廣東高一數(shù)學(xué)各章知識點總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、集合有關(guān)概念第一章 集合與函數(shù)概念1、集合的含義 ：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素；2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性；說明： 1對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素；2 任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素；3 集合中的元素是公平的，沒有先后次序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列次序是否一樣；4 集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性；3、集合的表示

2、： 如 我校的籃球隊員 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 ；1 用拉丁字母表示集合： a= 我校的籃球隊員,b=1,2,3,4,5； 2 集合的表示方法：列舉法與描述法；留意： 常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作： n；正整數(shù)集n* 或 n+； 整數(shù)集 z ； 有理數(shù)集q ； 實數(shù)集 r ；關(guān)于“屬于”的概念：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a 是集合 a 的元素，就說a 屬于集合 a 記作 a a ，相反， a 不屬于集合a 記作 aa ；集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上；描述法 ：將集合中的元素的公共屬性 描述出來，寫在大

3、括號內(nèi)表示集合的方法；用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法；語言描述法 ：例： 不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是 x | x-3>2且 x r ；4、集合的分類 ：1有限集 ：含有有限個元素的集合2無限集 ：含有無限個元素的集合3 空集 ：不含任何元素的集合，例：x|x 2= 5二、集合間的基本關(guān)系1、“包含”關(guān)系子集留意： 有兩種可能（ 1） a 是 b 的一部分；（ 2）a 與 b 是同一集合；反之 : 集合 a 不包含于集合b，或集合b 不包含集合a ，記作 ab 或 ba ；2、“相等”關(guān)系 “元素相同”對于兩個集合a 與 b

4、，假如集合a 的任何一個元素都是集合b 的元素，同時 ,集合 b 的任何一個元素都是集合a 的元素，我們就說集合a 等于集合 b ，即： a=b； 任何一個集合是它本身的 子集；aa 真子集： 假如 ab 且 ab，那就說集合a 是集合 b 的真子集， 記作或假如 ab， bc ，那么 ac 假如 ab ，同時 ba 那么 a=b3、 不含任何元素的集合叫做空集，記為 ； 規(guī)定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何 非空集合的真子集；三、集合的運算1、交集的定義 ：一般地，由全部屬于a 且屬于 b 的元素所組成的集合，叫做a 與 b 的交集；記作a b 讀作“ a 交 b” ，即 a b=x

5、|x a, 且 x b ；2、并集的定義 ：一般地， 由全部屬于集合a 或?qū)儆诩蟗 的元素所組成的集合，叫做a 與 b 的并集；記作： a b讀作“ a 并 b” ，即 a b=x |x a, 或 x b ；3、交集與并集的性質(zhì)：a a = a,a = ,a b = b a, a a = a, a = a ,a b = b a.4、全集與補集（1） 補集 ：設(shè) s 是一個集合， a 是 s 的一個子集，由s 中全部不屬于a 的元素組成的集合，叫做s 中子集 a 的補集（或余集）記作：acs， 即acs =x x s 且 xa（2）全集 ：假如集合s 含有我們所要討論的各個集合的全部元素，這個

6、集合就可以看作一個全集；c aaa通常用 u 來表示；（ 3） 性質(zhì)： c u =a ca= c a=u；uuu四、函數(shù)的有關(guān)概念1、函數(shù)的概念 ：設(shè) a 、b 是非空的數(shù)集，假如依據(jù)某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a 中的任意一個數(shù) x ，在集合b 中都有唯獨確定的數(shù)f x 和它對應(yīng)，那么就稱f 為從集合a 到集合 b 的一個函學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)；記作：y= fx ，x a ；其中， x 叫做自變量， x 的取值范疇a 叫做函數(shù)的定義域；與x 的值相對應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 fx| x a 叫做函數(shù)的值域；留意 ：假如只給出解析式 y=fx ，而沒有指明它的定義域，就函數(shù)的定義域

7、即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式；定義域定義 ：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：1分式的分母不等于零；2 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；3 對數(shù)式的真數(shù)必需大于零；4指數(shù)、對數(shù)式的底數(shù)必需大于零且不等 于 1； 5 假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四就運算結(jié)合而成的，那么它的定義域是使各部分都有意 義的 x 的值組成的集合；6 實際問題中的函數(shù)的定義域仍要保證明際問題有意義；（又留意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域）2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法就和值域再留意：（ 1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是

8、定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域；由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系打算的，所以假如兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一樣，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（ 2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一樣，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)；相同函數(shù)的判定方法：表達式相同；定義域一樣 兩點必需同時具備 見課本 21 頁相關(guān)例2值域補充 1函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法就，不論實行什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域； 2 應(yīng)熟識把握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)；3、 函數(shù)圖象學(xué)問歸納1定義 ：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y= fx , x a 中的 x

9、 為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y 為縱坐標(biāo)的 點 px，y 的集合 c，叫做函數(shù)y=fx ，x a 的圖象；c 上每一點的坐標(biāo)x , y 均滿意函數(shù)關(guān)系y= fx ，反過來，以滿意y=fx 的每一組有序?qū)崝?shù)對x 、 y為坐標(biāo)的點x, y ，均在c上 ；即記為c= px,y | y= fx , x a 圖象 c 一般是一條光滑的連續(xù)曲線或直線 ，也可能是由與任意平行與 y 軸的直線最多只有一個交點的如干條曲線或離散點組成；(2) 畫法 ： a 、描點法：依據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y 的一些對應(yīng)值并列表，以x,y 為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點px, y ，最終用平滑的曲線將這些點連接起來；b、圖象變換法

10、（請參考必修 4 三角函數(shù)）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換；3作用 ：直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路，提高解題的速度，發(fā)覺解題中的錯誤；4、區(qū)間的概念（ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（ 2）無窮區(qū)間； （ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示5、什么叫做映射一般地，設(shè)a 、b 是兩個非空的集合，假如按某一個確定的對應(yīng)法就f，使對于集合 a 中的任意一個元素x ，在集合 b 中都有唯獨確定的元素y 與之對應(yīng)， 那么就稱對應(yīng) “ f:a b”為從集合a 到集合b 的一個映射；記作“f:a b”，給定一個集合a 到 b 的映射，假如a a ， bb ，且元

11、素 a 和元素 b 對應(yīng)，那么，我們把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素 b 的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合a 、 b 及對應(yīng)法就f 是確定的；對應(yīng)法就有“方向性” ，即強調(diào)從集合a 到集合 b 的對應(yīng)，它與從b 到 a 的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對于映射f ：a b 來說，就應(yīng)滿意： （）集合a 中的每一個元素，在集合b 中都有象，并且象是唯獨的；（）集合a 中不同的元素，在集合b 中對應(yīng)的象可以是同一個；（）不要求集合b 中的每一個元素在集合a 中都有原象；6、常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點： 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，

12、 留意判定一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)； 解析法： 必需注明函數(shù)的定義域； 圖象法：描點法作圖 要留意： 確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀看函數(shù)的特點； 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特點； 留意 ：解析法：便于算出函數(shù)值；列表法：便于查出函數(shù)值；圖象法：便于量出函數(shù)值；補充一 ：分段函數(shù)（參見課本p24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)；在不同的范疇里求函數(shù)值時必需把自變量代入相應(yīng)的表達式；分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的學(xué)習(xí)必備歡迎下載取值情形；（ 1）分段函數(shù)是

13、一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段 定義域的并集，值域是各段值域的并集；補充二 ：復(fù)合函數(shù)假如 y=fu,u m,u=gx,x a, 就 y=fgx=fx，x a稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)；例如 :y=2sinxy=2cosx2+17、函數(shù)單調(diào)性（1） 增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=fx 的定義域為i，假如對于定義域i 內(nèi)的某個區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個自變量 x1， x2，當(dāng) x 1<x 2 時，都有fx 1<fx 2，那么就說fx 在區(qū)間 d 上是增函數(shù)；區(qū)間d 稱為 y=fx 的單調(diào)增區(qū)間 （清晰課本單調(diào)區(qū)間的概念）；假如對于區(qū)間d 上的任意兩個自變量的值x1，x 2

14、，當(dāng) x1<x 2 時，都有 fx 1fx 2，那么就說fx 在這個區(qū)間上是減函數(shù)；區(qū)間d 稱為 y=fx 的單調(diào)減區(qū)間；留意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必需是對于區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng) x 1<x 2 時，總有fx 1<fx 2 或 fx 1 fx 2；（2） 圖象的特點假如函數(shù)y=fx 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=fx 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的；（3） 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法： 任取 x1 ，x2 d ，

15、且 x 1<x 2； 作差 fx 1 fx 2； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判定差fx1 fx2 的正負(fù)）； 下結(jié)論（指出函數(shù)fx 在給定的區(qū)間d 上的單調(diào)性）； b圖象法 從圖象上看升降；c 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fgx 的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=gx ，y=fu 的單調(diào)性親密相關(guān)，其規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性u=gx 增增減減， y=fu增減增減y=fgx增減減增留意： 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；8 函數(shù)的奇偶性（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)的任意一個x ，都有 f x=fx ，那么 fx 就叫做偶函數(shù)；

16、（ 2）奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)的任意一個x ，都有 f x= fx ，那么 fx就叫做奇函數(shù)留意 ：1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體 性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有 奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，就 x 也肯定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱） ；（ 3） 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特點偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；總結(jié) ：利用定義判定函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 第一確定函數(shù)的定義域，并 判定其定義域是否關(guān)于原點對稱；2 確定 f

17、x 與 fx 的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論： 如 f x = fx 或 f x fx = 0 ，就 fx 是偶函數(shù)；如f x = fx 或 f x fx = 0 ，就 fx 是奇函數(shù)； 留意啊： 函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件第一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如不對稱就函數(shù)是非奇非偶函數(shù).如對稱， 1 再依據(jù)定義判定; 2 有時判定f-x= ± fx 比較困難， 可考慮依據(jù)是否有f-x ± fx=0 或 fx/f-x= ± 1 來判定 ; 3 利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定；9、函數(shù)的解析表達式（ 1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量

18、之間的函數(shù)關(guān)系 時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法就，二是要求出函數(shù)的定義域. （ 2）求函數(shù)的解析式的主要方法有： 待定系數(shù)法、換元法、消參法等，假如已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù) fgx 的表達式時，可用換元法，這時要留意元的取值范疇；當(dāng)已知表達式較簡潔時，也可用湊配法；如已知抽象函數(shù)表達式，就常用解方程組消參的方法求出fx10函數(shù)最大（小）值 （定義見課本p36 頁） 1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?； 2 利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；3 利用函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)的最大（小）值：假如函數(shù)y=fx 在區(qū)間 a， b 上單調(diào)遞增，在區(qū)間b ， c 上單

19、調(diào)遞減就函數(shù)y=fx 在 x=b 處有最大值fb ；假如函數(shù) y=fx 在區(qū)間 a ，b 上單調(diào)遞減， 在區(qū)間 b ，c 上單調(diào)遞增就函數(shù)y=fx 在 x=b 處有最小值fb ；其次章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算學(xué)習(xí)必備歡迎下載1根式的概念：一般地，假如，那么 叫做 的 次方根（ n th root ），其中 >1 ，且 * 當(dāng) 是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)此時，的 次方根用符號表示式子 叫做根式 （ radical），這里 叫做根指數(shù) （radical exponent ），叫做被開方數(shù) （ radicand） 當(dāng) 是偶數(shù)時，正數(shù)的次方

20、根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時，正數(shù)的正的 次方根用符號表示，負(fù)的 次方根用符號表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±（ >0）由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶 次方根； 0 的任何次方根都是0，記作 ；留意： 當(dāng) 是奇數(shù)時，當(dāng) 是偶數(shù)時，2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1） .；（2）；（3）（二） 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponen

21、tial function ），其中x 是自變量，函數(shù)的定義域為r 留意 ：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范疇，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1 0<a<1圖象特點函數(shù)性質(zhì)向 x、y 軸正負(fù)方向無限延長函數(shù)的定義域為r圖象關(guān)于原點和y 軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x 軸上方函數(shù)的值域為r+ 函數(shù)圖象都過定點（0， 1）自左向右看，圖象逐步上升自左向右看，圖象逐步下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于 1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢是越來越陡圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開頭

22、增長較慢，到了某一值后增長速度極快；函數(shù)值開頭減小極快，到了某一值后減小速度較慢；留意： 利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象仍可以看出：（ 1）在a，b 上， 值域是 或 ； （ 2）如 ，就 ； 取遍全部正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)； （ 3）對于指數(shù)函數(shù)，總有 ； （ 4）當(dāng) 時，如 ，就 ；二、 對數(shù)函數(shù)（一） 對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，假如，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作：（ 底數(shù)， 真數(shù)， 對數(shù)式）說明 ： 1 留意底數(shù)的限制，且 ； 2 ； 3 留意對數(shù)的書寫格式兩個重要對數(shù)：1 常用對數(shù)：以10 為底的對數(shù)； 2 自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)2、 對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù) 冪底

23、數(shù)對數(shù) 指數(shù)真數(shù) 冪（二） 對數(shù)的運算性質(zhì)假如 ，且 1 . ，那么：； 2 3 ；留意 ：換底公式（ ，且 ；，且 ； ）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1） ；（ 2） （ 二 ） 對 數(shù) 函 數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0， +）留意： 1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，留意辨別；學(xué)習(xí)必備歡迎下載如： ， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù) 2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且 2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： a>1 0<a<1圖象特點函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y 軸右側(cè)函數(shù)的定義域為（0，）圖象關(guān)于原點和y 軸不對稱非奇非偶函數(shù)

24、向 y 軸正負(fù)方向無限延長函數(shù)的值域為r 函數(shù)圖象都過定點（1，0）自左向右看，圖象逐步上升自左向右看，圖象逐步下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大 于 0 第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0其次象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0 其次象限的圖象縱坐標(biāo)都小于 0（三） 冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義 ：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）全部的冪函數(shù)在（0， +）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2） 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特殊地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3） 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在

25、軸右方無限地靠近軸正半軸，當(dāng)趨于 時，圖象在軸上方無限地靠近軸正半軸第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、 方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使 成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點；2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) 的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與 軸交點的橫坐標(biāo)；即：方程 有實數(shù)根函數(shù) 的圖象與軸有交點函數(shù) 有零點3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù) 的零點：1 （代數(shù)法）求方程的實數(shù)根； 2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)），方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點），方程有兩相等實根（二重根），

26、二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點），方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點高中高一數(shù)學(xué)必修4 各章學(xué)問點總結(jié)基本三角函數(shù)2學(xué)習(xí)必備歡迎下載 終邊落在x軸上的角的集合：、2、2、2、2,z終邊落在y軸上的角的集合：,z終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合：,z 22360 度lr2弧度基本三角函數(shù)符號記s1 lr1221r 21801弧度弧度.180度憶：“一全，二正弦，三切，四余弦”180弧度倒數(shù)關(guān)系：tan sin coscot1csc1sec1正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1tan 21sec2三個倒立三角形上底邊對應(yīng)三角函數(shù)的平方何等與對平方關(guān)系：

27、sin2cos 21邊對應(yīng)的三角函數(shù)的平方乘積關(guān)系：1cot 2sintancsc2cos， 頂點的三角函數(shù)等于相鄰的點對應(yīng)的函數(shù)乘積同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法： （參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以 "上弦、中切、下割；左正、右余、中間1" 的正六邊形為模型；（1 ）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；（2 ）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積；（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）；由此，可得商數(shù)關(guān)系式；（3 ）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方；誘導(dǎo)公式

28、終邊相同的角的三角函數(shù)值相等sin cos tan2 ksin2 kcos2 ktan,kz,kz,kz角與角關(guān)于 x軸對稱sin cos tansin costan學(xué)習(xí)必備歡迎下載角與角角與角關(guān)于 y軸對稱關(guān)于原點對稱sin cos tansin cos tansincos tansin costan角與角2關(guān)于 yx對稱sin2cos2tan2cos sincotsin2cos2tan2cossin cot上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”周期問題yasinxyacosx,a0 ,0 ,t22,a0 ,0 ,tyasinx,a0 ,0 ,tyacosxb,a0 ,0 ,b2

29、yacosx,a0,0,tyasinxb,a0 ,0 , b0,t20,tya tanx, a0 ,0 ,tya cotx, a0 ,0 ,tya tanx, a0 ,0 ,tya cotx, a0 ,0 ,t規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對于 k· /2 ±zk 的個三角函數(shù)值，當(dāng) k 是偶數(shù)時，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不轉(zhuǎn)變；當(dāng) k 是奇數(shù)時，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin cos;cos sin;tancot,cottan.（奇變偶不變）然后在前面加上把看成銳角時原函數(shù)值的符號；（符號看象限）例如：sin2 sin4 ·/2， k 4 為偶數(shù)，所以取s

30、in ；當(dāng) 是銳角時， 2 270 °， 360°， sin2 0 ，符號為 “ ”；所以 sin2 sin 記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限；公式右邊的符號為把視為銳角時，角k·360°+（k z）， - 、180°±，360°- 所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限；學(xué)習(xí)必備歡迎下載各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判定，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦”這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“ ”；其次象限內(nèi)只有正弦是“ ”，其余全部是“ ”；第三象限內(nèi)

31、切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是 “ ”；第四象限內(nèi)只有余弦是“ ”，其余全部是“ ”三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)ysinxycos x定義域rr值域1,11,1周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性2k,2k22k,2k2, k23, k2z,增函數(shù)z, 減函數(shù)2k2k,2k,2k, k, kz, 增函數(shù) z, 減函數(shù)對稱中心k,0 , kzk,0 ,kz 2對稱軸xk, kz 2xk, kz54圖534y23y12像-8-2-6-3 /2 -4- -/2 -21o/2 -1-2-3-4-5-63 /2x46 2 8-8-2 -6-3 /2 -4- -2 - /2o/22-1-2-3-4-5 4 3 /2x6 2

32、8性質(zhì)定義域ytan xycot xx x,z2x x,z值域rr周期性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載單調(diào)性k, k2, kz, 增函數(shù)2k, k, kz,增函數(shù)對稱中心k,0 , kzk, 0, kz 2對稱軸無無10y86圖y42x-15-10-5 -3 /2 - - /2像-2-4-6-8-10o /2 3 /2 510150x怎樣由 ysinx變化為 yasinxk？振幅變化：ysinxyasinx左右伸縮變化：yasinx左右平移變化yasinx上下平移變化yasin xk平面對量共線定理：一般地，對于兩個向量a, a0 , b,假如有一個實數(shù),使得ba, a0 , 就b與a是共

33、線向量；反之假如b與a是共線向量那么又且只有一個實數(shù), 使得ba.線段的定比分點點 p 分有向線段p1p2所成的比的定義式p1p.pp2線段定比分點坐標(biāo)公式線段定比分點向量公式x x1x2 1opopy y1y21. op121當(dāng)1 時當(dāng)1 時線段中點坐標(biāo)公式線段中點向量公式xx1x 22.opop 1op 2yy1y 222學(xué)習(xí)必備歡迎下載向量的一個定理的類似推廣向量共線定理：baa0推廣平面對量基本定理：a1 e 12 e 2 ,其中e1 , e2 為該平面內(nèi)的兩個不共線的向量推廣a1 e12 e23 e3 ,空間向量基本定理：其中 e1, e2, e3為該空間內(nèi)的三個不共面的向量一般地，

34、設(shè)向量ax1 , y1 , bx2 , y 2 且a0,假如a b那么 x1 y2x2 y10反過來，假如x1 y2x2 y10,就a b .一般地，對于兩個非零向量a, b有aba b cos， 其中為兩向量的夾角；2222cosabx1 x2y1 y 2a bx1y1x2y 22特殊的， aaa2a或者 aaa假如ax1 ,y1, bx2 , y2且a0 , 就abx1 x2y1 y2特殊的, abx1 x2y1 y20如正n邊形a1 a2an的中心為 o ,就oa1oa2oan0三角形中的三角問題abcosab 2c,abc222sinabsinccosabcoscsinsinc 2ab

35、c,ab- c 22ab2abccosc 2正弦定理：sinasinbsinc2rsinasinbsinc2余弦定理：ab2c 22bccosa ,b2a 2c22accosb變形：cosac 2a 2b 2c2 2bcb22abcosc2aa 2, cosbc 2b 22accosca 2b 2c22ab學(xué)習(xí)必備歡迎下載tan atan btan ctan a tan b tanc三角公式以及恒等變換sinsincoscossin,s sinsincoscossin,s 兩角的和與差公式：tantantancoscoscossinsin,ccoscoscossinsin,c變形：, ttan

36、 tantan tantan tan1tan1tantan tan1tantantantantantantantantantantan, t其中,為三角形的三個內(nèi)角1tantan二倍角公式：sin 2cos 22 sin2 coscos2121 2 sin2cos2sintan 22 tan1tan 2半角公式：sin2cos21cos 21cos 2tan2sin1cos1cos21cos 2sinsin1cos1cos sin降冪擴角公式：2cos1cos 2 2,sin2積化和差公式：sin cos cos sincos sin cos sin1sin 21sin21cos 21cos

37、2cos cos和差化積公式：和差化積公式推導(dǎo)sin sin cos cossin sin cos cos2 sin 2cos2 cos2 sincos22ss2 sc（ss2 cs）cc2 cccc2 sssin22cos22sin22第一 ,我們知道 sina+b=sina*cosb+cosa*sinb,sina-b=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sina+b+sina-b=2sina*cosb所以 ,sina*cosb=sina+b+sina-b/2同理 ,如把兩式相減 ,就得到 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2同樣的 ,我們?nèi)灾纁osa+

38、b=cosa*cosb-sina*sinb,cosa-b=cosa*cosb+sina*sinb所以 ,把兩式相加 ,我們就可以得到cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2同理 ,兩式相減我們就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2這樣 ,我們就得到了積化和差的四個公式:學(xué)習(xí)必備歡迎下載sina*cosb=sina+b+sina-b/2 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2好, 有了積

39、化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的a+b 設(shè)為 x,a-b 設(shè)為 y,那么 a=x+y/2,b=x-y/2把 a,b 分別用 x,y 表示就可以得到和差化積的四個公式: sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2 cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2 cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2sin2 tan21tan 22萬能公式 :cos1tan 2221tan2stctan2 tan21tan 22附推導(dǎo)：sin2 =2sin

40、 cos=2sin cos/cos2+sin2.，.*（因為cos2 +sin2 ）=1 再把 *分式上下同除cos2 ，可得 sin2 tan2 /1 tan2 然后用 /2代替 即可；同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式；正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到三倍角公式：sin 33 sin4 sin 3tan 33 tantan 32cos 334cos3cos13 tan三倍角公式推導(dǎo)tan3 sin3 /cos3 “三四立，四立三，中間橫個小扁擔(dān)”sin2 cos cos2sin /cos2co-ssin2 sin 2sin cos2 cos2 sin sin3 /cos3上下同除以cos3 ，得：tan3 3tan tan3 /-13tan2 sin3 sin2 sin2 cos cos2 sin 2sin cos2 1 2sin2 sin 2sin 2sin3 sin 2sin2 3sin 4sin3 cos3 cos2 cos2 cos sin2 sin 2cos2 1cos 2cossin2 2cos3 cos 2cos 2cos3 4cos3 3cos 即 sin3 3sin 4sin3 cos3 4c