小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)及公式總匯3

1、學(xué)校奧數(shù)學(xué)問點(diǎn)及公式總匯1和差倍問題22年齡問題的三個基本特點(diǎn)：3歸一問題的基本特點(diǎn)：4植樹問題5雞兔同籠問題6盈虧問題37牛吃草問題8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律9平均數(shù)10抽屜原理411定義新運(yùn)算12數(shù)列求和13二進(jìn)制及其應(yīng)用514加法乘法原理和幾何計數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)616約數(shù)與倍數(shù)17數(shù)的整除718余數(shù)及其應(yīng)用19余數(shù)、同余與周期20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用821分?jǐn)?shù)大小的比較922分?jǐn)?shù)拆分23完全平方數(shù)24比和比例1025綜合行程26工程問題27規(guī)律推理1128幾何面積29立體圖形30時鐘問題 快慢表問題1231時鐘問題 鐘面追及32濃度與配比33經(jīng)濟(jì)問題1333經(jīng)濟(jì)問題34簡潔方程35不定方程36循

2、環(huán)小數(shù)14公式關(guān)鍵問題1 和差倍問題已知條件和差問題幾個數(shù)的和與差和倍問題幾個數(shù)的和與倍數(shù)差倍問題幾個數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范疇已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 和差 ÷ 2=較小數(shù)較小數(shù)差 =較大數(shù)和較小數(shù) =較大數(shù) 和差 ÷ 2=較大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù)和÷ 倍數(shù) 1= 小數(shù)小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù) 和小數(shù) =大數(shù)求出同一條件下的差÷ 倍數(shù) -1= 小數(shù)小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù) 小數(shù)差 =大數(shù)和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2年齡問題的三個基本特點(diǎn)：兩個人的年齡差是不變的；兩個人的年齡是同時增加或者同時削減的；兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的

3、；3歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量 ”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示；關(guān)鍵問題：依據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題基本類型基本公式在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹棵數(shù) =段數(shù) 1在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹棵數(shù) =段數(shù) 1在直線或者不封 閉的曲線上植樹，只有一端植樹棵數(shù) =段數(shù)封閉曲線上植樹棵距×段數(shù) =總長棵距×段數(shù) =總長棵距×段數(shù) =總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是 把假設(shè)錯的那部分置換出來；基本思路：假

4、設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出顯現(xiàn)這個差的緣由；再依據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去顯現(xiàn)的差；基本公式：把全部雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把全部兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差；6盈虧問題基本概念：肯定量的對象，依據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：依據(jù)另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕?/p>

5、本思路：先將兩種安排方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，依據(jù)這個關(guān)系求出參與安排的總份數(shù)，然后依據(jù)題意求出對象的總量基此題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對象總量和總的組數(shù)是不變的；關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)；7牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，依據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的緣由，即可確定草的生長速度和總草

6、量；基本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量；基本公式：生長量 =（較長時間 ×長時間牛頭數(shù)- 較短時間 ×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間 -短時間）；總草量 = 較長時間 ×長時間牛頭數(shù)- 較長時間 ×生長量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動變化的過程中，某些特點(diǎn)有規(guī)律循環(huán)顯現(xiàn)；周期：我們把連續(xù)兩次顯現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期；關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期；閏年 ：一年有 366 天；年份能被4 整除；假如年份能被100 整除，就年份必需能被400 整除；平年 ：一年有 365 天；年份不能被4 整除；假如年份能被100 整除

7、，但不能被400 整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù) =總數(shù)量 ÷總份數(shù)總數(shù)量 =平均數(shù) ×總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量 ÷平均數(shù)平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù)每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行運(yùn)算.基準(zhǔn)數(shù)法：依據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般選與全部數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求全部給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出全部差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最終求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，詳細(xì)關(guān)系見基本公式10抽屜原理抽屜原就一：假如把（n+1）個物體放在n 個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有

8、2 個物體；例：把 4 個物體放在3 個抽屜里，也就是把4 分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情形： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀看上面四種放物體的方式，我們會發(fā)覺一個共同特點(diǎn)：總有那么一個抽屜里有2 個或多于2 個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2 個物體；抽屜原就二：假如把n 個物體放在m 個抽屜里，其中n>m ，那么必有一個抽屜至少有: k=n/m +1個物體：當(dāng)n 不能被 m 整除時； k=n/m 個物體：當(dāng)n 能被 m 整除時；懂得學(xué)問點(diǎn)：x 表示不超過x 的最大整數(shù)；例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ；關(guān)鍵問

9、題：構(gòu)造物體和抽屜；也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原就進(jìn)行運(yùn)算；11定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號，這個新的運(yùn)算符號包含有多種基本（混合）運(yùn)算；基本思路：嚴(yán)格依據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)章，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后依據(jù)基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算；關(guān)鍵問題：正確懂得定義的運(yùn)算符號的意義；留意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不肯定符合運(yùn)算規(guī)律，特殊留意運(yùn)算次序；每個新定義的運(yùn)算符號只能在此題中使用；12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰 兩個數(shù)的差是肯定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列；基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1 表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的全部數(shù)的個數(shù)，一般用n 表

10、示； 公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d 表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n, sn,通項(xiàng)公式中涉及四個量，假如己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，假如己知其中三個，就可以求這第四個；基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+ （ n 1） d； 通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一1×公差 ；數(shù)列和公式：sn,= a1+ ann×÷2； 數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù) ÷2；項(xiàng)數(shù)公式： n= an+ a1 ÷d 1；項(xiàng)

11、數(shù) =（末項(xiàng) -首項(xiàng)） ÷公差 1；公差公式： d =（ an a1） ÷（n 1）；公差 =（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù) 1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制 ：用 09 十個數(shù)字表示，逢10 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2 表示20，百位上的2 表示 200；所以 234=200+30+4=2 ×102+3 ×10+4；=an×10n-1+an-1×10n-2+an-2×10n-3+an-3×10n-4+an-4×10n-5+an-6

12、15;10n-7+a3× 102+a2 × 101+a1×100留意： n0= ； n =n （其中 n 是任意自然數(shù)）二進(jìn)制 ：用 01 兩個數(shù)字表示，逢2 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義；（ 2）= an×2n-1+an-1 ×2n-2+an-2 ×2n-3+an-3 ×2n-4+an-4 ×2n-5+an-6 ×2n-7+a3× 22+a2× 21+a1× 20留意： an 不是 0 就是 1；十進(jìn)制化成二進(jìn)制：依據(jù)二進(jìn)制滿2 進(jìn) 1 的特點(diǎn)，用2 連續(xù)去除這個

13、數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可；先找出不大于該數(shù)的2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2 的 n 次方，依此方法始終找到差為0，依據(jù)二進(jìn)制綻開式特點(diǎn)即可寫出；14加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理 ：假如完成一件任務(wù)有n 類方法，在第一類方法中有m1 種不同方法，在其次類方法中有m2 種不同方法，在第 n 類方法中有mn 種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2. +mn種不同的方法；關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法；基本特點(diǎn)：每一種方法都可完成任務(wù)；乘法原理： 假如完成一件任務(wù)需要分成n 個步驟進(jìn)行，做第1 步有 m1 種方法，不管第1 步用哪一種方法

14、，第2 步總有 m2 種方法不管前面n-1 步用哪種方法，第n 步總有 mn 種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.mn×種不同的方法；關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟；基本特點(diǎn)：每一步只能完成任務(wù)的一部分；直線：一點(diǎn)在直線或空間沿肯定方向或相反方向運(yùn)動，形成的軌跡；直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度；線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離；這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)；線段特點(diǎn)：有兩個端點(diǎn)，有長度；射線：把直線的一端無限延長；射線特點(diǎn)：只有一個端點(diǎn)；沒有長度；數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)1+2+3+ （點(diǎn)數(shù)一1）；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3+ （射線數(shù)一1）；數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù) ×寬的線段數(shù)：數(shù)長

15、方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+行數(shù) ×列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù) ：一個數(shù)除了1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)；合數(shù) ：一個數(shù)除了1 和它本身之外，仍有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)；質(zhì)因數(shù) ：假如某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)；分解質(zhì)因數(shù) ：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)；通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)；任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯獨(dú)的；分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：n= ，其中 a1、a2、a3an 都是合數(shù)n 的質(zhì)因數(shù)， 且 a1<a2<a3<<an ；求約數(shù)個數(shù)的

16、公式：p=r1+1 ×r2+1 ×r3+1 ×× rn+1互質(zhì)數(shù) ：假如兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)；16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù) ：如整數(shù)a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)；公約數(shù) ：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)；最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)；3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以

17、m；例如： 12 的約數(shù)有1、2、3、4、6、 12；18 的約數(shù)有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是：6，記作（ 12， 18）=6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來；2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘；3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)； 公倍數(shù) ：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)；12 的倍數(shù)有： 12、24、36、48；18 的倍數(shù)有： 18、36、54、72；

18、那么 12 和 18 的公倍數(shù)有： 36、72、 108；那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是36，記作 12 ， 18=36 ；最小公倍數(shù)的性質(zhì)： 1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)；2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積；求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：假如一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a 能被b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a；2、常用符號：整除符號“ ，| ”不能整除符號“”；由于符號 “”，所以的符號“ ”；二、整除判定方法：1.能被

19、 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被2、5 整除；2.能被 4、25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25 整除；3.能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125 整除；4.能被 3、 9 整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9 整除；5.能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除；逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被7 整除；6.能被 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除；奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除；逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除；7.能被

20、13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除；逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被13 整除；三、整除的性質(zhì)：1.假如 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b）也能被c 整除；2.假如 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么a 乘以 c 也能被 b 整除；3.假如 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么a 也能被 c 整除；4.假如 a 能被 b、c 整除，那么a 也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除；18.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，假如使得a÷b=qr，且 0<r<b, 那么

21、 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)，q 叫做 a 除以 b 的不完全商；余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)；如 a、b 除以 c 的余數(shù)相同，就c|a-b 或 c|b-a ； a 與 b 的和除以c 的余數(shù)等于a 除以 c 的余數(shù)加上b 除以 c 的余數(shù)的和除以c 的余數(shù)； a 與 b 的積除以c 的余數(shù)等于a 除以 c 的余數(shù)與b 除以 c 的余數(shù)的積除以c 的余數(shù)；19余數(shù)、同余與周期一、 同余的定義 ：如兩個整數(shù)a、b 除以 m 的余數(shù)相同，就稱a、b 對于模 m 同余；已知三個整數(shù)a、b、m，假如 m|a-b，就稱 a、b 對于模 m 同余，記作abmod m，讀作 a 同余于 b 模 m ；二、

22、 同余的性質(zhì) ：自身性： aamodm；對稱性：如abmodm，就 bamodm；傳遞性：如abmodm， bcmodm，就 a cmodm；和差性：如abmod m， cdmod m，就 a+cb+dmod m，a-cb-dmod m ；相乘性：如a bmodm， cdmodm，就 a×c b ×dmod；m乘方性：如abmodm，就 anbnmodm；同倍性 :如 a bmod m，整數(shù) c，就 a×c b ×cmodm×；c三、關(guān)于乘方的預(yù)備學(xué)問：如 a=a×b，就 ma=m×ab=（ ma） b如 b=c+d 就 m

23、b=mc+d=m×cmd四、被 3、9、11 除后的余數(shù)特點(diǎn)：一個自然數(shù)m ， n 表示 m 的各個數(shù)位上數(shù)字的和，就mnmod 9 或（ mod 3）；一個自然數(shù)m ， x 表示 m 的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，y 表示 m 的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，就 my-x 或 m11-（ x-y ） mod 11 ；五、 費(fèi)爾馬小定理：假如 p 是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a 是自然數(shù)，且a 不能被 p 整除，就ap-11mod p ；20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1平”均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)；分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不

24、變；分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)；百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)；常用方法：逆向思維方法：從題目供應(yīng)條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行摸索；對應(yīng)思維方法：找出題目中詳細(xì)的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系；轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答；最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率；常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量；假設(shè)思維方法：為明白題的便利，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情形成立，運(yùn)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最終結(jié)果；量不變思維方法：在變化的各個量當(dāng)中，總

25、有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的；有以下三種情形：a 、重量發(fā)生變化，總量不變；b、總量發(fā)生變化，但其中有的重量不變；c、總量和重量都發(fā)生變化，但重量之間的差量不變化；替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化；同倍率法：總量和重量之間依據(jù)同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理；濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和重量都發(fā)生變化的狀況；21分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使全部分?jǐn)?shù)的分子相同，依據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較；通分分母法：使全部分?jǐn)?shù)的分母相同，依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較；基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使全部的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較；分子

26、和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差肯定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大；倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小；（詳細(xì)運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把全部分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較；倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1 進(jìn)行比較；大小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0 比較；倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小；基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較；22.分?jǐn)?shù)拆分將一個分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式：第一題你要拆1/12（也就是 1/a ）先列出 12 的

27、約（因）數(shù)：1、2、3、4、 6、12任憑選兩個約數(shù) 分為 a1 a2 這里我選 3、 4公式： 1/a=a÷a1×（a1+a2） /1+ a ÷a2×（a1+a2） /1套入公式： 1/12=12 ÷3×（ 3+4） /1+ 12 ÷4×（ 3+4） /1最終等于： 1/12=1/28+1/21其次題就像上面的一樣套入公式運(yùn)算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了；答案是： 1/21+1/84+1/4223完全平方數(shù)完全平方數(shù)特點(diǎn)：1.末位數(shù)字只能是：0、1、 4、5、6、9；反之不成立；2.除以 3 余 0

28、或余 1；反之不成立；3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立；4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立；5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立；6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)；7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不行能再有平方數(shù)；平方差公式：x 2-y 2=（ x-y ）（ x+y ）完全平方和公式： （ x+y ） 2= x 2+2xy+y 2完全平方差公式： （ x-y ） 2= x 2-2xy+y 224比和比例比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比；比號前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)；比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值；比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外）

29、，比值不變；比例：表示兩個比相等的式子叫做比例；a:b=c:d 或比例的性質(zhì)：兩個外項(xiàng)積等于兩個內(nèi)項(xiàng)積交叉相乘 ， ad=bc；正比例：如 a 擴(kuò)大或縮小幾倍， b 也擴(kuò)大或縮小幾倍（ ab 的商不變時），就 a 與 b 成正比；反比例：如 a 擴(kuò)大或縮小幾倍， b 也縮小或擴(kuò)大幾倍（ ab 的積不變時），就 a 與 b 成反比；比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺；按比例安排：把幾個數(shù)按肯定比例分成幾份，叫按比例安排；25綜合行程基本概念：行程問題是討論物體運(yùn)動的，它討論的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程=速度 ×時間；路程 ÷時間 =速度；路程

30、÷速度 =時間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動過程中的位置和方向；相遇問題：速度和×相遇時間 =相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追準(zhǔn)時間路程差÷速度差（寫出其他公式） 流水問題：順?biāo)谐?（船速 +水速） ×順?biāo)畷r間逆水行程 =（船速 -水速） ×逆水時間順?biāo)俣?=船速 +水速逆水速度 =船速 -水速靜水速度 =（順?biāo)俣?+逆水速度） ÷2水速 =（順?biāo)俣?-逆水速度） ÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的速度，參照以上公式；過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的路程，參照以上公式；主要方法：畫線段圖法基此題型：已知路程（相遇路程、追

31、及路程）、時間（相遇時間、追準(zhǔn)時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量；26工程問題基本公式：工作總量=工作效率 ×工作時間工作效率 =工作總量 ÷工作時間工作時間 =工作總量 ÷工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；假設(shè)一個便利的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡潔地表示出工作效率及工作時間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系；體會簡評：合久必分，分久必合；27規(guī)律推理基本方法簡介：條件分析 假設(shè)法： 假設(shè)可能情形中的一種成立， 然后依據(jù)這個假設(shè)去判定，

32、 假如有與題設(shè)條件沖突的情形，說明該假設(shè)情形是不成立的，那么與他的相反情形是成立的；例如，假設(shè)a 是偶數(shù)成立，在判定過程中顯現(xiàn)了沖突，那么 a 肯定是奇數(shù)；條件分析 列表法： 當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進(jìn)行列表來幫助分析；列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情形，觀看表格內(nèi)的題設(shè)情形，運(yùn)用規(guī)律規(guī)律進(jìn)行判定；條件分析 圖表法： 當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān) 系，有連線就表示“是，有 ”等確定的狀態(tài)，沒有連線就表示否定的狀態(tài)；例如a 和 b 兩人之間有熟悉或不熟悉兩種狀態(tài)，有連線表示熟悉，沒有表示不

33、熟悉；規(guī)律運(yùn)算： 在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，仍要進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，依據(jù)運(yùn)算的結(jié)果為推理供應(yīng)一個新的判定挑選條件；簡潔歸納與推理：依據(jù)題目供應(yīng)的特點(diǎn)和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情形推廣到一般情形，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決；28幾何面積基本思路：在一些面積的運(yùn)算上，不能直接運(yùn)用公式的情形下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)章的圖形變?yōu)橐?guī)章的圖形進(jìn)行運(yùn)算；另外需要把握和記憶一些常規(guī)的 面積規(guī)律；常用方法：1.連幫助線方法2.利用等底等高的兩個三角形面積相等；3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時可把任意點(diǎn)

34、設(shè)置在特殊位置上）；4.利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積；（斜邊的平方除以4 等于等腰直角三角形的面積）梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等；圓的面積占外接正方形面積的78.5%；29立體圖形名稱圖形特點(diǎn)表面積體積8 個頂點(diǎn)； 6 個面； 相對的面相等； 12 條棱；長方體相對的棱相等；8 個頂點(diǎn)； 6 個面；全部面相等；12 條棱；正方體全部棱相等；上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面綻開后是圓柱體長方形；下底是圓；只有一個頂點(diǎn)；l: 母線，頂點(diǎn)到圓錐體底圓周上任意一點(diǎn)的距離；s=2ab+ah+bhv=abh=shs=6a2v=a 3s=s 側(cè)+2s 底v=shs 側(cè)=chs=

35、s 側(cè)+s 底v=shs 側(cè)=rl球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑；s=4r2v=r 330時鐘問題 快慢表問題基本思路：1、依據(jù)行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動物體；3、路程的單位是分格（表一周為60 分格）；4、時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31時鐘問題 鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題；關(guān)鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法：分格方法：時鐘的鐘面圓周被勻稱分成60 小格，每小格我們稱為1 分格；分針每小時走60 分格，即一周；而時針只走5 分格，故分針每分鐘走1 分格，時針每分鐘走112 分

36、格；度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看， 鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即 6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60度，即 1/2 度；32濃度與配比體會總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比；溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)；溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑；溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液；基本公式：溶液重量 =溶質(zhì)重量 +溶劑重量； 溶質(zhì)重量 =溶液重量 ×濃度；濃度 =（溶質(zhì)溶液）×100%溶劑=溶液×（ 1-濃度）理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式；體會總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比；33經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù) =（賣價 -成本） ÷成本 ×100%； 賣價 =成本 ×（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本 =賣價 ÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)