大學文科數學2第二章極限的四則運算

1、 定理定理推論推論1lim( ),lim( )f xcc f x如如果果存存在在 而而 為為常常數數 則則 這意味著這意味著, ,常數因子可以提到極限常數因子可以提到極限符號的外面符號的外面. .(1) lim ( )( );f xg xab(2) lim ( )( );f xg xa blim( ),lim ( ),f xag xb設設則則( )(3)lim,0.( )f xabg xb 其其中中六、極限的四則運算clim( ).f xc 推論推論2 這意味著這意味著,求一個函數求一個函數 n 次冪的極限次冪的極限等于該函數極限值的等于該函數極限值的n 次冪次冪.lim( ),lim( )l

2、im( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正整整數數 則則 例例1021lim(234)xxx21lim(2)xx . 1 212limxx 1lim3xx 1lim( 4)x13lim4xx212(lim )34xx代數和的極限等于極限的代數和代數和的極限等于極限的代數和.lim ( )( )f xg xablim( )lim( )cf xcf x lim( )lim( )nnf xf x 211lim2xxx 211lim(1)lim(2)xxxx 211lim1lim2xxxx 1112 . 0 在對商求極限時在對商求極限時,若分母不為若分母不為0，商的，商的

3、極限等于先求極限后極限等于先求極限后,再做除法再做除法.0)2(lim1 xx( )lim,0.( )f xabg xb其其中中例例1121241lim21xxx 12(21)(21)lim(21)xxxx 12lim(21)xx. 2 要看分子要看分子, ,分母能否因式分解，并約分分母能否因式分解，并約分. .當分母的極限為當分母的極限為 0 的情形，的情形，1,210,2xx 而而在在時時可可以以約約分分. .2lim 41)lim 21)xx （不不能能寫寫成成（12lim(21)0,xx由由于于( )lim,0.( )f xabg xb其其中中例例12225lim4xxx 224lim

4、05xxx . 1. 要看能否因式分解；要看能否因式分解；對于分母求極限為對于分母求極限為0的情形，的情形，2. 考慮利用無窮小的倒數是無窮大這一性質考慮利用無窮小的倒數是無窮大這一性質.225lim4xxx 222lim(4)0,4xxx 可可以以因因式式分分解解但但與與分分子子不不能能約約分分，需需要要另另外外想想辦辦法法. .2,x 注注意意當當時時 分分母母是是無無窮窮小小量量 分分子子是是常常數數. .例例13如何求有理根式的極限：如何求有理根式的極限：lim(21)nnnn 將原式看作分式，將原式看作分式，分析與提示分析與提示: :(21).1nnn即即，再再有有理理化化例例14(

5、21)(21)lim21nnnnnnnn 1)12(lim nnnn123lim nnnn.32 12)1(2(lim nnnnnnnnn11213lim ,ann 當當時時是是無無窮窮小小量量14 lim(21)nnnn 1sinlim0 xxx 1)0sin,0 xxx 時時，與與 為為等等價價無無窮窮小小量量 它它們們趨趨于于 的的速速度度一一樣樣. .七、兩個重要的極限其中，其中， 0sin 215 limsin 3xxx 例例1sinlim22sinlim020 ttxxtxtx0sin22332slimin3xxxxx xxxxxx3sin3lim22sinlim3200 .23

6、練習練習0sin3)limxxx 0tan34)limxxx2221)lim31xxxx 4222213*5)lim221211*6)lim()xnxxnnnnn 112(1)2nn n注：帶注：帶* *號的題號的題目較難目較難3282)lim2xxx 2221)lim31xxxx 222lim 2lim 31xxxxx （）（）2lim310 xx要要注注意意：.107 22(2)(24)lim2xxxxx 22lim(24)xxx.12 3282)lim2xxx 其中，其中， 0sin3)limxxx 00sinsinlimlim1txxtxtxt 0sinlimxxx 0sinlimxxx . 0tan34)limxxx0sin33lim13xxx0sin3limcos3xxxx 00sin31limlimcos3xxxxx. 3 1lim(1)xxx10lim(1)xxx e e 2)2.718 281 828 459 045 是是一一個個無無理理數數， 1lim(1)nnn e e. .e ee ee e31