從一道何題談起

1、從一道幾何題談起從一道幾何題談起淮安市啟明外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)教研活動(dòng)材料淮安市啟明外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)教研活動(dòng)材料主講：錢(qián)旭東主講：錢(qián)旭東 如圖，四邊形如圖，四邊形abcd是正方形，點(diǎn)是正方形，點(diǎn)e為為邊邊bc的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，aef=90，ef交正方形交正方形外角的平分線(xiàn)外角的平分線(xiàn)cf于點(diǎn)于點(diǎn)f求證：求證：ae=effbcadge【 題題 目目 】【 解解 法法 】fbcadgem解法解法1解法解法2解法解法3mmfbcadge【 解解 法法 】解法解法4解法解法5解法解法6mmmfbcadge【 解解 法法 】解法解法7最后最后mn【 拓展一：拓展一：e點(diǎn)變化點(diǎn)變化 】fbcadgem【 拓展一：拓

2、展一：e點(diǎn)變化點(diǎn)變化 】fbcadgem【 拓展二：正方形變化拓展二：正方形變化 】mfdabcge 四邊形四邊形abcd是矩形（是矩形（bcab），點(diǎn)），點(diǎn)e為邊為邊bc上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，aef=90，ef交矩形外角的平分交矩形外角的平分線(xiàn)線(xiàn)cf于點(diǎn)于點(diǎn)f試問(wèn)邊試問(wèn)邊bc上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)e，使得，使得ef = ae？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)e的位置；若不存在，的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由【 拓展二：正方形變化拓展二：正方形變化 】mfdabcge 四邊形四邊形abcd是矩形（是矩形（bcab），點(diǎn)），點(diǎn)e為為直線(xiàn)直線(xiàn)bc上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，aef=90，ef交矩形外角的

3、交矩形外角的平分平分線(xiàn)所在直線(xiàn)線(xiàn)所在直線(xiàn)cf于點(diǎn)于點(diǎn)f試問(wèn)直線(xiàn)試問(wèn)直線(xiàn)bc上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)e，使得，使得ef = ae？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)e的位置；的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【 拓展二：正方形變化拓展二：正方形變化 】 四邊形四邊形abcd是矩形（是矩形（bcab），點(diǎn)），點(diǎn)e為為直線(xiàn)直線(xiàn)bc上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，aef=90，ef交矩形外角的交矩形外角的平分平分線(xiàn)所在直線(xiàn)線(xiàn)所在直線(xiàn)cf于點(diǎn)于點(diǎn)f試問(wèn)直線(xiàn)試問(wèn)直線(xiàn)bc上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)e，使得，使得ef = ae？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)e的位置；的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)

4、明理由mfdabcge【 拓展二：正方形變化拓展二：正方形變化 】fdabcgedabcgefdabcgem【 拓展三：數(shù)字化拓展三：數(shù)字化 】 四邊形四邊形abcd是矩形，是矩形，ab=n，bc=m，且，且m = tn（t1），點(diǎn)），點(diǎn)e為邊為邊bc上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，aef=90，ef交矩形外角的平分線(xiàn)交矩形外角的平分線(xiàn)cf于點(diǎn)于點(diǎn)f試探究點(diǎn)試探究點(diǎn)e在邊在邊bc的何處時(shí)，使得的何處時(shí)，使得ef =（t + 1）ae成立？成立？fdabcge解：設(shè)解：設(shè)be=a，fh = h，則，則eh = bhbe = h + ma由由 aef = 90 ，eao =feh，得，得 abeehf， ef =（t + 1）ae等價(jià)于等價(jià)于 fh =（t + 1）be，即即h =（t + 1）a，且且ab eh=be fh，即，即 ，整理得整理得 nh = ah + ama2， 把把h =（t + 1）a 代入得代入得 ，即即 ma =（t + 1）（）（na）而而 m = tn，因此，因此 tna =（t + 1）（）（na）化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 ta = n，解得，解得 t1， nm，故故e在在bc邊上