淺談導數(shù)在高中數(shù)學課程中的應用.doc

1、淺談導數(shù)在高中數(shù)學課程中的應用徐春華(數(shù)學科學學院,2003（8)班，02212143號)摘 要導數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學與初等數(shù)學的紐帶，高中階段引進導數(shù)的學習有利于學生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線的切線問題，學好其他學科并發(fā)展學生的思維能力因而在中學數(shù)學教學及解題過程中，可以利用導數(shù)思想解決諸如函數(shù)(解析式、值域、最(極)值、單調區(qū)間等）問題、切線問題、不等式問題、數(shù)列問題以及實際應用等問題關鍵詞導數(shù) 新課程 應用導數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學教材中處于一種特殊的地位，是聯(lián)系高等數(shù)學與初等數(shù)學的紐帶,是高中數(shù)學知識的一個重要交匯點,是聯(lián)系多個章節(jié)內容以及解決相關問題的重要工具本課題期望通過對

2、導數(shù)在新課程中的地位以及在中學數(shù)學解題應用中的探討，拓展學生的解題思路，提高學生分析問題和解決問題的能力一、 導數(shù)在高中數(shù)學新課程中的地位普通高中數(shù)學課程標準(實驗)指出:高中數(shù)學課程是由必修課程和選修課程兩部分構成的必修課程是整個高中數(shù)學課程的基礎，選修課程是在完成必修課程學習的基礎上，希望進一步學習數(shù)學的學生根據(jù)自己的興趣和需求選修選修課程由系列1、系列2、系列3、系列4等組成在系列1和系列2中都選擇了導數(shù)及其應用顯然，導數(shù)的重要性不言而喻（一）有利于學生更好地理解函數(shù)的性態(tài)在高中階段學習函數(shù)時，為了理解函數(shù)的性態(tài),學生主要學習函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性等我們知道，

3、函數(shù)的這些性質都可以通過函數(shù)的圖像表示出來，因而,如果能準確地作出函數(shù)的圖像,函數(shù)的性質就一目了然，函數(shù)的性態(tài)也容易掌握了如果所涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點法就可以作出函數(shù)的圖像但是，如果所涉及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，比如,等函數(shù)，僅用描點法就很難較為準確地作出圖像但是，掌握了導數(shù)的知識之后，學生就可以利用函數(shù)的一階導數(shù)判定函數(shù)的單調區(qū)間、極值點、最值點；利用函數(shù)的二階導數(shù)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點;利用極限的思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結合描點法，就能較為準確地作出函數(shù)的圖像這樣就有利于學生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，同時也拓寬了學生的知識面（二）有利于學生更好地掌握函數(shù)思想數(shù)學上的

4、許多問題，用初等數(shù)學方法是不能解決的，或者難以解決，而通過數(shù)學模型建立函數(shù)關系,利用函數(shù)思想，然后用導數(shù)來研究其性質,充分發(fā)揮導數(shù)的工具性和應用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決，這也正體現(xiàn)和顯示了新課程的優(yōu)越性其實我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是建立在中學數(shù)學知識和導數(shù)之間的一座橋梁，不管是在證明不等式,解決數(shù)列求和的有關問題，以及解決一些實際應用問題,我們都可以構造函數(shù)模型，并且利用導數(shù),來解決相關問題(三）有利于學生弄清曲線的切線問題學生由于受“圓上某點的切線”的定義的影響，誤認為曲線在某點處的切線，就是與曲線有一個公共點的直線如果學習了導數(shù)的定義及其幾何意義后，學生就知道在點的切線斜率，正是割

5、線斜率在時的極限，即由導數(shù)的定義，所以曲線在點的切線方程是這就是說：函數(shù)在點的導數(shù)是曲線在點處的切線斜率1從而，學生就掌握了切線的一般定義：設有曲線及上的一點,在點外另取曲線上一點，作割線，當點沿曲線趨向點時,如果割線繞點旋轉而趨向極限位置,那么直線就稱為曲線在點處的切線(四)有利于學生學好其他學科高中的物理、化學等課程都與數(shù)學緊密相關，我們所學的導數(shù)是微分學的核心概念,它在物理、化學、生物、天文、工程以及地質學等中都有著廣泛的應用微積分所討論的基本對象是函數(shù),而且以函數(shù)的極限為基礎作為微積分的一個重要的分支微分學，主要涉及變量的“變化率”問題,對于，導數(shù)可以解釋為關于的變化率在學習并且掌握了

6、導數(shù)及其應用以后,學生就可以很容易地根據(jù)做變速直線運動物體的運動方程：,算出物體的瞬時速度：、瞬時加速度：；對化學中的反應速度、冷卻速度等也都可以通過微積分的方法來解決了（五）有利于發(fā)展學生的思維能力在以前的課程標準中，無論是導數(shù)的概念還是應用,更多的是作為一種規(guī)則來教、來學這樣造成的后果是：不僅使學生感受不到學習導數(shù)有什么好處，反而加重了他們的學習負擔而普通高中數(shù)學課程標準(實驗)就對這一部分內容的教育價值、定位和處理做了一定的變化：即在高中階段,應通過大量的實例，讓學生理解從“平均變化到瞬時變化”、從“有限到無限”的思想,認識和理解這種特殊的極限，通過它了解這種認識世界的思維方式，提高學生

7、的思維能力2再者，還可以讓學生體會研究導數(shù)所用的思想方法:先研究函數(shù)在某一點處的導數(shù)，再過渡到一個區(qū)間上；在應用導數(shù)解決實際問題時，利用函數(shù)在某個區(qū)間上的性質來研究曲線在某一點處的性質這種從局部到整體,再由整體到局部的思想方法是很值得學生學習的2總之,通過學習導數(shù),使學生學會以動態(tài)的、變化的、無限的變量數(shù)學觀點來研究問題,而不僅僅是停留在靜態(tài)的、不變的、有限的常量數(shù)學觀點上在學習過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準確、動與靜、直與曲的對立與統(tǒng)一，發(fā)展學生的辯證思維能力二、 導數(shù)在解題中的應用導數(shù)作為高中新教材的新增內容之一，它給高中數(shù)學增添了新的活力，特別是導數(shù)廣泛的應用性,為解決函

8、數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實際等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風景線，也使它成為新教材高考試題的熱點和命題新的增長點這幾年的高考命題趨勢表明：導數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具將導數(shù)與傳統(tǒng)內容結合，不僅能加強能力的考查力度，而且也使試題具有更廣泛的實踐意義下面舉例探討導數(shù)的應用（一）利用導數(shù)解決函數(shù)問題利用導數(shù)求函數(shù)的解析式用解析式表示函數(shù)關系，便于研究函數(shù)的性質，而利用導數(shù)求函數(shù)的解析式，函數(shù)的一些基本性質就會顯得更加的明了例1 設函數(shù)的圖像與軸交點為點,且曲線在點處的切線方程為,若函數(shù)在處取得極值，試確定函數(shù)的解析式解 因為函數(shù)的

9、圖像與軸交點為點，所以點的坐標為,又曲線在點處的切線方程為，點坐標適合方程，從而，又切線斜率，故在處的導數(shù)，而，,從而,又函數(shù)在處取得極值，所以解得,，所以所求函數(shù)解析式為利用導數(shù)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是中學數(shù)學中的重點，也是難點，方法因題而異,不易掌握但是,如果采用導數(shù)來求解，則較為容易，且一般問題都可行例2 求函數(shù)的值域分析 先確定函數(shù)的定義域,然后根據(jù)定義域判斷的正負,進而求出函數(shù)的值域解 顯然,定義域為,由于,又，可見當時,所以在上是增函數(shù)而,所以函數(shù)的值域是利用導數(shù)求函數(shù)的最（極）值求函數(shù)的最（極)值是高中數(shù)學的重點,也是難點，是高考經(jīng)常要考查的內容之一，它涉及到了函數(shù)知識的很多方

10、面，用導數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也容易掌握，從而進一步明確了函數(shù)的性態(tài)一般地,函數(shù)在閉區(qū)間上可導，則在上的最值求法：(1） 求函數(shù)在上的極值點；（2) 計算在極值點和端點的函數(shù)值;(3) 比較在極值點和端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值分析 先求出的極值點，然后比較極值點與區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值解 由于，則當或時，所以,為函數(shù)的單調增區(qū)間；當時,所以為函數(shù)的單調減區(qū)間又因為，,所以，當時，取得最小值；當時,取得最大值利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間函數(shù)的單調性是函數(shù)的一個重要性質，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個

11、性質函數(shù)的單調性與函數(shù)的導數(shù)密切相關，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時,結合導數(shù)的幾何意義，只需考慮的正負即可,當時，單調遞增；當時，單調遞減此方法簡單快捷而且適用面廣例4 求的單調區(qū)間分析 應先確定函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)討論其單調區(qū)間解 顯然,定義域為，又,由，得或；又由，得或，所以的增區(qū)間為和，減區(qū)間為和（二)利用導數(shù)解決切線問題求過某一點的切線方程此種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，的幾何意義就是曲線在點處切線的斜率，過點的切線方程為，但應注意點在曲線上，否則易錯例5 求曲線在原點處的切線方程分析 此類題型為點不在曲線上求切線方程,應先設出切點坐標，表示出切線方程,把已知點代入方

12、程，求出切點坐標后，再求切線方程解 顯然點不在曲線上,由于，則設切點坐標為，所以,則過點的切線方程為因為點在切線上,所以,即，所以，故切線方程為，即求兩曲線切線方程例6 已知拋物線和，如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，求公切線的方程分析 本題也可用常規(guī)方法求解，但運算量大，過程煩瑣,而利用導數(shù)知識無疑為解決這類問題提供了新的，簡捷的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來建立關系求解解 由，得，所以曲線在點的切線方程是，即 (1)由,得，所以曲線在點的切線方程是，即 (2）若是過與的公切線，則(1）（2）表示的是同一直線,所以消去,得，由題意知，所以,則，即點與重合，此時曲線

13、和有且僅有一條公切線，且公切線方程為(三)利用導數(shù)解決不等式問題縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問題，其綜合性強、思維量大，因此歷來是高考的難點利用導數(shù)證明不等式,就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系,直接或間接等價變形后,結合不等式的結構特征，構造相應的函數(shù)通過導數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調性，將不等式的證明轉化為函數(shù)問題例7 求證：不等式在上成立分析 通過作差，構造函數(shù)，和,再通過對和求導來判斷證明 構造函數(shù)，則得知在上單調遞增,又因為，所以，即成立又構造函數(shù)，則得知在上單調遞增，又因為，所以，即成立綜上所述，原命題成立（四）利用導數(shù)解決數(shù)列問題數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重要部分，而數(shù)列求和是中學階

14、段數(shù)列部分的重要內容之一,有許多初等解決方法事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關系,再運用導數(shù)來解決數(shù)列求和的有關問題例8 求和：（其中，)解 注意到是的導數(shù),即,可先求數(shù)列的前和，然后等式兩邊同時對求導,有例9 求和:解 因為上式兩邊對求導,有,再令，可以得到（五）利用導數(shù)解決實際問題利用導數(shù)，不僅可以解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列問題,而且還可以解決一些實際應用問題學習的最終目的，是要求學生具有運用導數(shù)知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力近幾年,高考越來越注重對實際問題的考查，比如最優(yōu)化問題、最低成本問題等，而利用導數(shù)解決這些問題非常方便例10 甲乙兩

15、個村子在一條河的同側，甲村位于河岸的岸邊處，乙村位于離河岸的處，乙村到河岸的垂足與相距兩村要在岸邊合建一個供水站，從供水站到甲村、乙村的水管費用分別為、，問供水站建在何處才能使水管費用最??？(圖1)圖1分析 本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉化成函數(shù)關系式技巧與方法主要有：根據(jù)題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式,適當選定變化，構造相應的函數(shù)關系，隨后用導數(shù)的知識來解決問題解 如圖1，設點距點，則，總的水管費用為()又，令，則在上，只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，知處取得最小值，此時所以供水站建在距甲村處才能使水管費用最省三、

16、結束語導數(shù)及其應用是微積分學的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學的價值：既給學生提供了一種新的方法，又給學生提供了一種重要的思想總之，開設導數(shù)不僅促進學生全面認識了數(shù)學的價值，而且發(fā)展了學生的辯證思維能力，也為今后進一步學好微積分打下基礎因此，在高中階段為學生開設導數(shù)及其應用具有深刻的意義參考文獻1華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（上冊）第三版北京：高等教育出版社,2001912祁麗娟談在高中數(shù)學課程中開設導數(shù)及其應用的必要性甘肅教育,2006（4)483李秋鳳導數(shù)在函數(shù)問題中的應用中國科技信息，2006(3)1331534陳斌彈好用導數(shù)證不等式的前奏數(shù)理化學習(高中版），20

17、06(4)13155鄧亞軒利用導數(shù)巧求和數(shù)理化學習（高中版）,2006（4）24A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior School Mathematics CurriculumXu ChunhuaAbstractDerivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics。 In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to

18、student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve's tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability。 Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving， we may use the derivative thought to solve some problems，