttttwfWfTfTTeeffTfTsin2 j1jj)(sincfTTW(f)中中 T 稱為窗寬，稱為窗寬， sinsinc1-T/2T/2tw(t)0信號的描述信號的描述W(f )T01T1Tf3T3T (f ) 01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。函

28、數(shù)只有實部，沒有虛部。 sinc 以以2 為周期并隨為周期并隨 的的增加作衰減振蕩。增加作衰減振蕩。sinc 是偶函數(shù)，在是偶函數(shù)，在n （n= 1, 2, ）處其值為）處其值為0。 信號的描述信號的描述 非周期信號頻譜的特點非周期信號頻譜的特點 l 基頻無限小，包含了從基頻無限小，包含了從 0 的所有頻率分量。的所有頻率分量。 l 頻譜連續(xù)。頻譜連續(xù)。l |X( )|與與|Cn|量綱不同。量綱不同。|Cn|具有與原信號幅具有與原信號幅 值相同的量綱，值相同的量綱，|X( )|是單位頻寬上的幅值。是單位頻寬上的幅值。 l 非周期信號頻域描述的基礎(chǔ)是傅里葉變換。非周期信號頻域描述的基礎(chǔ)是傅里葉變

29、換。 信號的描述信號的描述應(yīng)用應(yīng)用某齒輪箱各特征頻率值某齒輪箱各特征頻率值齒數(shù)齒數(shù)1X2X3X4X5X6X7X電動機工頻電動機工頻16.90 33.80 50.70 67.60 84.50 101.40 118.30 II軸轉(zhuǎn)頻軸轉(zhuǎn)頻3.73 7.46 11.18 14.91 18.64 22.37 26.10 III軸轉(zhuǎn)頻軸轉(zhuǎn)頻0.95 1.89 2.84 3.79 4.73 5.68 6.63 VI軸轉(zhuǎn)頻軸轉(zhuǎn)頻0.26 0.53 0.79 1.05 1.31 1.58 1.84 V 軸轉(zhuǎn)頻軸轉(zhuǎn)頻0.08 0.15 0.23 0.31 0.38 0.46 0.54 電動機與電動機與II軸嚙合

30、軸嚙合15 / 68253.50 507.00 760.50 1 014.00 1 267.50 1 521.00 1 774.50 II軸與軸與III軸嚙合軸嚙合16 / 6359.65 119.29 178.94 238.59 298.24 357.88 417.53 III軸與軸與VI軸嚙合軸嚙合15 / 5414.20 28.40 42.61 56.81 71.01 85.21 99.41 VI軸與軸與V軸嚙合軸嚙合14 / 483.68 7.36 11.05 14.73 18.41 22.09 25.77 信號的描述信號的描述Hz某齒輪箱體實測振動速度頻譜圖某齒輪箱體實測振動速度頻譜

31、圖 信號的描述信號的描述（2） 傅里葉變換的主要性質(zhì)傅里葉變換的主要性質(zhì) 積 分x(t t0) 時 移 頻域微分x(kt) 尺度變換 時域微分x(-f) X(t) 對 稱 性 X1(f)X2(f)x1(t) x2(t)頻域卷積AX(f)+bY(f) ax(t)+by(t) 線性疊加 X1(f) X2(f)x1(t)x2(t)時域卷積實奇函數(shù)虛奇函數(shù)X*(-f)x*(t)共 軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)X(-f) x(-t) 翻 轉(zhuǎn) 虛奇函數(shù)實奇函數(shù)X(f f0) 頻 移 實偶函數(shù)實偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實性頻 域時 域性 質(zhì)頻 域時 域性 質(zhì)0,1kkfXk02je )(ftfXtftx02je )(nnt

32、txd)(d)(2 jfXfn)(2 jtxtnnnffXd)(dtttxd)(存在ffXfXf)(),(2 j1信號的描述信號的描述 頻域分析：傅里葉變換，自變量為頻域分析：傅里葉變換，自變量為 j 復(fù)頻域分析：拉普拉斯變換復(fù)頻域分析：拉普拉斯變換, 自變量為自變量為 S = +j Z域分析：域分析：Z 變換，自變量為變換，自變量為z TsTz)j(ee頻域、復(fù)頻域、頻域、復(fù)頻域、Z域的關(guān)系域的關(guān)系信號的描述信號的描述 傅里葉變換的主要性質(zhì)傅里葉變換的主要性質(zhì) 奇偶虛實性奇偶虛實性 )(Imj)(Rede )()(2jfXfXttxfXfttfttxfXd2cos)()(RetfttxfXd

33、2sin)()(Im若若x(t)為實偶函數(shù)，則為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)。為實偶函數(shù)。若若x(t)為實奇函數(shù)，則為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)。為虛奇函數(shù)。若若x(t)為虛偶函數(shù)，則為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)。為虛偶函數(shù)。若若x(t)為虛奇函數(shù)，則為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)。為實奇函數(shù)。若若x(t)為實函數(shù)，則為實函數(shù)，則 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ) 信號的描述信號的描述對稱性對稱性：X(t) x(-f )證明：證明： 互換互換 t 和和 f從

34、而：從而：X(t) x(-f)ffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(2信號的描述信號的描述尺度改變性尺度改變性 證明：)(1)(d)(1de )()()(2j2jkfXkktektxktktxktxktkfftFkfXkxkxkktxkfkf1de )(1de )(1)(2j2jF（k 0）（k 1，變化速度加快），變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。信號的描述信號的描述尺度改變性質(zhì)舉例尺度改變性質(zhì)舉例000000證明：證明： 若若 t0為常數(shù)為常數(shù) 則則 時移結(jié)果只改變信號的相頻譜

35、，不改變信號的幅頻譜時移結(jié)果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜時移性質(zhì)時移性質(zhì) 信號的描述信號的描述02j0e )()(ftfXttx00002j02j)(2j02j00e )()d(ee )(de )()(ftftttfftfXttttxtttxttxF02j0e )(1)(tafafXatatxF(c) 時移的時域矩形窗時移的時域矩形窗 (d) 圖圖(c)對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線 時移性質(zhì)舉例時移性質(zhì)舉例信號的描述信號的描述（a）時域矩形窗）時域矩形窗圖（圖（a）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線000000例：求三個窗函數(shù)的頻譜。例：求三個窗函

36、數(shù)的頻譜。x(t)tT/2-T/21)(csinsin)(fTTfTfTTfW對于矩形窗函數(shù)對于矩形窗函數(shù)w(t)問題描述為求問題描述為求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的頻譜的頻譜根據(jù)時移性質(zhì)根據(jù)時移性質(zhì)信號的描述信號的描述)2cos21)(csin)1)(csin)()()(2j2jffTTeefTTtwtwtwffF頻移特性頻移特性 若若f0為常數(shù)為常數(shù)信號的描述信號的描述)(e )(02j0ffXtxtftftftfffttxfffXfffXffX0002j2j)(2j02j001e )(dee )(de )()(F證明證明卷積特性卷積特性 證明：證明： 函數(shù)函數(shù)x(t)與與y

37、(t)的卷積定義為的卷積定義為( )( )( ) ()x ty txy td信號的描述信號的描述)()()()(2121fXfXtxtxttxxtxtxFftde d)()()(*)(2j2121 ttxxtffde )(de )()(2j22j1)()(21fXfX同理可得同理可得( ) ( )()()x t y tXfYfnnttxd)(d)(2 jfXfnffXtxftde )()(2jffXfttxftde )()2 j (d)(d2j)()2 j (d)(dfXfttxF)()2 j (d)(dfXfttxnnnF微分特性：微分特性：證明：證明：同理：同理：信號的描述信號的描述傅里葉

38、的兩個最主要的貢獻傅里葉的兩個最主要的貢獻 周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和 傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點 非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示 傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點信號的描述信號的描述1.2.3 隨機隨機(random)信號的描述信號的描述 隨機信號是非確定性信號隨機信號是非確定性信號 隨機信號具有不重復(fù)性（在相同條件下，每次觀測的隨機信號具有不重復(fù)性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預(yù)估性結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預(yù)估性 隨機信號

39、必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述隨機信號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述 相關(guān)概念相關(guān)概念 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象 樣本樣本(sample)函數(shù)函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作作xi(t)，i表示第表示第i次觀測。次觀測。 樣本記錄樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù) 隨機過程隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）

40、。記作全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作x(t)，即，即 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)，信號的描述信號的描述隨機變量隨機變量：隨機過程在某一時刻：隨機過程在某一時刻t1的取值的取值x(t1)是一個隨機變是一個隨機變量，隨機變量一般定義在樣本空間上。量，隨機變量一般定義在樣本空間上。集合平均集合平均：一般而言，任何一個樣本函數(shù)都無法恰當?shù)卮阂话愣?，任何一個樣本函數(shù)都無法恰當?shù)卮黼S機過程表隨機過程 x(t) ，隨機過程在任何時刻的統(tǒng)計特性需，隨機過程在任何時刻的統(tǒng)計特性需用其樣本函數(shù)的集合平均來描述。用其樣本函數(shù)的集合平均來描述。時間平均時間平均：按單個樣本函數(shù)的時間歷程進

41、行平均計算。：按單個樣本函數(shù)的時間歷程進行平均計算。平穩(wěn)與非平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)與非平穩(wěn)隨機過程：平穩(wěn)隨機過程指其統(tǒng)計特性不隨：平穩(wěn)隨機過程指其統(tǒng)計特性不隨時間而變化，或者說，不隨時間坐標原點的選取而變化；時間而變化，或者說，不隨時間坐標原點的選取而變化；否則，則為非平穩(wěn)隨機過程。否則，則為非平穩(wěn)隨機過程。信號的描述信號的描述各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程：若平穩(wěn)隨機過程任一樣本函數(shù)的時間平：若平穩(wěn)隨機過程任一樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特性等于該過程的集合平均統(tǒng)計特性，則稱該均統(tǒng)計特性等于該過程的集合平均統(tǒng)計特性，則稱該隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的（遍歷性）。隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的（遍歷性）。各態(tài)歷經(jīng)過程的物理含義：

42、任一樣本函數(shù)在足夠長的時各態(tài)歷經(jīng)過程的物理含義：任一樣本函數(shù)在足夠長的時間區(qū)間內(nèi)，包含了各個樣本函數(shù)所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)。間區(qū)間內(nèi)，包含了各個樣本函數(shù)所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)。對于各態(tài)歷經(jīng)過程，其時間平均等于集合平均，因此各對于各態(tài)歷經(jīng)過程，其時間平均等于集合平均，因此各態(tài)歷經(jīng)過程的所有特性都可以用單個樣本函數(shù)上的時態(tài)歷經(jīng)過程的所有特性都可以用單個樣本函數(shù)上的時間平均來描述。工程中絕大多數(shù)隨機過程都是各態(tài)歷間平均來描述。工程中絕大多數(shù)隨機過程都是各態(tài)歷經(jīng)的或可以近似為各態(tài)歷經(jīng)過程進行處理。經(jīng)的或可以近似為各態(tài)歷經(jīng)過程進行處理。一般，隨機過程需足夠多（理論上為無限個）的樣本函一般，隨機過程需足夠多（理論

43、上為無限個）的樣本函數(shù)才能描述，即使是各態(tài)歷經(jīng)過程，理論上也需要無數(shù)才能描述，即使是各態(tài)歷經(jīng)過程，理論上也需要無限長的時間記錄。限長的時間記錄。 信號的描述信號的描述隨機過程的樣本函數(shù)隨機過程的樣本函數(shù)信號的描述信號的描述00000 x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt隨機信號的主要統(tǒng)計特征描述各態(tài)歷經(jīng)隨機信號的主要特征參數(shù)有：描述各態(tài)歷經(jīng)隨機信號的主要特征參數(shù)有：幅值域幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函數(shù)等：均值、方差、均方值、概率密度函數(shù)等時間域時間域：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)頻率域頻率域：自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)、相干函

44、：自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)等數(shù)等信號的描述信號的描述均值、均方值、均方根值和方差均值、均方值、均方根值和方差 均值均值( (mean) )反映信號的靜態(tài)分量，即常值分量：反映信號的靜態(tài)分量，即常值分量：TTxttxT0d)(1lim均方值均方值(mean square)反映信號的能量或強度：反映信號的能量或強度： TTxttxT022d)(1lim均方根值均方根值(root of mean square)為均方值正的平方根：為均方值正的平方根： 2rmsxx信號的描述信號的描述方差方差(Variance)反映信號偏離均值的波動情況：反映信號偏離均值的波動情況： TxxxTx

45、dttxT02222)(1lim標準差標準差(standard variance)為方差的正的平方根：為方差的正的平方根： 222xxxx信號的描述信號的描述概率密度概率密度(probability density)函數(shù)函數(shù) 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)表示瞬時幅值落在某指定范圍內(nèi)的概率。表示瞬時幅值落在某指定范圍內(nèi)的概率。 隨機信號隨機信號 的時間歷程，幅值落在的時間歷程，幅值落在 區(qū)間的區(qū)間的總時間為總時間為 ，當觀測時間，當觀測時間T 趨于無窮大時，概率趨于無窮大時，概率記為記為)(lim)(TTxxtxxPxT)(tx),(xxxkiixtT1信號的描述信號的描述xx+x0 x(t)t1t

46、2t3t4tT0 xp(x)定義概率密度函數(shù)定義概率密度函數(shù) )1(limlim1lim)(lim)(1000kiiTxxTxxtxTTTxxxxtxxPxp概率密度函數(shù)提供了隨機信號的幅值分布信息，是隨機信概率密度函數(shù)提供了隨機信號的幅值分布信息，是隨機信號的主要特征參數(shù)之一。在實際應(yīng)用中，當不知道所處理號的主要特征參數(shù)之一。在實際應(yīng)用中，當不知道所處理的隨機數(shù)據(jù)服從何種分布時，可以用統(tǒng)計概率分布圖和直的隨機數(shù)據(jù)服從何種分布時，可以用統(tǒng)計概率分布圖和直方圖來估計方圖來估計p(x)。xxptxxExd)()(xxptxtxExd)()()(222如果知道信號的概率密度函數(shù)，則如果知道信號的概率

47、密度函數(shù)，則信號的描述信號的描述1.3 1.3 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜 （several typical signals spectrum）1.3.1 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(函數(shù)函數(shù)) 的頻譜的頻譜1. 函數(shù)定義函數(shù)定義)0(0)0()(lim)(0tttt1d)(d)(limd)(lim00tttttt且其面積（強度）：且其面積（強度）： /201/t(t)0t(t)2. 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 1) 函數(shù)的采樣性質(zhì)函數(shù)的采樣性質(zhì) )()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx2)篩選性篩選性 )0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d)()(d)

48、()(0000txttttxttttx篩選結(jié)果為篩選結(jié)果為x(t)在發(fā)生在發(fā)生函數(shù)位置的函數(shù)值函數(shù)位置的函數(shù)值( (又稱為采樣值又稱為采樣值) ) 3)卷積性卷積性 )(d)( )()()(txtxttx)(d )( )()()(000ttxttxtttx幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例 (t)0t1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t03. 函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜 對對(t)取傅里葉變換取傅里葉變換 1ede )( )(02 j2 jfftttf

49、ftftde1)(2j函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜均勻譜”。 函數(shù)是偶函數(shù)，即函數(shù)是偶函數(shù)，即 ，則利用對稱、，則利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對 )()()()(fftt、0j20()1 efttt 0j20e1 ()f tff 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜0t(t)10f(f )1（各頻率成分分別移相（各頻率成分分別移相2 ft0） (t t0) (f) （單位脈沖譜線）（單位脈沖譜線） 1 （幅值為（幅值為1的直流量）的直流量） 1 （均勻頻譜密度

50、函數(shù)）（均勻頻譜密度函數(shù)） (t) （單位瞬時脈沖）（單位瞬時脈沖） 頻頻 域域 時時 域域 02jefttf02je)(0ff 單位脈沖函數(shù)的時、頻域關(guān)系單位脈沖函數(shù)的時、頻域關(guān)系幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜1.3.2 矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜 （1）矩形窗）矩形窗(rectangle window)函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜222j2jede)()(TTftftdtttwfWfTfTTffTfTsinee2 j1jj)(sincfTT幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜W(f )T01T1Tf3T3T(f )01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)0幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜（2）常值函數(shù)）常值函數(shù)(又稱直流量又稱直流