復(fù)變函數(shù)論及其應(yīng)用9解讀

1、2013-9-232主要內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的幾種表示及運(yùn)算；區(qū)域，曲線(xiàn)；初等復(fù)變函數(shù).二、柯西-黎曼方程：( (1)判斷可導(dǎo)與解析，求導(dǎo)數(shù);(2)構(gòu)造解析函數(shù).三、柯西積分公式，柯西積分定理，高階導(dǎo)數(shù)公式.四、洛朗展式.(2)計(jì)算定積分；六、保形映射：( (1)求象區(qū)域；(2)構(gòu)造保形映射.七、Fourier變換的概念,6函數(shù)，卷積.入、利用Laplace變換求解常微分方程(組)2013-9-23一、填空題。輻角主值為-3+-Ie4的值為(3)映射在Z二i處的旋轉(zhuǎn)角為_(kāi)伸縮率為_(kāi) 。函數(shù)f(z) =+在區(qū)域D內(nèi)解析的五、留數(shù)：( (1)計(jì)算閉路積分;(1)的模為L(zhǎng)n(1)的值為_(kāi)2013-9-232

2、充要條件為_(kāi) 。2013-9-2345)z(4二3z)在 5 =1+i處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi) 。z = 0是f(z) = 1-的_(何種類(lèi)型的奇點(diǎn))。ez1z囂冷(Z-7l)3(Z + )dZ=已知f (t)= z平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以 ”(兀,刃為實(shí)部的解析函數(shù)，使/=。解：uxx= 0, uyy=0, = uxx+ uyy= 0,故u(x,y)為調(diào)和函數(shù)(2)方法一ux=2J= vy v = j2ydy +y24-( (pxuy= 2x - 2 = -vx= 0(%)( (p(x) = x24-2x + c, =v = x2+2x + y2+c f(z) =2(x一l)y + i

3、(-x2+ 2x + y $ + c)當(dāng)x = 2,j = 0時(shí)，f(z) =-i, =c=-l /(z) = 2(x- l)y + i(-x2+ 2X + /-1)二、驗(yàn)證u(x,y) = 2(x-1”是Z平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以u(píng)x,y)為實(shí)五、六、R2ZZ227ti:f疋也_z)(疋一zC求區(qū)域D = z：Rez0, Ovlmzvl在映射兇=-下的像。Z求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。七、用拉氏變換求解方程：r + J = G j(0) = l,y( (0) = -2八、設(shè)函數(shù)/(Z)在z uxx+ uyy= 0,故u(x,y)為調(diào)和函數(shù)(2)方法二ux=2y =vy, uy

4、=2x-2 = -vxdv = (-2x + 2)dx + 2ydy = d(-x2+ 2x + y2)= v = x2+2x + y2+cf(z) = 2(x一l)y + i(-x2+ 2x + y $ + c)當(dāng)X = 2,J = 0時(shí)，f(z) = -i9=c =-2013.9.23/=2(兀一l)j + i(-x2+ 2X + /-1)三、將函數(shù)在1與2處展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。解：在z=l處當(dāng)ovlz-llvl時(shí)， | +8 +8/(z)=飛-l)(i)=F薩I)“普-I)-1當(dāng)lzlll時(shí)，f(1117(z-l)(l-(z-l)=(z-i)2廠(chǎng)2013-9-2310原式=縣2方limL蘭警

5、)=12mz-oz方法二：利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解原式=疑*鬧仁=1三.將函數(shù)/(z) =在z = l與z = 2處展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)解：在z=2處當(dāng)0vlz 2lvl時(shí)，+ 00/（2）=工 （一1）氣2 2）一1w=0當(dāng)Iz 2I1時(shí)，00 /（2）= S（-1），（z）M+22013-9-23解：方法一：利用留數(shù)求解z=0為二級(jí)極點(diǎn)，2013-9-2312四、(2).j2zedz解：Z=1為本性奇點(diǎn)，宀（）+叫占+為+站廠(chǎng)）= + ( + 1) )-+ 2z-13原式=2加 =3ni22013-9-2311（兀d0四、（3）- h + SlI觀(guān).Cd0- P d（2） 嚴(yán)d砂解原式弍i + l-

6、cos=Jo3_cos2tf=Jo廠(chǎng)亦帀2dz2z J（2）有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)ZI=3-2、2乞=3 + 2返（舍去）=L=i7 =IZ1(3)原式= 2i 27ri-=丁zt-z2A/22u2013-9-23122013-9-23COST,9-3-dx(x2+ lXx2+ 9)2013-9-23四、.已知/,(/) =e_/u(t), f2(t) = tu(t),求/!( (0*/2(0o解：f(0515/2( (o = f /i (T)/2( -T) )dr當(dāng)tvo時(shí)，/i( (o*/2a) )= o；當(dāng)t0時(shí)，/1(f) * /2(Z) = JA Y(一T)T= (Z-l) + ez + 0

7、0四、丄解：令f（z）=elz(Z2+ 1)(Z24-9)八z）在上半平面有兩個(gè)一;ReH/(z),zj =有+1X+9)Res/(z),z2 =尸-48/原式弓Re2吒16/兀（3廣1一廣彳）482013-9-2316五、求區(qū)域D = z：Rez0, Ovlmzvl在映射兇=下的像。z解:(z)il0 T 88 T 014- l 號(hào)(1 + t)I -12013-9-2315六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。2013-9-2318七、用拉氏變換求解方程：h + y =j（o）= i,y（o）= -2解：（1）對(duì)方程兩邊取拉氏變換得：s2Y（s）一號(hào)（0）- M（0）+ 7 （5）= 4 s2y( (s) )-5 + 2 4-y( (s) )=-yw s 21=2+l+y2(s2+ l)YG)=- +A-S +1 S 4-19S +1(2)取拉氏逆變換得：y(t)= cosf + f 3sinZ2013-9-23八、設(shè)函數(shù)/（z）在zR上解析，證明：爐-Iz/（C,、一、2兀i Euz）（）（0_zg嚴(yán)f（）9（）證明：（1）奇點(diǎn)G=z, = Z由于izivR,故e2在適1=尺外一亠R2-z211( /(C)(2)